Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 33
Текст из файла (страница 33)
(Т, — ТР,, )) = О, +), ' + а (Т„,— Т( — Кт)1= 0. (1) (2) (3) (4) ) — =- О. дТ(О, т) дл (4') Решение задачи методом разделения переменных. Сведем задачу на нагревание к задаче на охлаждение путем замены переменной Т,— — Т(х, т) = О(х, т). Тогда дифференциальное уравнение для б(х, т) будет тождественно дифференциальному уравнению (1), Частное решение уравнения (1) при условии (4') имеет вид (см. ~ 2 гл. Н1): Ь(х, т) = Осоз ухе-л" . (5) Удовлетворим решение (5) граничному условию (3), которое для новой переменной прймет вид +Но(~,,) =- О, (6) Начало координат выбираем в середине пластины (рис. б. 4).
Решение задачи будем производить двумя методами. При наличии неравномерного распределения температуры лучше воспользоваться классическим методом Фурье. Для упрощения расчетов предположим, что функция Г(х) является четной функцией относительно х, тогда задача становится симметричной, так как теплообмен между поверхностями и окружающей средой происходит со всех сторон одинаково. В этом случае вместо условия ,(4 можно написать 192 Глава шестая тогда — А О з1 п й)се — "*'" + + Н1т соз й)се — а*" = О.
(7) Можно сократить на Ре — "", так как 0 < «, тогда получим тригонометрическое уравнение для определения постоянной й: с1п АЯ = — = — = —. й й!с й!с и нк в! (8) НР, = — 'Д = В1 есть кри- Х Величина терий Био. Обозначим й)с через р. Из аналиРис, З З, Графический спосон онре- за уравнения (8) видно, что 9 имеет явления корней характеристического бесчисленное множество значений. Наураанения иболее просто можно определить корни уравнения (8) графическим путем. Если левую часть уравнения с1п р обозначить через ух(у =- с1д р), а правую часть — через уа(уа = 1 = —; р), то пересечения котангенсоиды у! с прямой уа (рис.
6. 5) дают нам значения корней р характеристического уравнения. Из рис. 6. 5 видно, что имеется бесчисленное множество корней рн причем каждое последующее решение больше предыдущего: Первые шесть корней р„приведены в табл. 6.1 для разных значений критерия В1 (от 0 до ). Значения !а„даны с точностью до четырех знаков после запятой. В большинстве случаев приходится пользоваться только одним, редко двумя корнями !х„, так как для малых значений Ео решение дается в другой форме. Таким образом, общее решение будет равно сумме всех частных решений: х ! 2 ос! й(х, е) = Х О„созр.„— ехр ~ — р„—, !. л=! (10) па< 9,<йа« .
9„< Чем больше п, тем ближе р„к числу (и — 1)еь 1 Тангенс угла наклона прямой у, равен —.. Поэтому при В! -н тангенс наклона будет равен нулю, и прямая совпадает с осью абсцисс. Тогда р„ = (2п — 1) — , т. е. получаем характеристические числа для 2 задачи охлаждения с постоянной температурой на ограничивающих поверхностях (см. 9 3 гл. 1Ч). Если критерий Био стремится к нулю, то тангенс угла наклона прямой уа стремится к бесконечности, что означает, что прямая уа созна.
дает с осью ординат. Тогда корни уравнения равны р„=(п — 1)н, где и =-1, 2,..., т. е. р, = О, р, =т' и т. д. Таким образом, характеристическое уравнение (8) можно написать так: с1др. = —. р.. ! В! (9) ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА Таблица 6.1 1 Корни характеристического урввненив с!8 о = —. о.
в! В! Постоянные )у„определим из начального условия (2), которое для переменной Э можно написать так: 8(х, О) = Т, — Т(х, О) = Т, — Г(х) =- Г,(х), (1)) откуда еч Гт(х) = Х !Г1„совр„ в=! Если функция Ях) удовлетворяет условиям Дирихле, то ее можно разложить в ряд Фурье. Умножим обе части равенства на совр х агх и вг возьмем интеграл в пределах от — !с до + 7г' ц-н о +и 7'т(х) соз Р— г(х =- ~„(7 ( соз Є— "- соз Р— "'г(х, (12) — л о=! — а 7 Зевав № б40 0 0,001 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 15,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 80,0 100,0 0,0000 0,0316 0,0447 0,0632 0,0774 0,0893 0,0998 0,1410 0,1987 0,2425 0,2791 0,31!1 0,4328 0,5218 0,5932 0,6533 0,705! 0,7506 0,79!О 0,8274 0,8603 0,9882 1,0769 1,1925 1,2646 1,3!38 1,3496 1,3766 1,3978 1,4149 1,4289 1,4729 1,4961 1,5202 1,5325 1,5400 1,5451 1,5514 1,5552 1,5708 3,14!б 3,1419 3,1422 3,!429 3,1435 3,1441 3,1448 3,1479 3,!543 3,1606 3,1668 3,1731 3,2039 3,234! '3,2636 3,2923 3,3204 3,3477 3,3744 3,4003 3,4256 3,5422 3,6436 3,8088 3,9352 4,0336 4,!1!6 4,1746 4,2264 4,2694 4,3058 4,4255 4,4915 4,5615 4,5979 4,6202 4,6353 4,6543 4,6658 4,7124 6,2832 6,2833 6,2835 6,2838 6,2841 6,2845 6,2848 6,2864 6,2895 6,2927 6,2959 6,299! 6,3148 6,3305 6,3461 6,3616 6,3770 6,3923 6,4074 6,4224 6,4373 6,5097 6,5783 6,7040 6,8140 6,9096 6,9924 7,0640 7,1263 7,!806 7,228! 7,3959 7,4954 7,6057 7,6647 7,70!2 7,7259 7,7573 7,7764 7,8540 9,4248 9,4249 9,4250 9,4252 9,4254 9,4256 9,4253 9,4269 9,4290 9,43!1 9,4333 9,4354 9,4459 9,4565 9,4670 9,4775 9,4879 9,4983 9,5087 9,5190 9,5293 9,580! 9,6296 9,7240 9,8119 9,8928 9,9667 10,0339 10Г0949 !0,1502 10,2003 10,3893 10,5!17 10,6543 10,7334 10,7832 !0,8172 10,8606 10,8871 10,9956 12,5664 12,5665 12,5665 12,5667 12,5668 12,5670 12,5672 12„5680 12,5696 !2,5711 12,5727 12,5743 12,5823 12,5902 12,5981 12,6060 12,6139 12,62!8 12,6296 !2,6375 12,6453 12,6841 12,7223 12,7966 12,8678 12,9352 12,9988 13,0584 13,1141 13,1660 13,2142 13,4078 13,5420 !3,7085 13,8048 13,8666 13,9094 !3,9644 13,9981 !4,!372 !5,7080 15,7080 15,7081 15,7082 15,7083 15,7085 15,7086 15,7092 15,7105 15,7!18 !5,7131 15,7143 15,7207 !5,7270 15,7334 15,7397 15,7460 15,7524 15,7587 !5,7650 15,7713 15,8026 15,8336 15,8945 15,9536 16,0107 !бн9654 16,1177 16,1675 !6,2147 16,2594 16,4474 16,5864 16,7691 16,8794 16,95!9 !7,0026 17,0686 17,1093 !7,2788 Глава аеестая 194 В 9 3 гл.
1Ч было показано [формула (10)), что интегралы в правой части соотношения (12) равны +я соя и — сово — с[х = л о т д — я 2Д[птжп отсов лл — лассе Итйп Ил! (13) 2 2 Ит Ил где Ис = и. Так как а и р„— корни характеристического уравнения (9), то можно написать В[= —, В[= Ил мп Ил Нт мп Нт соя И„' соя л Отсюда находим и в!пр совр„= — В1 сов и„сов р, [л„я!п [ „совр = В! сов[е„сов [е,е Следовательно, выражение в квадратных скобках в равенстве (13) равно нулю при гп+и. Поэтому интеграл (13) равен нулю, если пгтьп. Для случая т = и интеграл (13) равен ~сов'Ȅ— "с[х =-Л(1+ ""2~"'") =)т(1+ """"'" ") = — Я = — (а„+ гйп [е„сов о„) р (14) [см.
формулу (11) 9 3 гл. 1Ъ'). Следовательно, все интегралы в правой части равенства (12) равны нулю, за исключением одного, когда и = и. Последний интеграл определяется формулой (14). Таким образом, постоянные коэффициенты Р„ равны +л ) Ях)сов и„— дх — я 'Рл 3 соя' 9, — йх Общее решение нашей задачи можно написать в виде +Я вЂ” Я Ь(х, с) = Т, — Т(х, с) = т Я 2 ле =Х Ил х 2 Г е лЖ сов [е„— — ) Ях)сов [л„— е йх.
Ил+ е!и лл соя лл и и,) л (15) Решение (15) есть одновременно решение задачи на нагревание неограниченной пластины толщиной 1= ес, когда одна поверхность ее (х = О) имеет тепловую изоляцию, а противоположная (х = 1) нагревается благодаря теплообмену с окружающей средой. Если функция Г,(х) есть функция нечетная относительно х, то вместо частного решения (5) пришлось бы взять частное решение Ь(х, л) = С в!п /гхе — л"', ГРАИИЧИОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 195 Тогда аналогичные расчеты привели бы к следующему решению: л Глл ЫП лл, т=! и (15а) 2 !' .
к 2 х — ~ ~г(х) яп;л,„— е — !' елдх, о где 1л„, — корни характеристического уравнения 1 18Р в! ~' х .. х со5 р — — + В! 5ш Рл л=-! — В1 яп р. — — ~ дх ! ехр ( — 1л „вЂ” ~, л1)~лр (18) где 1 = 2Я вЂ” толщина пластины, рл — корни характеристического уравнения сМ = ~Р2 В.
(17) Начало координат находится на одной из поверхностей пластины (О< х<1). При равномерном начальном распределении температуры имеем Т(х, О) = — 7(х) = Т, =- сопз(; Г!(х) =- Т,— 7(х) = Т,— Т, =-сопз(. Тогда интеграл в решении (15) будет равен 2 Р х 2 (Тл — Т,) — ) совр.„— 'с(х —.= — (Т,— Т,) яп 1л„, а решение примет вид Т,— Т(х, л) 2л!плл х / здл1 " — — соз рл — ехр ( — и„—,)!. Тл — Тл Нл-!-ь1аилсьлил " И ( "И')' — ~.) (18) л=! Напишем это решение в обобщенных переменных т — т =1 2 А соей ехР( Р"Ро) 2 т„— т (19) л=-! Решение (15а) является одновременно решением задачи нагревания неограниченной пластины толщиной 1 = 77, когда одна поверхность ее (х = О) поддерживается при постоянной температуре Т, = сопз1, а противоположная поверхность (х = 1) нагревается по закону Ньютона (функция Г!(х) является любой функцией, удовлетворяющей условиям Дирихле).
В общем случае, когда обе поверхности нагреваются, решение задачи можно написать так: Глава шестая $96 где 2 в!а лл л ля+ 5!п лл сов лл (20) Решение задачи операционным методом. Решение дифференциального уравнения (1) для изображения Тс(х, я) можно написать так (см. 93гл. Ш): Тс(х, я) — — ' = А сй 1/ ' х -1- В яЬ 1/ ' х, (21) в У а У а Граничные условия для изображения будут иметь вид — Ть(К я) + Н ( — ' — Тт (К я)~ = О, Тт (О, я) = О. (22) (23) Из условия симметрии (23) следует, что В = 0 (распределение температуры симметрично относительно оси ординат). Подставим решение (21) в граничное условие (22): У а У а У а отсюда определяем постоянную А: Т,— Т, (24) Таким образом, решение для изображения будет Т вЂ” Т с)1 ( с о) 1/ х Ть(х, я) — .
(25) в(ся 1/ )с+ — „~/ — в)т ~/ в я ~ а + 31 (а)~ +''' Таким образом, решение (25) удовлетворяет условиям теоремы разложения, так как полипом у(я) не содержит постоянной. Найдем корни функции ((я), для чего приравняем ее нулю: е( ) = [ й у' ' г + — „' 1/Г ' 5 1/ ' Л~ =- = я(соя(~/ ' Я+ — ~/ ' —,я)п()/е ' й~ = 0; (26) 1 здесь использовано соотношение с)т г = соя(г, яп г = —. я(пяг. Решение (25) есть отношение двух обобщенных полиномов: выраже- ние с)т1/ ' тс — полипом относительно я, выражение 1/ ' яп1/ ' Я— У а а У а тоже полипом, а именно 197 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА Отсюда получаем: 1) я = 0 (нулевой корень), 2) бесчисленное множество корней ял, определяемых из уравнения соя 15 + —.,' я!п и = О, где 11/ ' )г= 1; так как !5 = — 1, то получим Г а 1 с!и 15 = — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
