Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 42
Текст из файла (страница 42)
о о о о вя о о о х 2 о И ы о о Ю $ Ф о о о х Ю со с> х о. о х ж х о о !о ео ео с оо Глава шестая 257 зз о е =Я о аз о 9 сх (с~ а о з з' с а х а» а е о о 5 х х (» о» «з кз о 9 Заказ Ж 640 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА )! х х о о о х х с о х аа о х ох а' о з х о х х о з х О а х а о Глаеа шестпя 258 Ю Ю С4 Ю Ю =Ю о а о о о Р о и 1о и Ю Ю Ю Ю иЪ Ю Ю Ю Ю Ю" о к а О0 Ю 4' Ю Ю Ю а ИЕ Ю г= ~! 1~ С~~ 1~ р о х о ,О о ж а„ ы Ф о о о х х о о Й 6 и Я о. о о о. о И $" Х о .4 о о Ф о 3 о, о Ф х М а СЪ, а ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЪЕГО РОДА 259 ь оо оо о~ о о ~о о ьщ ьо 3~ С~ 1! „ ь (~ "ь /~ ь !! ь о о о ь ь 2 х о, о и 3 о ь ь и Ф 6 'ь о 1 о Д о Я о М $ е о о ь $ о ь ь Ф о, ь о о о о о К с $" ж о К о о о О х 3 о » 1 й с о с л о и 8 о с О ( ж с о с $ о с с с Я У о.
о 261 Для практических расчетов на рис. 6.33 — 6.37 приведены графики относительной избыточной температуры на поверхностях полого цилиндра как функции чисел Ро и критерия В( при значениях отношения гс,Яг от 0,2 до 0,9. При этом было принято, что начальное распределение температуры равномерное (11), коэффициенты теплообмена а, и а, одинаковы (В1г = В1, = В1). $ $. ЦИЛИНДР КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ Постановка задачи. Дан цилиндр радиуса ]с и длиной 21, температура которого равна Т,. В начальный момент времени он номен(ается в среду с постоянной температурой Т > Ть.
Требуется найти распределение температуры в любой момент времени при условии симметричной задачи (см. рис. 4.27). Имеем дТ (г, г, г) (ги Т (г, г, г) 1 дТ (г, г, .) а"Т (г, г, г) ) дг (, дг' г дг дг' (т>0; 0<г<Я; — 1<'г<+!), Т (г, г, 0) = Т, = сопз1, — ) + Н(Т,— Т(й,г, ч)] = О, дг (2) (3) дТ (О, г,:) =О, Т(0, г, т)+ дг (4) !' ') +н(т, т(г ! )]=о дг дТ(г, О, г) 0 дг (6) Начало координат находится в центре цилиндра. Т,— Т(г,гл) Решение задачи.
Докажем, что относительная температура Т,— Т в любой точке цилиндра равна Тс — Т (г, г, г) Т, — Т (г, г) Т, — Т (г, .) (7) Т,— Т ТС ТО ТС ТО где Т(г, г) и Т(г, т) — температуры в той же точке неограниченного цилиндра и пластины, пересечением которых образован цилиндр конечных размеров. При этом начальные и граничные условия для неограниченного цилиндра и пластины остаются такими же, как и для цилиндра конечных размеров, т.
е. Т(г, 0)=Т(г, 0)=Т,, (6) — ") + Н (Т, — Т (Я, г)) = О, (9) дг — 'Т(' '+н(т,— т(1, .)]=о, (10) дг дТ(0, г) дТ(0, г) дг дг Глава агеегая 262 Напишем соотношение (7) в виде Т(т, г, и) =Т,— — (Т,— Т(т, г)) (Т,— Т(г, г)], (12) 1 где Лт = Т,— Т„и подставим его в дифференциальное уравнение (1).
После преобразования получим (дТ(г, и) дТ(г, п)~+ дп дг' +(т Т(г,)1(дт(' ) а(~т( )+ 1 дт(' ))1 дг ~ дтг т дг Выражения в фигурных скобках равны нулю, так как Т(т, г) и Т(г, т) являются решениями соответствующих уравнений. Следовательно, соотношение (12) удовлетворяет уравнению (1). Подставим (12) в начальное условие (2): Т(т, г, О) = Т,— — (Т,— Т(т, О)) ° (Т,— Т(г, О)) = Т„. (14) Тогда получим тождество Т (т, г, О) = Тп — (Тп — Тв) (Тп — тв) = Тд, так как бт= т,— т,. Таким образом, решение (12) удовлетворяет начальному условию.
Подставим (12) в граничные условия (3) и (5): дТ)1,п 1 Т вЂ” Тг,п — ) +Н(Т, —.ТЯ, п))1 ' ( ' =О, (15) дт 1 аТ вЂ” 'т" '+Н(т,— Т(1, ))(т' т' '=0. дг аТ Выражения в фигурных скобках равны нулю на основании условий (9) и (1О), следовательно, решение (12) удовлетворяет граничным условиям.
Таким образом, решение (7) удовлетворяет дифференциальному уравнению, начальным и граничным условиям и по теореме единственности является решением нашей задачи. Итак, Тп Т(т, г, и) Т,— Т, (О и г г ! г Г I ип, ~ Рш,г1 ~~ Ап 1А„,г/в((гп, ~ — !совр. г — ехр~ — ( — '+ ' ! ап~ (17) й! 1 ~ ~й 1! пеа я=~ где Ап,ь А г — постоянные коэффициенты, определяемые по формулам 2В)д 2В1г 1 В1г+ Вп, и 1= г .г ° шг=( 1) дп (ип 1) [Рп 1+В1~] ' ищ г (В1г + В1г+ ип, г) где (г„ ь (г, г — корни соответствующих характеристических уравнений. Необходимо отметить, что коэффициенты теплообмена для боковой и торцовой поверхностей могут быть отличны друг от друга; такое ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 263 Если подставить вместо Т(г, г, ») соответствующее выражение из решения (17), то после интегрирования получим ° Э )' ' ,2 г'ь, ! О'о!,2 0 =1 — ~ ~~В„, !В, гехр — — '+ — ' а» 1з / г=! и!=! где 2В!гг 4В!~! г (В1г+ В1»+Но!,г) Р~ ! ( Н~ !+ В1!) Удельный расход тепла находится по известным соотношениям.
$9. ПЛАСТИНА КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ Постановка задачи. Дана пластина конечных размеров 2йг'г,'21»»Х Х2Яо (параллелепипед), температура которой равна Т . В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой Т, > Т,. Требуется найти распределение температуры и удельный расход тепла в любой момент времени. Поместим начало координат в центр параллелепипеда (см. рис. 4.26), так что )»г, г»о, 1»о — соответственно половина размера пластины по трем направлениям (по осям х, у и г).
Для такой трехмерной задачи имеем ( ' ' ') =аЧ'Т(х, у,, ) дг (» >О' Я! < х< + Яб Яо < У<+)~»1 1»о<г<+1»о). Т(х, у, г, О) = Т, = сопз1, ) + Н(Т,— Т(~ 1»м у, г, !)) = О, дг (1) (2) (3) ~ "'" — ' ' ' +Н(Т,— Т(х, Л„г, )) =О, ду (4) + Н(Т,— Т(х, у, ~1»о, »)) = О. дг Распределение температуры симметрично относительно центра пластины.
же замечание можно сделать в отношении других теплофизических коэффициентов. Таким образом, решение (17) будет справедливо для анизотропного тела. Для малых значений Ро можно взять соответствующие приближенные соотношения из решений для неограниченной пластины и неограниченного цилиндра„так как решение нашей задачи состоит из произведения решений этих более простых задач. Средняя температура конечного цилиндра находится по формуле я Т(») = — ~ ~ ГТ(1, г, »)йгйг. о о 264 Глава и(встав Решение задачи.
Аналогичным способом, как и в предыдущей задаче, можно доказать, что решение поставленной задачи можно представить в виде произведения решений для трех неограниченных пластин, пересечением которых образован данный параллелепипед, т. е. Т,— Т(х, у, е, О) Т,— Т(5,5) Т,— Т(у,О) Т,— Т(5, О) Т,— Т Т,— Т Т вЂ” Т Т,— Т, Ф ОО л=! м=! «=! 2 х у Х совр,, ! — созр.„,з — созр«, з ехр ~ — ~ — ', + "'й, ' д, ' л, (7) где (л, Ф, «О+ ! 2В! )/ В!5+(Ое п(ВН+В(+не) 1 с1я(« = — (5, В! 25!П (О А= (О+ 5!П (О С05 (О (8) В1(= — «с! (1 = 1, 2, 3).
(9) Если длина 21( и ширина 2Я велики по сравнению с толщиной 2Я,(2«(5 = 2В -5 ), то решение (7) превратится в обычное решение (29) 2 3 для йеограниченной пластины. Для подсчета удельного расхода тепла необходимо определить среднюю температуру пластины по формуле Я1 ИО ЯО Т(5) = ) ') ) Т(х, у, г, 5)а(х((у((г. (1О) )~5(~5)~5 О О О Подставим вместо Т(х, у, г, 5) соответствующее выражение из решения (7), тогда будем иметь ОО ОО Ф Г 7 2 з = 1 — )',) ~' Вл, (ВФ, 2В«,зехР— — "2' + =! т=! «=! (1"! +; + — ' а где Т(х, 5), Т(у, 5), Т(г, т) — температуры соответствующих трех неограниченных пластин.
При этом решения для Т(х, 5), Т(у, 5), Т(г, 5) удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям (1), начальным условиям (2) и граничным условиям, аналогичным (3) — (5), Доказательство производится тем же способом, поэтому мы предоставляем его читателю. В результате решение нашей задачи можно написать так: ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 265 где 2ВР (12) в= э (ВН+ В' + н1) Для практических расчетов можно воспользоваться соответствующими графиками рь~=Г(В1,), Аь~=~(В!,) и Вь~=т" (В1,), где = 1, 2, 3.
Для более точных расчетов необходимо брать значения р„ А, В из соответствующих таблиц. Для малых значений Ро можно взять соответствующие приближенные решения для неограниченной пластины (см. 3 3). Решение (7) справедливо и в том случае, когда по всем трем направлениям х, у, г термические коэффициенты будут различны, т. е. в случае анизотропного тела. % 10.
АНАЛИЗ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ Сделаем анализ решений рассмотренных задач. Для тел простейшей геометрической формы (пластина, шар, цилиндр, параллелепипед) решение задачи на нагревание в среде с постоянной температурой (граничное условие третьего рода) можно написать так: -хаА, ~(~, — ')'р[ — [~'., ')".1 (о где А„~ = (А„, 1Ап зА~, з) — начальные тепловые амплитуды, зависящие от начального распределения температуры и геометрической формы тела; Ф [р„,; — ) — функция, учитывающая изменение температуры по коорх~1 ! динатам (х = х„у = хг а = х ); )~„Я,, )г — размеры тела; )г,— обобщенный размер тела, равный отношению объема тела ()Г) к его поверхности (3), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
