Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 37
Текст из файла (страница 37)
1;! Если стержень имеет тепловую изоляцию (отсутствие теплоотдачи с боковой поверхности), то В! = О; тогда 0 = 1 — ~~~ ~( — 1) +' — соз рл — ехр (-- [х~ Ро). (14) Вл л=! Решение (14) есть решение для неограниченной пластины при постоянной температуре ограничивающих ее поверхностей. Это обусловлено тем, что распространение тепла в ограниченном стержне, имеющем теплонзоляцию на боковой поверхности, аналогично распространению тепла в неограниченной пластине.
Решение (!3) можно получить в ином виде, если решение для изображения (12) преобразовать методом, описанным в 9 3 гл. 117. Тогда будем иметь Ть(х, з) — — =- ~ ( — 1)л ' (ехр ( — -у~ — + ) [(2а 70 7» — 7» л л а Лй »=1 — 1) Х~ — х)) + ехр ( — ( [/ — + — й ) [(2п — 1) Я + хф. (15) Переходя к оригиналу, получим 0=- ! Х( — 1)" л=! х к ! — Я 2л — 1 —— — (ы — ! — — ! !' в!— е л) " ег1с 2)! Ро х — Е [! — ! — — ! Ув! 2а — 1 —— Е .. Š— У'В[Ро — + е а " ег1с — + '1~ В!Ро — + й~ 2фно й к!~ х (~ — !+ — ")тв! — " +Е . Е ~~ ( 1) л! е л " е1гс = — ~' В!Ро — + 2 2 )/Ро й л=! к 2» — 1+ + !~ ~~ а!~~ » 1 ~~ +~ В[Ро . (16) 2 )ГРо й /' Если в решении (16) положить В1 = О, то получим решение (28) 9 3 гл. 1!!'.
Если же начало координат перенести из середины к левому концу, т. е. сделать замену переменной х + Я =- Х, а Я вЂ” х == Глава шестая 220 =. 2тс -- Х и положить 2)с =, то решение (16) будет тождественно решению (14) 2 2. Вернемся к рассмотрению поставленной задачи. Можно показать, что решение (10) для изображения удовлетворяет условиям теоремы разложения, т. е. числитель и знаменатель — обобщенные полиномы относительно з, причем полипом знаменателя не содержит постоянной благодаря присутствию множителя з. Применяя теорему разложения и производя аналогичные преобразования, которые были сделаны в предыдущем параграфе, получим решение нашей задачи в виде сь )/ Вй т(я, ) — те тс — т сй г' В~ — + Ь )тВ а ив1 а ня г (' А совр, — ехр ~ — р,„+ В1г — ~ро ~, и'„+ В,— „, (17) где В1 = —, А„= . — начальные тепловые амплитуата 2ыпи„ Х ая + 51п Нп сов ап ды, приведенные в табл.
6.2; они являются функциями критерия В)г = =- — 'тс; 1т„— характеристические числа, определяемые из уравнения с(д р = —. р. 1 В1, Анализ решения. Если В1г = (это означает, что температура концов стержня постоянна), то решение (17) становится тождественным решению (13), так как А„= ( — 1)."+' —, где р.„= (2п — 1) —. Если положить В1, = О, то получим СО 6 = 1 — ) А„соз1я„— ехр ( — ргро) л=! (18) т, е, решение для неограниченной пластины, когда теплообмен между ограничивающими поверхностями происходит по закону Ньютона.
Это решение тождественно решению (29) 2 3. В стационарном состоянии (Ро = ) ряд (17) равен нулю и распределение температуры по длине стержня описывается законом гиперболического косинуса (законом цепной линии). Если теплопотери с боковой поверхности отсутствуют, то в стационарном состоянии будет равномерное распределение температуры, равное й = 1 (Т (х, ) = Т, = сопз11. Определение удельного расхода тепла.
Для этого найдем среднюю температуру стержня, применяя известное соотношение. Тогда будем иметь ° аиееюййаиааавааайвваааазввеаввавваааа 1 ййипиюйййваиййайеййееййййййййюиййййй айююииайанвааанаваиииийизвийаиииюейввйв ° й>иаи иий аВааап й ааааюеаааааааааа Ййй, йпййййййо; ...ййййййй п й ° лй юаааййййаайааййййййййййййеайайнйййй ймв~аййййаайФ~йййййййййинйййййййайййййййй ° 11 ° >пюаиаввеаиааванааеаееввааевйеава вюю юааннанаанавввааввваанаваавйааза ° юа11йиюи Ванвевйййенеееваавюавйайиийв ° и> ° ,ввюаввавааваааааеаеааевааеааааааапв ° ва впзвевввавананаааайннвайвааййвайййа ° ава>>вюевааавйваайивваавййавйввййаввйййе ° Вй>а июииаиизйииивйзввюзйюиииюиииюизййе ° вв1иенеааниеаиавеваававаайюевайаевайа ° аив юваезааваепевивййеаанйюараййаввйа ° аив>>аеазапаваааввайииаеввайвййааийвав ° вез ю>>ваааавеаааайзавйинаввйюййвазавива вазе>>юввааааваиаайаавпвваанюааввааа ° зев>>йаеанваеааввееаеваваавюаавиййййй ° азии>1>ааюааааизаазюааааввааеюаааювзавез азией>1>аааааанаааВааааааааааюаанВааа(а ъаиваювювввавваавававваааавеввавввааааее визави>>ввеевваваивайааааеивееавеввааааа внваакюавваиввваиевваванеаввавиааааааа ° юввааао чвииааайиийававвпиаваанвеюввв анеаааВюнааааиаазааааааааааааанаааааа ° изваивав епааиааииивавввваиеевавававви >е>и(взвив»ВВввиииивюеииизииииииииииииааз Въпиьвве»>а»иаииииеавиавюииаеийаавиа$аи ° изваивав-н .."»йаиаюииюпииййиюйииизи ви ° йййаайааай» » = ааваййййиаюййааийийаа >аааевиваввеаааав»в⻠— вввааааававвва 1 > 1 ° 1 1 ° ° ', 1 ° ° 1 ' ' 1, 1 ° 1 1 ' 1 ' 1 1 ' ° > ° ° ° .
- ° Ва ° 1> ° ' ° > ' ° ° 1 > ' ° ' 1 ' ° 1 ° ° ° ° 1.1 ° ! ° ' 1 ° 1> ° ° ° ' ° ° ° ° ° ' . ° ° 11 ° 1 ° ° ° ° ° 1 ° ' ° ° ° ° ° '' 1 ° ' ° 1'1 ° 1. 1 1 °" 1 Глава агестая Из анализа формулы (20) видно, что при больших значениях В1 (при К вЂ” — =10) да =- О. Это означает превышение теплоотдачи над поступлением тепла через концы стержня теплопроводностью, так как стержень тонкий и длинный. Поэтому берем критерий В1, от 0,05 до 1,0. Вычисляем д„для чисел Ро = 0,1; 0,2; 0,3 и 0,4. Результаты расчетов представлены в виде графика на рис.
6.18, где по оси ординат отложено 0„, а по оси абсцисс — критерий В1,. Из рис. 8.18 видно, что, начиная с В1, = 0,4, все кривые сливаются в одну, которая приближается к оси абсцисс. При малых значениях критерия Био(В(т <0,1) кривые резко возрастают с увеличением Ро. Если критерий В1, = О, то из решения (13) получаем решение (14), которое уже было табулировано нами (см. табл, 4.2). 5 5.
ШАР (СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА) Постановка задачи. Дано сферическое тело (шар) радиуса )с с некоторым заданным начальньсм распределением температуры в виде функции Г'(г). В начальный момент времени шар помео4ается в среду с постоянной температурой Т, > Т(г, 0). Требуется найти распределение температуры внутри шара в любой момент времени и удельный расход тепла при условии, что температура в любой точке шара есть функция времени и радиуса г.
Последнее условие соответствует равномерному нагреванию шара по поверхности его, при котором изотермические поверхности представляют собой концентрические сферы (симметричная задача). Дифференциальное уравнение теплопроводности для шара в этом случае может быть написано так: д (гТ (г, т)1 д'(гТ (г,;)1 =а дт дг' (с > О; О < г < )с). Начальные и граничные условия следующие: (2) (3) (4) При наличии неравномерного начального распределения температуры решение методом Фурье быстрее приводит к результату.
Решение задачи методом разделения переменных. Сделаем замену переменной Т,— Т(г, т) = Ь(г, т), чтобы свести задачу нагревания к задаче охлаждения и тем самым воспользоваться частным решением, полученным в 5 4 гл. 1Ч: й (г, т) =- Т, — Т(г, а) =- С "" " е " '' (8) ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 223 Величина й определяется из граничного еь условия (3), которое для переменной 3(г, с) примет вид в(н') + Нй(а.) = О.
дг (6) Удовлетворим решение (5) граничному условию (6) Мп йН вЂ” амч ансон ЙЯ вЂ” еагч о — е е +С е ое Р + С вЂ” яп й 1се ' =- О. (7) С вЂ” аагл Сокращая иа — е -", получим Н Н вЂ” — ) и!п 'е)с + есоз 'ей = О, ( 1 1 И) Рис. 6.19. Графический сносно определения корней ка. рактеристического ураане. ния н случае шара откуда (8) Уравнение (8) является тригонометрическим уравнением, которое имеет бесчисленное множество корней (Щ).
Обозначим характеристические корни через р =- й)с, а критерий Био — через В1 = НЯ. Тогда левая часть характеристического уравнения уь = 1др представляет тангенсоиду, а правая часть уа — прямую, тангенс угла наклона которой 1 равен — ( ), т. е. при значениях В1) 1 прямая расположена в четвертом октанте, а при значениях В! <1 — в первом. Точки пересечения тангенсоиды уь и прямой уа дают значение корней р (рис.
6.19). На рис. 6.19 видно, что имеется бесчисленное множество корней р, причем каждый последующий больше предыдущего: р~ (,ра с ра ( ° ° ( Р„С (9) При В! = тангенс угла наклона прямой у, равен нулю, и прямая совпадает с осью абсцисс; тогда характеристические числа р будут пропорциональны я, т.
е. р„= пи при В1= Если критерий Био равен единице (В1 = 1), то прямая у, совпадает с осью ординат. В этом случае рт= —, р,= — и, р = — кит.д., 5 2 2 а 2 т. е. р„= (2п — 1) —. Если Вь-н О, то тангенс угла наклона прямой равен единице, р, -н !гг 3В1, так как нз характеристического уравнения следует 2 с1я рь— еа щ 3 Зго Ограничиваясь двумя членами ряда в разложении с!нрп получаем ре = ЗВ!.
(10) Глава шестая 224 Остальные корни (р,, р„...) определяются из (др = р при В1-х О. Таким образом, характеристическое уравнение 1 !яр=- — . р В! — 1 уравнения (! 1) можно написать так: (12) Таблица 6.5 1 Корни характеристического уравнения !9 р =— В1 — 1 в 10,9041 10,9046 10,9050 .10,9060 10,9069 10,9078 !0,9087 !0,9096 10,9105 10,9115 10,9124 10,9!33 10,9179 10,9225 10,9316 10,9408 10,9499 10,9591 10,9682 10,9774 10,9865 10,9956 11,0047 11,0!37 11,0228 4,8556 4,875! 4,8943 4,9132 5,0037 5,0870 5,2329 5,3540 5,4544 5,5378 5,6078 5,6669 5,7172 5,7606 5,9080 5,9921 6,0831 6,1311 6,1606 6,1805 6,2058 6,22!1 6,2832 0,0 0,005 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50 0„60 0,70 0,80 0,90 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 !1,0 16,0 21,0 31,0 41,0 51,0 61,0 81,0 101,0 О, 0000 0,1224 0,1730 0,2445 0,2991 0,3450 0,3854 0,4217 0,4551 0,4860 0,5150 0,5423 0,6609 0,7593 0,9208 1,0528 1,1656 1,2644 1,3525 1,4320 1,5044 1,5708 1,6320 1,6887 1,7414 1,7906 1,8366 1,8798 1,9203 1,9586 1,9947 2,0288 2,1746 2,2889 2,4557 2,5704 2,6537 2,7!65 2,7654 2,8044 2,8363 2,8628 2,9476 2,9930 3,0406 3,065! 3,080! 3,0901 3;1028 3,1105 3,1416 4,4934 4,4945 4,4956 4,4979 4,5001 4,5023 4,5045 4,5068 4,5090 4,5112 4,5134 4,5!57 4,5268 4,5379 4,560! 4,5822 4,6042 4,6261 4,6479 4,6696 4,691! 4,7124 4,7335 4„7544 4,775! 4„7956 4,8!58 4,8358 7,7253 7,7259 7,7265 7,7278 7,7291 7,7304 7,73!7 7,7330 7,7343 7,7356 7,7369 7,7382 7,7447 7,7511 7,7641 7,7770 7,7899 7,8028 7,8!56 7,8284 7,84!2 7,8540 7,8667 7,8794 7,8920 7,9046 7,917! 7,9295 7,9419 7,9542 7,9665 7,9787 8,0385 8,0962 8,2045 8,3029 8,3914 8,4703 8,5406 8,603! 8,6587 8,7083 8,8898 9,00!9 9,1294 9,1987 9,2420 9,2715 9,3089 9,3317 9,4248 11,0318 11,0409 !1,0498 11,0588 !1,0677 11,0767 11,0856 11,1296 !1,172? 11,2560 11,3349 11,4086 11,4773 11,5408 !1,5994 11,6532 11,7027 11,8969 12,0250 12,!807 12,2688 12,3247 12,3632 12,4124 !2,4426 12,5664 14,0662 !4,0666 14,0669 14,0676 14,0683 !4,0690 14,0697 14,0705 14,0712 14,0719 14,0726 14,0733 14,0769 14,0804 14,0875 14,0946 !4,1017 14,!088 14,!159 14,1230 !4,1301 14,!372 14,1443 14,!513 !4,!584 !4,1654 14,!724 14,1795 14,1865 14,1935 14,2005 14,2075 14,2421 14,2764 14,3434 14,4080 !4,4699 !4,5288 14,5847 14,6374 14,6870 14,7335 !4,9251 15,0625 !5,2380 15,3417 15,4090 15,4559 15,5164 15,5537 15,7080 17,2208 17,2210 17,2213 !7,2219 17,2225 !7,2231 17,2237 17,2242 17,2248 17,2254 17,2260 17,2266 17,2295 17,2324 17,2382 17,2440 17,2498 17,2556 !7,26!4 17,2672 17,2730 17,2788 17,2845 17,2903 !7,2961 !7,3019 !7,3076 !7,3134 17,3!92 17,3249 17,3306 17,3364 17,3649 17,3932 17,4490 17,5034 17,5562 17,6072 17,6567 !7,7032 17,7481 17,7908 17,9742 18,1136 18,3018 18,4180 18,4953 18,5497 !8,6209 18,6650 18,8496 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА Оз и (13) л=! Постоянные Сл определяем из начального условия 6( О) = Т вЂ” Т(г О) = Т, — Г () = Г (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
