Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 50
Текст из файла (страница 50)
дс о (21) Пользуясь теоремой Дюамеля, можно было решить задачи, рассмотренные в Ь 1 — 7, исходя из решений для постоянной температуры среды, т. е, все задачи, в которых температура среды изменяется с течением Глава седьмая 318 времени. Но этот классический метод для подобного рода задач имеет следующие недостатки: 1) необходимо предварительно решить вспомогательную задачу с постоянными граничными условиями, так что для решения поставленной задачи требуется много времени; 2) решение получается в виде рядов, которые нуждаются в дальнейшей доработке; 3) во многих случаях не получаем эффективного решения, так как оно представляет собой некоторый интеграл, окончательно решить который затруднительно.
Поэтому для решения краевых задач с так называемыми переменными краевыми условиями пользуются методом преобразования Лапласа, который обладает рядом преимуществ по сравнению с классическими методами. Иллюстрируем на конкретном примере.
В 3 1 был рассмотрен случай, когда температура среды есть линейная функция времени, т. е. Т,(т) = Т, + Ь и Получим вновь решение данной задачи методом Дюамеля. Для сокращения вывода воспользуемся соотношением (9) и положим Т, = О. Тогда ОР си. ) = ~~ 1 — л А.-..р„— * р ( — „„' — '))вь. а2) о в=1 Соотношение (22) есть решение нашей задачи (см. 3 1); оно представ. ляет собой некоторый интеграл, который, однако, еще следует вычислить, т.
е. требуются дальнейшие преобразования. Из (22) получаем Ю Ь1св ч~ А„х Т(х, с) = Ьс — ~„—," совр,„— + в=1 х !,авт + — ~ —," сов 1с„— ехр ( — р,' — ~, а И д в ав в 1 (23) ОЭ вЂ” —," созр.„— = Ч1 + — ) Яв — хв~ в=1 Общую задачу с заданным сложным начальным условием и переменной температурой среды можно свести к двум задачам. Действительно, дТ вЂ” = а т7в Т, дс (24) (25) (26) Т ~ е=- <р(х,у,г), — (~7 Т)„+ Н [Т, (с) — Т„] = О. Положим Т =- и + Ь; тогда будем иметь — =аз'Ь, дз д: Ь~,,=О, — (из)„+ Н(Т,(т) — Ь„) = О, ди — =ар и; дв (27) (28) (29) (30) Это решение внешне отличается от решения (8) 3 1.
Чтобы доказать их тождественность, нужно показать, что ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ВЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА 319 и[„ь = <р (х, у, г), и„= О. (31) (32) Таким образом, получили две задачи. Решение для Ь только что было приведено; решение и было рассмотрено в гл. 11Т. 5 Я. ПОЛЫЙ ЦИЛИНДР Постановка задачи. Дан неограниченный полый цилиндр с заданным начальным распределением температуры Т(г). Теплообмен с внешней средой происходит по закону Ньютона.
Температура среды — заданные функции времени Т„= »р, (т), Т„= <р, ( ): (1) (2) Т (», О) = Т (г); -'-'-(р, (.) — Т (Л,, т)1: —. О, — ' [»р, ( ) — Т (Я,, т)1 =- О. Х дТ Яы ч) дг от р„ч) дг (3) Решение задачи. Для решения задачи воспользуемся формулой ко вечного интегрального преобразования Ханкеля: Яг Тн ()ь„, т) = ~ »Т(г, т) иь (ч, — )»(» О (8) где ядро преобразования " (' — ') = ~"' -'- — '" 1'('Ы- — [» Ф") ~~» Ь.)1» [г. — ), (5) 3„ — корни характеристического уравнения ио (Ь нь) нл (б) ,(ьн.) ЛВ ' — 11 ь1 и (й Р.) = [)'ь (Р.) ) — '." 1' (Р.) 1 Т (йры) — [ Ть (~.) + — '" .Т (Р.) ~ У (й Р.) (Т) В)~ = п )к1%, В)ь = взЯь)) — критерии Био, й = йети Формула обращения имеет вид ж~ В! Т ( ) = — -'- .'т р* Т„(;„, -) .
и. [Р. — 1 [ — ' Ть (й 9.)— ч ч Нь р'л 1 /, ь '~~ (й)чг)~ ~~'Ть(Н ) ' . Т1(~ь)~ ~ )ьь+ 1 В1 ) ВВ 1 1,(ь,„) в 1*[и'„+ В)*)~ ', „,,1 Для решения задачи необходимо каждый член дифференциального уравнения теплопроводности умножить на ядро симметричного преобг ) РазованиЯ гиь(Є— ~ и пРоинтегРиРовать в пРеДелах от Я, До )т,. ! г т Собственная функция и,()ь — [ является решением уравнения Бесл селя нулевого порядка при однородных граничных условиях первого рода. Глава.
седьмая 320 При интегрировании учитывались граничные условия (2) и (3), характеристическое уравнение (6), а также соотношения ио ()ь ) = — . ' и! ((ь ) = 2 2 ° в! (9) Тогда дифференциальное уравнение будет иметь вид дтн(Р„, в) аа„* 2а + " Т„(р„, я) — а В!о ио (/г Р„) Ро ( ) + — р! (т) = О. (1О) дя й я 1 Изображение функции Г" (г) обозначим л. Тн ((ь„, О) = !ь ((л„) = ~ г !с (г) ио ((л~ — ) с( !' ° (11) ль! а, Решение обь!кновенного дифференциального уравнения (10) с учетом начального условия (11) будет иметь вид Тн (и„, я) = ! ()ь„) ехр ( — (л„' Рот) + а В!о ио (й (ьв) ~ !ро (Ь) х о ( — Ь)! 2 Г р.„*а(в — Ь) 1 х ехр — " о(Ь вЂ” — ( ср, (т) ехр — " с(Ь, (12) где Ро! = ая!')с* . Воспользуемся формулой обращения (8), тогда получим Р ао (!ьв — )ехР ( — !ьв Ров ) "й! ! — — ~ !Р!(Ь) ехр ( (ь* — '~ с(Ь~ .
о 1 (13) Е ов. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД. ТЕМПЕРАТУРА СРЕДЫ вЂ” ЛИНЕЙНАЯ аоУНКЦИЯ ВРЕМЕНИ При помощи теоремы Дюамеля можно получить решение для пластины конечных размеров (2)т! х 2)сох 2)т ). Для этого воспользуемся решением для параллелепипеда при постоянной температуре среды Т, = сопз(, которое приведено в 2 9 гл. !!1. Если воспользоваться соотношением (20) в Ь 8, то после интегрирования получим ОЭ 0 О Т(х,у,г, ) =Т,-(-Ь вЂ” — ~~)„~)о,~,,"'' '',и', Х !Ьв, ! К, + Рм, О Д, + РЬ, О !!, в=!тл=! О=! в Т(г,т) = —, в «оа» в=! з в 1 лр Х ~ ~гг(г) и, ((л„— ')о(г+ л, а В( о ио ()о (св) !Г <ро (Ь) ех р ( Р'„— ) о( Ь— л! ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ БЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА 321 Х созе — совр — соз р — Х Х 2 к,!Ч ~к2П йзЕ х [1 — ехр [ — [ (к'„! К* + р,*, 7(' + р.,*, К' ) Во ] ), где К, = — (! = 1, 2, 3), — = — + — + —, Ро = —, (2) 1 1 1 1 ак я дк Еэ ° в ' дк 1 й Э А„н А,, Аа з — коэффициенты, определяемые по заданному значению критерия В1.
Если критерий В! = а, то р, = (2л — 1) —, Р = (2т — 1)— и,! и$, 2 2 и 1к„а= (2Й вЂ” 1) —. Решение (1) является более общим решением по сравнению с решением (7) $ 9 гл. Ч1. зкккз и ИО ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ С НЕПРЕРЫВНО ДЕЙСТВУ)О- ЩИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА Во многих процессах теплообмена внутри тела действуют источники тепла. Эти источники могут быть положительными (например, нагревание тела электрическим током, выделение теплоты испарения при увлажнении тела паром) или отрицательными (испарение влаги во влажном теле при его нагревании). Поэтому задач теплопроводности при наличии источников тепла очень много.
Рассмотрим только некоторые из них, наиболее характерные и часто встречающиеся в теплотехнике. Все задачи можно разделить на два вида: 1) задачи с постоянными или переменными источниками, действующими на протяжении всего процесса теплообмена (непрерывно действующие источники тепла), и 2) задачи с мгновенными источниками, действующими в течение бесконечно малого промежутка времени (тело получает в начальный момент времени некоторый тепловой импульс). К последним относятся задачи на теплообмен проводников, в которых произошло короткое замыкание, когда внутренний источник тепла действует практически мгновенно.
5 1. ЛОлуОГРАннченнОе телО дТ(х, х) д Т(х, х) + в дт дхх от Т (х, О) = Т,; дТ( ~,х) О. дх Т (О, ч) = Т, = сопз(. (1) (2) (3) (4) Постановка задачи. Имеется тонкий полуограниченный стержень с тепловой изоляцией боковой поверхности при температуре Т,. В начальный момент времени неизолированный конец принимает температуру Т, ) Т„которая остается постоянной на протяжении всего процесса теплообмена (граничное условие первого рода).
Внутри стержня действует источник тепла, удельная мощность которого го (вт(м'). Найти распределение температуры по длине стержня и удельный расход тепла в любой момент времени. Поставленную задачу математически можно записать так: ПОЛЕ С НЕПРЕРБ!ВНО ДЕИСТВУЮШИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА 323 Решение задачи при ш = сопз(. Применим преобразование Лапласа.
Тогда получим Т; (х,з) — — 'Т,(х,.)+ — '+ =О. а а заст (5) Уравнение (5) можно переписать так: Т" (х, з) — ~ Т (х, з) — — — ~ = О. з Г Т сс Б ~ Б 3 зос Общее решение уравнения (б) можно написать в двух видах: (8) Т (х, з) — — — — = Асй з.с — х+ То м з I з Б У вЂ” ~Я. +ВзЬ 'рс — 'х = А,е +В,е (7) Граничные условия (3) и (4) для изображения можно написать так: Т,'(,3) =О (8) Т,(О,з) = — '.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
