Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 47
Текст из файла (страница 47)
ТЕМПЕРАТУРА СРЕДЫ вЂ” ПРОСТАЯ ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ВРЕМЕНИ Т, (с) — Т, == Т сов 2 оо о ., ! (1) где ч — частота колебания, Т вЂ” амплитуда колебания температуры среды. Теплообмен между поверхност ями пластины и окружающей среды прзисходит по закону Ньютона. Требуется най пи распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени и удельный расход тепла.
Во многих тепловых процессах температура среды является периодической функцией времени. Тогда распределение температуры в твердом теле, нагреваемом в этой среде, будет аналогично распределению смещения колеблющихся точек при распространении волнового процесса в упругой среде. Поэтому такие задачи обычно называют задачами на распространение тепловых волн, понимая последние в макроскоппческом смысле слова. Рассмотрим задачи на нагревание тела (неограниченная пластина, шар и неограниченный цилиндр), когда температура среды изменяется по закону простого гармонического колебания, т.
е. изменяется по закону косинуса нли синуса. Обычно решения задач на тепловые волны даны для квазистационарного состояния, т. е. предполагается, что процесс продолжается столь долго, что первоначальное распределение температуры потеряло свое влияние на ход процесса (задачи без начальных условий). Здесь приводятся решения для общего случая с учетом начальных условий, из которого кзк частный случай получаются известные решения для квазнстационарного состояния. Рассмотрим подробно решение задачи для неограниченной пластины. Постановка задачи. Дана неограниченная пластина толщиной 2Н при температуре Т,.
В начальный момент времени она помещается в среду, температура которой изменяется по закону простого гармонического колебания ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ БЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА 299 Имеем т(х, О)=Т,, дт (о, .) дх (2) (з) — + Н [Т, + Т„, ссз2ачч — Т[Н, т)) = О. дТ(И, ч) (4) Ть (х, з) — — = А с)т ф~ — х.
Тч аl г (5) Постоянную А определяем из граничного условия (4), которое для изображеяия будет иметь вид — Ть Я з) + Н ~ — + — Т Я, з) ~ — О, (6) так как 1.[ссз2ачт) = Подставляя решение (5) в условие (6), имеем - — А )/ — 'зй ~/ — 'а Я+ .~ ~ .. — НАсй ~l — 'Я=О. (7) Определив из равенства (7) постоянную А и подставив полученное вы- ражение в решение (5), будем иметь т Ть (х,з) ф (а) Ф ( ) ' (8) Решение (8) представляет собой отношение двух обобщенных полиномов, которые удовлетворяют условиям теоремы разложения. Приравнивая полипом знаменателя нулю, т. е. ф(з) = О, находим корни: ан» 1) з =(2яч, аз= — (2яч; 2) з„= — —, — бесчисленное множество корней, которые определяются из обычного характеристического уравнения.
Воспользуемся теоремой разложения (случай простых корней), тогда решение нашей задачи получим в виде Задача — симметричная, начало координат находится в середине пластины. Решение задачи. Решение для изображения при условиях (2) и (3) будет Глава седьмая т(х л) Гь Тм ю сЬ 1/ !' — х а Ч = е + — И л 1 — Д+ — ~/ ! — еи а Н 1' а (9) л=! 1 л ае где м =- 2 ил — круговая частота ~»= — —, где Р— период колебания), А 1 Р' л коэффициенты, определяемые из известного соотношения для неограничейной пластины.
Анализ решения. Максимальная скорость изменения температуры среды ~ †„' ~ равна 2и л Т . Тогда критерий Предводителева будет 1вт, (.)1 т равен Рб ~ с ) Де Ях Следовательно, решение (9) можно переписать тан! 0 == — (У! ехр (! Рй Го) + Л' ! ехр ( — ! Рб Го))— 4 х 2 А совр, — ехр ( — рлро), Ел 4+р)ь ~ л л л=! где сь и'1 РВ— Н У! = 1 си У7 РД+, У'! РВ ьи У ! РВ1 В1 (12) х с1! Г' — 1Р В— К сй )/ — !Р!1+ — ф' — ! РВ еь ф' — ! РВ ~ В1 Сумма в решении (11) с течением времени уменьшается и, начиная с некоторого значения Го ) Рот (квазистационарное состояние), она становится ничтожно малой по сравнению с двумя первыми членами, так что ею можно пренебречь. ткмпккАтркнок полк ккз источников ткплА Тогда для квазистационарного состояния можно написать О = — ((ЛГ, ехр (1 Рг]ро) + У, ехр ( — 1Рг]Ро)]= — — ((Л', + Л', ) сов Рдело+ в (Л', — Л', ) юпРг]Ро]— (14)' = (Ж,.
Л',. )ч соз [ Рд Го — агс(и ~ Е -' ' ]]. Т (~ В т) =-Т + Т соз2пзт = Т,+ Т созРбРо. В этом случае сь )/~' 'рв— и ь ~' к сь ]l — г Рв ~., сь ~/ — 1 Рй Значение ]~ ~1 можно найти следующим образом. Имеем (1 + 1)' = 1+2( — 1 == 2й откуда ~/ — (1 + 1). Аналогичным путем получим: 2 Знак ~ для решений (12), (13) можно опустить, так как сог есть функция четная, а перед нечетной функцией заг стоит в' качестве множителя г. Поэтому, независимо от знака (~) получится один и тот же результат. Пользуясь известными формулами типа с] Р' Рд —,=-сЬ )/' —,' Рб(1+;),',— Из решения (14) следует, что температура в любой точке пластины совершает простое гармоническое колебание с той же частотой, что н температура среды, но фаза колебания отстает от фазы колебания температуры среды на величину агс1и ( 1 ' '1, так как О, = !+ 1~' т — т.
= созРд Го (критерий Предводителева прямо пропорционален частоте). Амплитуда колебаний температуры в любой точке пластины уменьшается с глубиной. Поэтому максимальная амплитуда соответствует поверхности пластины (х = ]т), но она меньше амплитуды колебаний температуры среды на величину (Лг, М, )чь Положим критерий В! — —; тогда температура поверхности все время равна температуре среды, которая изменяется по закону косинуса, т. е. Глава свдь»»ая 302 =- с(т ~~г — Рс! — сея ~г — Рй — -! »/! х . ° »' 1 х 2 А' 1» 2 )»» + ся(т "г — Рс( — — я!п 1г — Рс( —, 2 )» г 2 »х получим решение такого же вида, как и решение (14), но в нем значе- ние вспомогательных величин будет следующее: »/» (у; у, )н» =- агс(и ( ( ' ') = .
)У; — »'»'; Н;+Ф» - агс!д (17) сйг )Г~ ! — А, -~ (В„яйг )Г ~! =- А, ~ (В». Решение для полуограниченного тела можно получить из решения (11). Перенесем начало координат из середины пластины на левую поверхность, т. е. сделаем замену переменной х на Х вЂ” )с, и положим 2)с — . Рассмотрим выражение ехр ~ — ф»; " (»с+х)] ехр ~ — )/; — (к» вЂ” х)] У; 1 1/ — 11;— е а 1+НЬ< —: При )с — х -. 2)с — Х, )с+х = Х величина У» будет равна 1пп У~ =- »и»о Аналогично найдем ! -ю/ . »» — — У а где 7, (г) ==с)1г ссяг, 7", (г) =я!тгя!пг.
Значения гиперболо-тригонометрических функций можно найти в монографии А. И. Крылова «О расчете балок, лежащих на упругом основании» (Л., Изд. АН СССР, 1931). Вычисление коэффициентов У, и У, по формулам (16) и (17) менее удобно, чем вычисление непосредственно по формулам (15). С целью упрощения расчета в табл. 7.3 приведены значения коэффициентов А„В„А, и В„по которым можно вычислить гиперболические функции в формулах (15), а именно Глава оодемал 304 Продолжение табл 7 3 А 'ос Вс 2в и т п)е) ) Рис 7 6 Изменение относительных температур окружающей среды и поверхности тела с течением времени Тогда получнм а/ Т 1 ~ 1 ! .-х!!+0 р— 2 е ' '+ 1 2 а О— т)Х, ) — те 7 мах — !«с — Х!! — с! р' з ГТ + 1+ Н !1 — !) 2 а ! = е ' ' ! Рв)..я,~)1+ 3) соя(Х ф — — — юс)— ! — бя!п(Х ~!7 — —" — ~т)~ =, е а ' соя (Х вуl— — юс -!- агс1д 1+6/ 1зГ1, о где 8 = — у — ' — = — еу —, Р = — — период колебания.
7!'!у 2 а Н у аР ' ч Решение 118) !))ожно переписать так: 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 '8,5 9,0 9,5 10,0 †!5,794 — 5,796 16,616 55,532 1!5,788 196,!88 289,033 375,199 414,391 — 30,897 — 49,149 -68,60! — 83,365 — 83,9Р9 — 54,969 23,791 175,924 417,288 — 15,787 — 5,795 16,6!4 55,529 115, 786 196,186 289,019 375,197 414,525 — 30, 91! — 49, 159 — 68,601 — 83,369 — 83,921 с-54,970 23,79! 175,925 417,289 ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ БЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА 303 где величина (20) есть амплитуда колебания температуры ограничивающей поверхности, а величина а= ° ~с( ' ) (21) представляет собой смещение по фазе колебания температуры ограничивающей поверхности по сравнению с колебанием температуры среды (рис.
?.6). В обобщенных переменных это решение можно написать так: $8 = А, ехр( — фссс — Рс1,) сов~Го„/Го' — ( асс — Рс1„+ МЯ, $ (22) где .1о - ~1 + ) 2 ?В1* + ( В., ) ~ М = агс1я ( ) (23) (24) о В1* = —— ф' Лота (25) Выясним физический смысл числа В1*. Мгновенный поток тепла на поверхности тела равен !дТЛ д(0,т) = — Л ( ) = — ЛТ ~' — (з1п мх — совах) . (, дХ /х=о а 2а Воспользуемся соотношением е Л сов (мс+ — ) = (сов сот — з1п сох) ()Г 2) ', 4 ) (26) тогда получим, что величина мгновенного потока тепла на поверхности тела равна о(0л) =)IЛс.роТ соз(ах+ — ) = о соз (мт+ — ), (27) где о — максимальный удельный поток тепла (или амплитуда колебаний удельного потока тепла), равный д = Т 1с'Лс?в.
(28) Отношение амплитуд колебаний потока тепла и температуры равно — =- р'Лс?со . Т,„ (29) аХ' ах Рй = — — локальное число Рб для координаты Х, Ро а хо аР обобщенный локальный аргумент (безразмерное время), Ро,' =- —, критерий периодичности; отношение Ро„!Ро„' = мт, В1* — обобщенный аргумент, характерный для стационарно-периодического состояния и равный Глава седьмая ЗО6 Следовательно, величина р'7. с ты равна максимальному мгновенному потоку тепла, подведенному к поеерхноспги тела при амплитуде колебания температуры на поверхноспги стенки, равной единице (Т = 1ьК), Таким образом, число В1* равно отношению стационарного потока тепла аЛТ при единичном температурном напоре (ЬТ=1) к максимальному потоку телла Р 'ьсты в стационарно-периодическом состоянии при единичной амплипгуде колебания температуры (Т = 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
