Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Ь) (46) «! сходился. Из соотношения (46) следует, что ф(х, Ь) есть оригинал изображения «« е "' Ф (з) = ) е ' (! (х, Ь) !1Ь. (47) о Выражение (45) может быть написано так: «« 7'«(ь) =~Г(х)о(х,ь)о!х, (48) о т. е. теорема доказана. Соотношения (45) и (48) являются весьма важными для нахождения оригинала по данному изображению и наоборот. $ Та. интеГРАльные пРеОБРА3ОВАния ФуРье и хАнкепя !'(Х) = 2 По + Р~ (а„СОЗ Л + Ь„З!П Л ) . пх пх Л и=! Постоянные коэффициенты а„а«, Ь„получаются путем умножения кажпх . пх дого члена ряда (1) на единицу, соз — „з!и — н интегрированием по х в пределах от — кЛ до + кЛ. Используя свойство ортогональностн тригонометрических функций: «Л «Л з!и — л(х = О; ! соз — о!х = О, (2) — л пх пх з!и — соз — Йх Л Л «л л « з!п — ейп Л вЂ” л = О; ~ соз — з!и — л(х = О, пх .
пх л л (3) тх (О, т+и Л х 1 1 Л,т=п' «Л « пх . тх ! О, т+п соз — злп — о(х = Л л !яЛ, т=п — «л (4) Формулы обращения интегральных преобразований Фурье и Ханкеля могут быть получены из формулы интеграла Фурье. Предположим, что функция 7'(х) с периодом 2пЛ представлена рядом Фурье 51О Гааза чя алладчзтая из ряда (1) получаем гц Г(х') г(х', я1,а„= — ~ Г'(х') соз-" —," г(х', пИ„= ~ 7' (х') ей п — ".,- г(х'. (5) Такам образом, разложение функции 1" (х) в ряд можно поедставнть так: х Г(х) -- —,— ~ 7'(х')цх'+ — ~~1 ~ Дх')соз" г(х'. (6) — -„л л=! — хЛ Полагая п!1, =.
а, 1Ф = цх, а также ). — э, получим вместо суммы (б) интеграл Фурье О +0 п~(х) -= ~ дх ) 1" (х') сова(х — х') Йх'. (7) Π— сю Приведенный вывод является несколько формальным. Лля строгого обоснования и выяснения условий существования интеграла Фурье читателя можно отослать к специальным руководствам. Однако необходимо отметить, что функция 7'(х) должна удовлетворять условиям Дирихле в -ьа любом конечном интервале и интеграл ) )'(х) дх должен абсолютно 1( ) -- 1 ( 1 1 ь') ~*'~*' ~ "ю Ф 4. а 1— О 1 +В 4.1 11(*)'~"р*~* ~ ох~*Ф о (8) Если функция Г(х) нечетная, то + о ( Г(х') сов рх' дх' = О, — ОЭ +а в ) Г(х') з(прх'йх' = 2 ~ Г(х') з)п рх'йх' = 2Гг, (р), О о где ~~,(р) — синус-преобразование Фурье функции Ях), определяемое выражением (О 7.,(р) =- ) 7(х) з(п рхйх. (1О) о сходиться. Формулы обращения можно вывести из интеграла Фурье. Это оправдано тем обстоятельством, что в рассматриваемых теплофизических задачах, для решения которых применяются интегральные преобразования, условия, обеспечивающие справедливость формул обращения, всегда выполняются.
Перепишем формулу (7) в виде ОСНОВЬ! ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 511 Следовательно, формула обращения для синус-преобразования Фурье имеет вид Т (х) = — 7„(р)„я!п Рх г1Р. 2 Г о Если функция Г(х) четная, то, ) Т (х') я(п рх' Нх' = О, И ) Г(х') соярх'Нх' = 2 ) Г(х') соярх'г(х' = 2~„,(р), — 00 о где Т„,(р) — косинус-преобразование Фурье, определяемое соотношением 00 1„,(р) = ( Т'(х) соя рхйх. (13) о ) (х) = — ()„, (р) соя рхАР. о (14) Пр имер. Найти изображение функции Г(х) = е ". Синус-преобразование Фурье для функции Г(х) будет иметь вид СО ~„,(р) = ~ е "я)п рх дх =- о (15) Косинус-преобразование Фурье для функции Г(х) будет иметь вид (О 1 7', (р) = ( е 'соярхо(х =-— гс 1+Р о (16) Наоборот, если известно изображение синус-преобразования Фурье Г"„,(р) =- р/(1 + р'), то оригинал функции равен Г(х) = — ~ Р,ягпрхг(р = е ". (17) о Если же известно изображение косинус-преобразования Фурье ~„,(р) = 1 ,, то оригинал функции равен 1+Р' ' СО 2 Г 1 Г(х) = — 1 1, соя рхдр = е '.
о (18) Интеграл Фурье (7) можно написать в виде +~ +~ — ( да ~ ~ (х') сояа(х — х') Йх'. 2 ) (19) Известно, что Следовательно, формула обращения для косинус-преобразования Фурье будет иметь вид Ю 512 Глава четырнадцатая +»» +»» ) в[а ) Г(х') а[па(х — х')е[х' = О, (20) тогда формулу (7) с учетом (19) можно написать так: +» +о» 2ат»(х) = ~ е" в[а ~ т»(х ) е е[х'. (21) Отметим, что из формулы (21) можно получить формулу обращения для преобразования Лапласа.
Однако воспользуемся соотношением (21) и получим формулу обращения для комплексного преобразования Фурье, которая определяется соотношением 7ач(Р) = ~ Г(х)е'е т)х. »» (22) Предположим, х > О„тогда интеграл (25), взятый по окружности с центром в начале координат, лежащий в плоскости Р ниже действительной оси, стремится к нулю, когда радиус окружности стремится к бесконечности. Следовательно, интеграл (25) можно заменить интегралом по замкнутому контурут который равен произведению — 2М на вычет в полюсе р = — 1. Отрицательный знак берется потому, что контур обходится по часовой стрелке. Имеем ото — »х ( — г'1 Г(х) = ~др [1+ р*) ~ (26) Для случая х(О путь интегрирования замыкаем полуокружностью, лежащей выше действительной оси.
Интеграл равен произведению 2а[ на вычет в полюсе р = 5 т. е. Г(х) = е"'. (27) Оба результата объединяются одной формулой Г(х)=е м~. Обозначим а = — р, тогда из формулы (21) получаем формулу обращения для комплексного преобразования Фурье: + » т (х) = 2 ~е 'Р" Гш(Р) "Р. (23) »» Пример. Найдем комплексное преобразование Фурье для функции Г(х) = е В соответствии с формулой (22) имеем »» о 7', (р) = ) ех р [ — (1 — (р) х[ е[х + ) ехр [(1 + [р) х) е[х = о =(1 — [р)- +(1+(р)- =,+,, (24) Наоборот, если дано изображение комплексного преобразования Фурье 1'ш(р) = 2/(1+ р'), то оригинал функции будет равен +» Г(х) = — ~ 1, ехр ( — (рх) т(р.
1 Г 1 (25) — »» 513 ОСН ОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА Из формул обращения (22), (23) получаются ф,о р м у л ы о б р и щ ения Ханкеля. Сделаем обобщение формул (22), (23) на случай двух независимых переменных х и у. Введем обозначение + +аз 7'„. (з, 1) = ~ ~ 7(х, у) ехр [1(зх -1-гу)) з(х а(у. (28) Тогда получим +аз +за 4язГ (Х, д) = ) ) 7,. (З, 1) ЕХр [ — 1(ХЗ -[- у1)) Г(З Е(1. (29) [„(р а) = ~ Г (г) гг[г ) ех р [1 [ — п0 + рг сов (Π— а) Ц 50.
(32) Обозначим з7 = а — 0 — я72, тогда интеграл по 0 можно переписать так: ехр [[п ( — — а)~ ~ ехр [1'(и о — рг еЗп Е)[ о[зр =- о =- 2- ах р [ йп ~ 2 — а )1,7„(рг (ЗЗ) так как интеграл по з7 является известным интегралом Бесселя. Обозначим изображение функции Г (г) в преобразовании Ханкеля через 7'н (Р): аз а (р) ) г/„(рг) Г (г) з(г ° о Тогда вместо формулы (32) можно написать (34) ~„(Р, а) = 2 к ех Р [ (п ( 2 — а Д Ун (Р). (35) Если подставим е '" Г(г) вместо Г(г, О), а выражение для Ге(р, а) по соотношению (35) в формулу (31), то получим 2яГ" (г) е '"' = ~ РГн(р) о(р ~ ех р [1 [п ~ — — а ! — Рг соз (Π— а))~ Аа. (36) о о 17 Заказ № 6ЯО Положим х = гсоз0, у = гз[п0, з =рсоза, г = рз[па, тогда формулы обращения (28), (29) примут вид зз 2 [ (р, а) =- ) [(г) гНг~ [(г, 0) ехр [(рг соз(0 — а)) е(0, (30) о о г.
4„2) (г 0) — ~рз1р ) Г„(р,а) ехр [ — (ргсоз(0 — а)) з[а. (31) о о Возьмем в качестве функции 7'(г,0) функцию е '" Г(г). Тогда из формулы (30) получим 514 Глава четырнадцатаа Положим гг = 0 — а + —, тогда интеграл по а можно представить в виде гл е ""' )е ехр [1(пч — ргяп ог)) е(о. о Если снова воспользоваться интегралом Бесселя, то это выражение можно представить в виде 2гге '" У„(рг). Следовательно, окончательно получаем формулу обращения для преобразования Ханкеля 1(г) =г~рФ.(рг)1 (р) [р.
о (37) Пример. Предположим, что функция ~(г) = 1!г. Тогда изображение функции в интегральном преобразовании Ханкеля имеет вид Гн(р) = [ у.(рг)е(г = —. (38) о Наоборот, если имеем изображение в виде ~н(р) = 1!р, то, пользуясь формулой (37), получим л» ~(г) = ~У„(рг) е[п = —. 1 о (39) лг лл Ь= =1" дго Г до 1к= Г дз з[п рх —; е[х = ~ — з[прх [ — р 1 соз рх — г(х. дк о о (40) Первое слагаемое правой части формулы (40) обращаем в нуль при дз х = О, так как япрх = О.
Если — -к 0 при х-к, что имеет место дк в задачах теплопроводности, то первый член формулы (40) равен нулю и при х-г.. Интегрируя по частям второе слагаемое формулы (40), получим лл лэ дгэ к=ла р —,. яп рхг[х = — р [0 сов рх) — рг ) 0 яп рхг(х. (41) длг к=о о о Второе слагаемое правой части формулы равно произведению изображе- В заключение этого параграфа остановимся на области применимости преобразований Фурье и Ханкеля в задачах теплопроводности. Преобразованиями Фурье и Ханкеля, рассмотренными в данном параграфе, можно пользоваться, когда независимая переменная изменяется в пределах от 0 до (теплопроводность полуограниченных тел).
Необходимо следить, чтобы интегралы, входящие в формулы преобразования, сходились. Выбор синус- или косинус-преобразования Фурье определяется видом граничных условий (условия теплообмена тела на границе раздела тело †сре). Остановимся на этом подробней. В дифференциальное уравнение теплопроводностн для одномерных задач входит вторая производная темдго пературы по координате —, . Найдем ее изображение при помощи синус-преобразования Фурье: ООНОВБ! ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ния функции Ь на р', а первый член равен — РЬ =, при условии, что Ь -о.
О при х -~ Следовательно, ОΠ—,з1п рхг(х = р[Ь)„о — Р Ь вЂ” 2 о (42) где (Ь),. о — значение функции на границе тела, т. е. температуры на поверхности тела. доЭ Аналогичным методом найдем изображение —, в интегральном косинус-преобразовании Фурье ~ —, соз рх о(х — — ( — ) — ро Ь ' доЭ дЭ о (43)' где Ь„, — косинус-преобразование Фурье, при этом предполагается, что выполняются следующие условна: Величина ( — ) выражает температурный градиент на поверхности г дЭ ~ ( дх)„о тела, который должен быть задан по условию задачи. Отсюда следует, что синус-преобразование Фурье целесообразно применять, когда задана температура на поверхности тела (граннчные условия первого рода), а косинус-преобразование Фурье — когда задан тепловой поток (граничные условия второго рода). Заметим, что, в отличие от преобразования Лапласа, производная — или любая производная нечетного порядка не может быть исключе дз дх на синус- или косинус-преобразованиями Фурье; так, при интегрировании интегралов ' дЭ Г дЭ вЂ” 'з(прхг(х, ( — созрхо(х дх дх о о по частям получим интегралы Ьсозрхдх, ~ ЬЭ1прхг(х, 5 1Ь КОНЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ й ХАНКЕЛЯ Интегральные преобразования, рассмотренные выше, обычно называются бесконечными преобразованиями Лапласа, Фурье, Ханкеля, поскольку исключаемая переменная, изменяется',от О до илн от— до -1- .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
