Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 39
Текст из файла (страница 39)
ййййй И ййГюйййпйаввпйпйиййбапаи ° аиввеаа .Йеепаввпапвеееееааееааавевааапаааапаю ° ваввиввввайййпйПйййаййппиййпйпппйййййпиЧваййплй ° '™~ ° ° йачаававаааайваваев аавпааааввипввпеавееюзв ° йивввааапававн наййпаававпвпйаавиа айваз взезвваевпв аз нанизав иаюааюаавю ° ввгиввюзеапиавевапапнпввнйвапаеавпвавиппв ° виааавллааааввпаайвюпайааайайваваапааиаваааизв ° В»зааайзаааеаапеаваааавааааазааавввввваваиввава в»айвпвйпваваавивппаввюаапааиеезавааааааааза ° г,ваавааааавааапааппевювавивавпвававайааайва ° чвввваеиаававввпаааавеаввюеевавпюваеиеюейеивапе ззанеававвввавеаи~еайп ваааавванаанваававаап г!йвайнюпййййййпппаййййаййщйййпвщяййаавайййпййй зееввйевавйваавйаааайвййвййвавааавввеаввааававвва запевававааеававввавап апазювавааваааиаавеевпеее 1 1 ' В ° В В В ' ° В ° ' В ° В ° ! ° ! 1 1 ° ° ° ° ° 1 ° ° ° ° '! !" ° ° ! ° ° ° 4 Й 1 ° ° ' > ° ° ° ° ° Глава шестая 234 6,0 20 81 4,0 8,0 12,0 2,00 ! 1,9 1,8 1,6 1,3 1,5 1,2 1,4 1,0 1,6 —:-«-2,0 81 1,3 0 0,8 0,4 Рис.
6.23. Зависимость между коэффициентом А, и кри- терием Био для шара Из таблицы изображений находим 2 )г~ (38) Тогда наше решение примет вид (39) Если в решении (Зб) положить г = О, то получим неопределенность. Найдем приближенное решение для центра шара (г = 0) из решения г 2и — 1 —— 0 = 2 — )гггО ~~~ ( — 1)иет 1ЕГте 2 )гГО и=1 г 2и — !+в — дегте й 2 рено 1,5 1,4 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 235 числа ио в! О,ОО5О 0,0О!О 0,0025 0,0005 о,оооз 0,991 0,959 0,920 0,734 0,502 0,315 0,137 0,071 0,035 0,007 0,996 0,982 0,964 0,868 0,717 0,545 0,300 О,!64 0,084 0,015 0,994 0,971 0,944 0,805 0,603 0,413 0,197 0,103 0,052 0,010 0,999 0,991 0,981 0,925 0,830 0,701 0,998 0,988 0,975 0,905 0,787 0,638 О,! 0,5 1 4 !О 20 50 100 200 1ООО 0,463 0,392 0,284 0,227 0,154 О, 131 0,031 ( 0,026 Иллюстрируем изложенное на примерах.
Пусть В! = 1, а Ро = 0,0003. Тогда, применяя формулу (39), получим 1 В„= 2)ГРо 1ег!со = 2 )'Ро рсп (42) так как 1 !ег!с и = е " — и ег!с и, а следующие члены формулы (39) ничтожно малы по сравнению с первыми. Лалее, 1 1 Вп=1 2)со 0003 ' =0 981 )Г (43) (44) что полностью совпадает с данными табл. 6.7. для изображения Тс(г, 5), которое в этом случае можно написать так: т, В Р(тс — Т) Тс(г, 5) 3 5 [(В! — 1) з)а Час + ЧЯс]! 0)С] = 2В1(Т,— Т,) ~1 — ] — ехр( — г)Я), В.— 1 (40) (В! — 1)+0)7 ] так как при больших значениях г)]с можно положить з]тдЯ = с]гс]]с = = — еч~.
Пользуясь таблицей изображений, находим 2 8„= 2В1ехр [(В1 — 1)зг'о+ (В] — 1)] х х ег1с ( + (В! — 1) )/ Во (41) (, 2 )Г']со Полученные приближенные решения (Зб) и (41) справедливы для малых значений го; при больших значениях надо пользоваться решением (27). При малых значениях Во температура в центре шара почти не изменяется. Поэтому наибольший интерес представляет изменение температуры на поверхности, которая при малых значениях гго, но при больших В] изменяется в широких пределах.
В табл. б.7 приведены значения (1 — 0„) для чисел го от 0,0003 до 0,0050 при изменении В1 от 0,1 до 1000, полученные Пешлем из решения (27) путем громоздких расчетов (см. 9 3). Наши приближенные решения дают тот же результат при помощи очень простых расчетов. Табл и ча б.7 Относительнаи температура на поверхности шара ! — Вп — — а1'(Ро, В1). Глаза шестая 266 16,0 В! 1,0 2,0 0 4,0 8,0 0,9 0,8 1, в,~ 0,99 0,7 0,98 О,б 0,97 0,9 0,95 0 0 0,8 1,2 б 2,0 Рис.
6.24. Зависимость мелеву коэффициентом В, и критерием Био для шара Пусть Ро = 0,0025, а В! =!0,0. Воспользуемся решением (36), которое напишем так: В1 г (з — пно 1 — 8, =-1 — В. ! (1 — е ег!с (В1 — 1))г го ) . (45) Остальными членами в решении (45) пренебрегаем, так как они ничтожно малы по сравнению с взятыми. Имеем (В! — !) )ГРо = 0,45. Следовательно, 3 2 Т(т) = — з ) геТ (г,т'7(г. 775 ) (47) 10,0 в,2в25 1 — 0„=! 9 О(1 — е ' ег!сО 45) =0,6028.
(46) Согласно табл. 6.7 разность (! — 8„) для этого случая равна 0,603, т. е. имеем опять очень хорошее совпадение'. результатов. Таким образом, приближенные решения дают вполне удовлетворительные результаты и заменяют громоздкие вычисления поформуле(27). Определение удельного расхода тепла. Найдем среднюю температуру шара по формуле ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 237 Если подставить вместо Т (г, т) соответствующее выражение из решения (27) и воспользоваться формулой )' и яп и г(и = яп и — и соз и,.
то после интегрирования получим 6 т(т) — т, ! ь В ехр( иг Ео) т,— т, л=! (48) где „— постоянные коэффициенты, определяемые из соотношения В бн !гл ( гл + Н!г 61) (49) Первые шесть постоянных коэффициентов для разных значений чисел Фурье. В„приведены в табл. 6.8 Таблица б8 681г Значение постоянных В„ = и„' (и„'+ н! — н!) в. в, в, в, 51,0 21,0 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5.0 4,0 З,О 2,5 2,0 1,9 1,8 1,7 1,6 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1,0 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,15 0,10 0,09 0,08 0,6079 0,6427 0,6886 0,7667 0,7737 0,7889 0,8068 0,8280 0,8533 0,8829 0,9171 0,9353 0,9534 0,9569 0,9605 0,9641 0,9678 0,9707 0,9739 0,9?70 0,9800 0,9828 0,9855 0,9881 0,9905 0,9926 0,9944 0,9959 0,9974 0,9985 0,9994 0,9996 0,9997 1,0000 1,0000 0,1520 0,1518 0,1510 0,1496 0,1453 0,1396 0,1319 0,1215 0,1075 0,0890 0,0655 0,0520 0,0380 0,0352 0,0325 0 Я297 0,0270 0,0243 0,0217 0,0192 0,0167 0,0144 0,0122 0,0101 0,0081 0,0064 0,0048 0,0034 0 Я022 0,0013 0,0006 0,0003 0,0001 0,0001 0,0001 0,0675 0,0671 0,0652 0,0465 0,0455 0,0408 0,0360 0,0305 0,0245 0,0180 0,0115 0,0085 0,0057 0,0052 0,0047 0,0043 0,0038 0,0034 0,0030 0,0026 0,0022 0,0019 0,0016 0,.0013 0,0010 0,0008 0,0005 0,0004 0,0003 0,0001 0,0001 0,0380 0,0380 0,0363 0,0196 0,0175 0,0152 0,0128 0,0104 0,0079 0,0055 0,0034 0,0024 0,0016 0,0014 0,0013 0,0011 0,0010 0,0009 0,0008 0,0007 0,0006 о,ооо5 0 Я004 0,0003 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0243 0,0236 0,0180 0,0091 0,0079 0,0067 0,0055 0,0044 0,0032 0,0021 0,0013 0,0009 0,0006 0,0005 0,0005 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002 0,000! 0,0001 0,0001 0,0001 0,0169 0,0158 0,0108 0,0047 0,0040 0,0033 0,0027 0,0021 0,0015 0,0010 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 О,ООО! 0,0001 0,0001 Глава шестая 238 Обычно приходится пользоваться одним первым коэффициентом, поэтому на рис.
6.24 построены графики В, = Г(В1) для значений В1 (от 0 до 20). Для удобства пользования графиком построены две кривые с разным масштабом по оси абсцисс. Удельный расход тепла находим по формуле Ь Я, = ст (Т (ч) — Т,). (50) Вычисление ' производится тем же способом, что и в предыду- дТ (Я,в) дг щих параграфах. При наличии номограмм и табл.
6.5, 6.6, 6.8, а также соответствующих графиков для им А, и В, конкретные расчеты выполняются быстро и легко. Поэтому в дальнейшем эти расчеты производиться не будут. й Ь. НЕОГРАНИЧЕННЫЙ ЦИЛИНДР Постановка задачи. Дан неограниченный цилиндр радиуса Я и задано радиальное распределение температуры в виде некоторой функции ("(г). Предполагается, что изотермы представляют собою коаксиальные цилиндрические поверхности, т. е.
температура цилиндра зависит только от радиуса и времени. В начальный момент времени цилиндр помещается в среду с постоянной температурой Т, > Т(Г,О). Требуется найти распределение температурьл в цилиндре в любой момент времени, а также удельный расход тепла. Дифференциальное уравнение теплопроводности для неограниченного цилиндра нами было написано в 3 5 гл. 1Ъ'. Начальные и граничные условия можно написать так: Т(Г,О) = Г" (г), — ) + Н(Т, — Т ()с, о)) — О, (1) (2) О Т(О )-А (3) Решение задачи методом разделения переменных. Сведем нашу за- дачу на нагревание цилиндра к задаче на охлаждение путем замены переменной, т.
е. полагаем д(г,ч) = Т,— Т(г, ч). Тогда начальные и граничные условия примут вид Ь(Г,О) = Т,— Г(г) = ~,(г), (4) ) + НЬ(й,~) == О, (5) = О, (О,с)+ (6) Для малых значений времени удельный расход тепла находим по соотношению б() = "), д. 3 Г дТ(й,в) (51) о ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 239 Частное решение дифференци- ального уравнения теплопровод- о ности для неограниченного ци- о линдра при коаксиальном распре- о, делении изотерм относительно оси о цилиндра имеет вид о, 9(г,т) = (Суо(Ь) + РУ'а(Ь')1е а", о, (7) о в) где (о (йг) и )'о (Ь.) — функции о Бесселя соответственно первого -о, и второго рода нулевого поряд- -о, ка, а С и Р— постоянные (см.
-о, 9 5 гл. 1Н). Из условия (6) сле- дует, что Р.=.- О (см. там же); по- стоянную С найдем несколько позже из начального условия. Удовлетворим частное реше- ние (7) граничному условию (5): — йСУ,(/Ж) е ' + +НСУо(И) е '"=О, так как Ыв (Ь) = — И, (Ь). Се а "(О< т < )* Сокращая на получим Рис.
6.25. Графический способ определения корней характеристического уравнения в случае цилиндра: а) графики фуикциа у, и уп б) вависиивсти уиу, и у вт величавы ), т (йИ) ы1 йИ (ЬИ) НИ В) (8) период их неодинаков. 1 Затем строим прямуюу,= —. р. Точки пересечения прямой ув с В) кривыми у, дают нам значения характеристических корней. Из рис. 6.25 видно, что имеется бесчисленное множество корней Р„, причем все зти Уравнение (8) является трансцендентным; его можно решить графическим способом. Обозначим я)с через р (Р = И~).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
