Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 38
Текст из файла (страница 38)
(14) Имеем яп !!ив Гз(г) = ~~)~ ~С„ (15) и=! С известными оговорками относительно функции Гз(г), которые неоднократно проводились, можно определить Сл по методу Фурье. Умножим обе части равенства (15) на г яп 1з — ' й, где и — т-й корень характеристического уравнения (12), и проинтегрируем от О до Я: и и =~" Х ГГ! (г) яп р.
— о(г = 1 ~„С„яп 1з„— яп 1з„— г(г= о о и=! и и = ~ С„) япн — япп„— а(г. (16) л=! о В гл. 1У было показано (формула (13) 2 4), что любой интеграл правой части равенства (16) может быть представлен так: и Р ° Г . и ° зк (ила ззп !зл сок ит — о из!Пи и соз !зи) ! = з1п1! — з1п1зи — пг— Е "Е о ( — ' 1д Р„с(д 1з„— 1) . (17) Из характеристического уравнения (12) можно написать: 1яр,„с1ЕР„= — = 1, !зт ил ил ии г~ Следовательно, интеграл (17) равен нулю при т+п. Если т=п, то интеграл (17) будет равен и = ( )ии г /1 з!п2илт Е япз1„— а( = Я ( — — '" ) = — (1з„— з(пп„созп„).
(18) Е (, 2 4ии ,) 2вл о В Заказ № О40 Первые шесть корней п„(с точностью до четвертого знака после запятой) приведены в табл. 6.5 для разных значений критерия Био. В большинстве случаев приходится ограничиваться одним, редко двумя значениЯми Рл. Вернемся к решению (5). Так как имеется бесчисленное множество постоянных То = — '" —, определяемых из характеристического уравнена и ния (12), общее решение задачи может быть записано как сумма всех частных решений: Глава шестая 226 Таким образом, все интегралы в соотношении (16) равны нулю, за ис- КЛЮЧЕНИЕМ ОДНОГО, КОГДа Пт = П. СЛЕДОВатЕЛЬНО, ПОСтОЯННаЯ Сл Раппа й г гВ (г) 51ПР» — с( С— ФР» л ! г ГГ1 (г) з!п(р„— с(г. о !Рл 5!П !Рп 005 Рл й Г Мпр И вЂ” р(Г л о Общее решение нашей задачи имеет вид 6(х, 5) = Т,— Т(х, с) = р Г 2Р.» 5!И Лл — (' 2Ра =Х ГГ5 (г) з!п (р„— с(ге (Рл 51П Рл 005 1"л п=! о (19) Т (1, 0) = Г (г) = Т, =- сопз1, то интеграл в решении (19) может быть вычислен до конца: й — ! (Т,— Т,)гз1п)р„— с( = (з!п(р„— (с»соз)р„), ! 1" .
г (Т вЂ” 7)Я о Р'л так как ) ХЗ!ПХС(Х = 51ПХ вЂ” ХСОЗХ. В окончательной форме решение задачи можно написать так: Т ( ° р) — То Т,— Т (20) Г й 51П !Рл 2 И вЂ” 1 Ра. е 1 Рл — 2 (5!и (Рл — Р.л 005 ил) !Р» — 510 !Рл 005» л Решение задачи операционным методом. Решение дифференциального уравнения (1) для изображения Ть(г, з) при условии (4) имеет вид [см. решение (22) з 4 гл. 1рт): 5Л )Г в г ТГ (г, з) — — ' = В 5 Г Граничное условие (3) для изображения будет иметь вид — Тт Я, з) + Н ~ — ' — Ть(Я, з)~ = О.
Находим постоянную В: ! ° I 5 '5тгв В '5/ 5 Н7р Н7р — — В "!à — с)1 У вЂ” )с+ — з)1 У вЂ” )с+ — — — '— )1 У а У а а 5 5 (21) (22) — — з[1 )Гà — Я = О, Если температура шара в начальный момент времени не зависит отг, т.е.
ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 227 откуда (т,— т ) ни (23) за~НИ вЂ” 1)зп ~Г И+~/'' Вен~/ В~ Решение (21) примет вид Т„(г, з) — — = Тз (т,— т,) НВззн1/Г' г а Фз (5) (24) Числитель Фз (3) и знаменатель у, (3) решения (24) не являются обобщенными полиномами относительно з, но их можно привести к таким полиномам Ф(з) и 7(з), умножив тот и другой на 1/ — . В этом случае можно з а воспользоваться соотношением Ф (зл) Фз (зл) (25) Ф' (зл) рз (зл) где Ф(з) = азФ,(з), ч!(3) = азф,(з) (при условии ззчь.О), Ф(з) и 4) (з)— обобщенные полиномы относительно з. Найдем корни зл, для чего ф,(з) приравняем нулю, т.
е. ф,(з) = гз ~(НЛ вЂ” 1)з)! ~/' — ' Я+ ~ Кс)1 ~Я1 = О. Отсюда будем иметь: 1) з = 0 (нулевой корень), 2) (Нзс — 1) 3)! 1/ — ' Я -1- 3 1 ° ° з + ~/ — ' й с)! ~/ — 'И =- (НК вЂ” 1) —.31п 1 1/ — ' К + ~/ — ' асов(~/ — 'Я= а а 1 а а а 2 . ' ° 3 а лл = О; обозначим 11/ — Я = р., тогда зл = — —, причем )зл определяются из характеристического уравнения (Нзх — 1) з(п)л + Рсоа)з =-' 0 или (н, (26)  — 1' где В1= Нй — критерий Био. Ф (о) Для первого (нулевого) корня найдем значение, для чего пре( ' (о) ' образуем (24) так, чтобы оно представляло собой отношение двух обобщенных полиномон: Фз (з) Ф (з) 1 з 1 зз (Т вЂ” Тз)В!Н~л + гз+ лз + ...) 31 а 51 а' 1 з 1 3 1 зз ~(В1 1)(В ! аз 1 1 а ! — аз+ — оз ! )~ 31 а ) ! 21 а 4! а' Ф (з) ф (з) 228 В результате получаем 1пп "' = (Т, — Т,) 5 о Ф' (5) Для остальных корней находим ф1' (з): ф (з) =г[ — ) -[-г[(В1 — 1) — [/ — Я с)1 ~/ — Я -1- + — У вЂ” Я с)1 "11 — Я+ — — Ялз)1 у — ' 1 ч 5 т/5 1 5 5Г~ 2 У а У а 2 а У а где [ — ) означает выражение, стоящее в квадратных скобках в знаменателе решения (24); оно равно нулю при з = зл.
Таким образом, 1 Рл (11'(Зл) = — " [(В! — 1)СОЗрл+СОЗрл — рла!Прл)= 2 — [В! соз Рл — Р„з!и Рл) = Рл (з!п Рл соз Рл — Рл), галл " рл 21 21 5!П Рл В1Я . и (Т,— Тл)Я .. л Ф,(зл) =(Т,— Т) — з!прл — = ' (з!прл — [л„созрл)з!прл —. й 15!П Р Итак, решение нашей задачи имеет вид (27) где 2 (51П Рл — Рл СО5 Р'л) л рл — 5!и рп со5 рл (28) Таким образом, получаем решение, тождественное решению (20).
Начальные тепловые амплитуды являются однозначными функциями критерия Био. Поэтому для расчета более удобно пользоваться таким выражением для Ал, в котором тригонометрические функции заменены через рл и критерий Био согласно характеристическому уравнению. Так, для Ал можно написать: 2В! $/ р2+(В1 И Ал — ( — 1)л" рп + В15 — В1 (29) (30) Рл = П'5~ Вычисленные по этой формуле шесть значений Ал с точностью до четвертого знака после запятой приведены в табл. 6.6. Для практических расчетов на рис.
6.20 и 6.21 приведены номограммы для определения о„(относительная избыточная температура поверхности шара) и ()и (относительная избыточная температура в центре шара) в зависимости от критерия Био и числа Фурье. Анализ решения. Если В! †. , то согласно характеристическому уравнению (26) к 1 о о М О О3 о И б Д О » $ 3 О. Ю И й Ю Ф" с Ь' о 6 2 О Я с О Р Ь' о о 6 о Ы Б 4 ( О, о о ы а ~Ъ ~Э ~ о 4 О. $ х и 2 О. > й Л й 'Ю и о 1 2 О и ж о ж и о $ о И х О.
о М ж Ы ы в. о. 3 С~ С> с~ С3 \' Ю З 23И а начальные тепловые амплитуды равны .4и = ( 1)" '2 = 2( — 1)" (31) Тогда решение (27) становится тождественным решению (32) З 4 гл. [Ч, если в последнем положить 0„, =! — 0„,„, где 0,„, = ',(То)Т,— т,— т,' охлаждение шара), а 0п,„= ' (Т,) Т,— иагревание шара), т,— т, Если В[ = 1, то (32) [з„= (2п — 1) —, А„= ( — !)""— 2 )оо Тогда скорость нагревания будет зависеть только от теплоинерционных свойств материала. При малых значениях В!(В[-+ 0) все коэффициенты А„-+ 0 за исключенисм первого (А, = 1), а [ 2! = ЗВ! [см. соотношение (10)1, Тогда решение (27) для малых значений В[ можно написать так: )г з!и )'ЗВ!— 0= — 1— -зв!го е (33) г згЗВ! Из анализа решения (27) следует, что благодаря неравенству (9) ряд быстро сходится при не слишком малых значениях Ро, так как экспоненциальные функции ехр ( — гз„Ро) быстро 'уменьшаются с увеличением и„, Поэтому если исключить из рассмотрения малые значения Ро, то можно ограничиться одним членом ряда; тогда решение примет простой вид г )з 3!пэз „2г 0=! — А, е ' при Ро >Ро,.
(34) Для удобства практических расчетов на рис. 6.22 и 6.23 построены графики рз =- 7(В!) и А, = т(В!) для разных значений критерия В! (от 0 до 20). При В! > 0,1 корень аз можно вычислить по формуле (15) 0 11. Для малых значений Ро в решении (27) приходится брать несколько членов ряда, что представляет известные трудности для расчета.
Поэтому найдем приближенное решение нашей задачи, пригодное для малых значений Ро. Решение для изображения можно написать так: То В! (То — То) Л З вЂ” О!и — ! — О!и+ !) < Тз (г, з) — ! е — е з гз НВ! — !) + Ч)(1 х 1+ — е ~ ж (е — е ГЧ)з — (В! — 1) — зол~ В! г! (То То) ! — о!и — г! — о(Я+г!) (35) д)г+ (В! — 1) ) гз НВ! — 1) + дК~ где д = 1~. Выражение, стоящее в квадратных скобках, мы разложит а ли в ряд и ограничились первым членом, так как для малых значений Ро величина дЯ =- 1гг — ' гз велика. а 232 Таблица б.б 2В! 1'~! — !!т+И'„ !"„+ в — в постоянных А„= ( — !)втт Значения ле и в! 0,000 0,005 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10 11 16 21 31 41 51 61 81 101 1,0000 1,0025 1,0035 1,0055 1,0089 1,0121 1,0147 1,0181 1,0206 1,0239 1,0266 1,0297 1,0443 1,0592 1,0880 1,1164 1,1440 1,1713 1,1978 1,2237 1,2488 1,2732 1,2970 1,3200 1,3424 1,3640 1,3848 1,4051 1,4247 1,4436 1,4618 1,4793 1,5579 1,6223 1,7201 1,7870 1,8338 1,8673 1,8920 1,9106 1,9249 1,9364 1,9663 1,9801 1,9905 1,9948 1,9964 1,9974 1,9985 1,9993 2,0000 — 0,0000 — 0,0023 — 0,0046 — 0,0091 — 0,0137 — 0,0182 — 0,0227 — 0,0273 — 0,0318 — 0,0363 — 0,0409 — 0,0454 — 0,0679 — 0,0894 — 0,1345 — 0,1781 — 0,2216 — 0,2633 — 0,3048 — 0,3455 — 0,3854 — 0,4244 — 0,4626 — 0,4999 — 0,5364 — 0,5720 — 0,6067 — 0,6405 — 0,6735 — 0,7063 — 0,7368 — 0,7673 — 0,9073 — 1,0288 — 1,2253 — 1,3733 — 1,4860 1,5731 — 1,6409 — 1,6949 — 1,7381 — 1,7732 — 1,8766 — 1,9235 — 1,9626 — 1,9780 — 1,9856 — 1,9901 — 1,9942 ' — 1,9962 — 2,0000 0,0000 0,0013 0,0026 0,0052 0„0078 0,0104 0,0130 0,0156 0,0183 0,0209 0,0235 0,0260 0,0390 0,0520 0,0779 0,1036 0,1292 0,1546 О,!799 0,2050 0,2299 0,2546 0,2792 0,3035 0,3276 0,3515 0,3752 0,3986 0,4218 0,4447 0,4674 0,4899 0,5980 0,6993 0,8811 1,0363 1,1673 1,2776 1,3703 1,4482 1,5141 1,5698 1,7489 1,8385 1,9186 1,9515 1,9680 1,9773 1,9869 1,9915 2,0000 — 0,0000 — 0,0009 — 0,0018 — 0,0037 — 0,0055 — 0,0074 — 0,0092 — 0,0110 — 0,0129 — 0,0147 — 0,0166 — 0,0184 — 0,0275 — 0,0368 — 0,0551 — 0,0734 — 0,0916 — 0,1098 — О, 1270 — 0,1460 — 0,1640 — О, 1819 — О, 1997 — 0,2175 — 0,2352 — 0,2528 — 0,2703 — 0,2878 — 0,3051 — 0,3228 — 0,3395 — 0,3565 — 0,4365 — 0,5205 — 0,6719 — 0,8095 — 0,9333 — 1,0437 — 1,1415 — 1,2280 — 1,3042 — 1,3713 — 1,6058 — 1,7360 — 1,8616 — 1,9161 — 1,9441 — 1,9601 — 1,9769 — 1,9850 — 2,0000 0,0000 0,0007 0,0014 0,0029 0,0043 0,0057 0,0071 0,0085 0,0100 0,0114 0,0128 0,0142 0,0214 0,0285 0,0427 0,0569 0,0710 0,0852 0,0998 0,1134 О,!275 0,1415 0,1555 0,1694 0,1833 0,1972 0,2110 0,2248 0,2385 0,2522 0,2659 0,2795 0,3449 0,4122 0,5384 0,6570 0,7702 0,8695 0,9633 1,0489 1,1269 1,1677 1,4633 1,6256 1,7950 1,8732 1,9145 1,9387 1,9644 1,9767 2,0000 Глава шестая — О, 0000 — 0,0006 — 0,0012 — 0,0023 — 0,0035 — 0,0047 — 0,0058 — 0,0070 — 0,0081 — 0,0093 — 0,0105 — 0,0116 — 0,0174 — 0,0232 — 0,0349 — 0,0465 — 0,0580 — 0,0696 — 0,0812 — 0,0927 — 0,1042 — 0,1157 — 0,1272 — 0,1387 — 0,1501 — 0,1616 — 0,1730 — 0,1843 — 0,1957 — 0,2078 — 0,2183 — 0,2296 — 0,2855 — 0,3405 — 0,4476 — 0,5501 — 0,6428 — 0,7398 — 0,8264 — 0,9073 — 0,9827 — 1,0527 — 1,3305 — 1,5149 — 1,7225 — 1,8263 — 1,8802 — 1,9135 — 1,9492 — 1,9667 — 2 в0000 а 1 1 1 1 ° заа»аааеаапппвввпаапвввиееевеапеввез»» ° ввпппппвппппзвпввпввппззпввн» ==п»езппвйпйепп пеппапеппезпппееюппипапйпе»вп»вппйййпппппеепппееа ° еаааааапюзезааееааевв н»айееваееенаеанаеаеаезе вапвваевевеваазвеуа .-»Вваавеееиваееаваавеаавевеав ° аааввайааааеазае.вВЙййевавеааееваеееаапаееааппав ° ваааавааааааа ввавваааааанизваапааваюапааваапвв ° вааеаваааааиввааееаазеевваааввавваапвюавюаваааазв ° аавааавйайп»завпйпйвапайввеаеайеанйвааеейевеапввв пв напевен ° наев нев ван вввиеаваа ° авааааавагававвааааеааваававаайайааааааеапезазза нввпвввзааааааааюаавазайвиаавваввепвюввппв не ° евйвйев»заааавййппвйваавпйееейвваеввйвававайнв ° ввававг,вавввававааааааайваавпавиапааававвааавве ввпзе»ааазааапаававпаааааеюазввеаланввнавееваа аваева гавааавеааееаиааваааипзаааваевваапввааававв ° ававггаейИваевеййввввейаавййзевййааввейпйнваеепв авве»ззвевввйевевепееаввваааавеаайаваааааввааай» ° Вввпв пвеаавпавеаааюиввава йвлаайвваввг -»айвза ° ааанвааайййиаипавайвйвйв$пппйпйпа 5ййайппйпп ййпйййййййвйпййаааййпййввйпййюпзйайййееаййюййщрайпийй иайпййпйпапппйвпппайпппппп ивплапн пп панаева ° в Ф .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
