Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Во всех остальных случаях процесс нагревания зависит как от скорости переноса тепла внутри цилиндра, так и от скорости теплообмена с окружающей средой (к р а е в а я з а д а ч а). Постоянные характеристические числа (л„ зависят от В!, а следовательно, и от радиуса цилиндра.
Поэтому скорость нагревания будет обратно пропорциональна и-й степени радиуса цилиндра, где п лежит в пределах 1 ( и ( 2. Ряд (25) быстро сходится, так как на основании неравенства С С С~ ы о Ю о л С о .О ~О С> С О. о С> СЭ о ы а о ср Ю Ю (~ С сР с~ О й О Ю с о О 1 ° и о о С Ю 8 Ю Ю л Ф и О Х С2, У о й 3 Ю Ю Ю ы о о Е 3 Ю 2 Ю о Ю ,О С о $ о Ю Ю Ю" 2 о ~о Ю -о 1Й Ю О Ю Б О ( Ю О Ю И И Ю Г *п о ы Р' а й ЧР Я ы о а~ 1 Х о а а Я ы 4 О о Ф 3 С~ е о Ф 3Ф о н. сЭ сЭ (Э сЭ х .О и О > С2. Ф З Я 1 о о й й' Ю $ з Ю П д Ж о х Ф и о ж $" о С2, Ю О ~Р ЮЭ ОЪ СЧ С о ц~ о И О ' Ф 1 1 , ! 1 ! 1! Е ЕЕЕЕЕЕЕЕЮЮЕЕЕПЕЕюайаеейзйюйиЕЮЕЕЮЕЕПЕЕЕаюееейюейюйею ° аюеваепееюаеааейейапвеаюийаюеаюаюйапеаййаеевв ° 11111111111111111»111111ащаааапааюайивнюВааа ° ° ° а~РИ в в ва»В~Щ ° ййи ~вйейейеюааеийеааейВЙюее — йаюВВэййааЙ111 ° Вааваавнававвввавввае аевиВюййаюееФнваюавайваааю »11111Вййейеййййе = Еййййй йеа аЮеййейййййййааййе ° Вневаейваааазевеавваваааю~вюййенваюаюаааавааве , аенвййеееюеееееаеаювааааю авайваааавававвавааав В~~в еайаюъевв еиааааа Й ~фюваевай аваев еавааеааваайеЙааанаайф~вюааюваа !авейвзйееею Паюааааааа ВайааааРЩЩае ю° Вава Ваеааейе =- ° ееюеаеааваааеввеаевнавпаааеввпаве -- еааавва111 ° аа!!»еввюввваеайавенаааааааюввие ЮМ1 ввавапе ° аюеаввавйеаааюааааеваавнневе.
айвйерйееввевваю ° 11111 аа аеа» ° Вае ей Ва ° Ва ° 11111 ° н,Ч а ннв ° е Фаей ааа йе 'ЧГ ° ВВВВ 11111 аеел ВевнеиеаааеееееиеВюиеаии ° 1111111111111»ййеейпйееннйййеййнййюенйюйеей ° ееееееаееаее .Юаюаааапееап 111»111111111111111 1~,,й,д"'~ йВвююааэе!зййаеааа вайа вуа~~аваавваюеюаанапае 11айеаав1юааввааваеаааа1ааааюайаевап!йеееавеаею 1 ° В 1. ° ° !.1 ° ° 1 1 ! ! ! 1 11 ° нвееееееаеееааеВевеееезвееаеваеееаюаавзееейаиеее ° юйййюююййеййюйюйиййюйаюй»юеееее ="- ееаййййие ° йаейаеаайайаййайаеюеййййююе"=йеейййнавейееюеееей п»11111111111»а»111 = еюВВйюаеапиеюаааюааееее 11111111111111111111 .- Юаеввавеаввайввваввавеввевев ° еаеаавааваааавваювеваееаавааааеаеаввевваааевваеюе веаваавеаввваавеаеаеввваааавеаавееевпаеаеаеваввва Виааваааввеюапмааюеюаюеаааавееаиювзеааевваювааеаа айааваааййаййееййююе йюйюзюйеей па»аваев вававеаюаю »ююееепеююгееююеееапэюепавпавюееюаеюапепеюе йеаюююйейа ю!Юеюйййееюййеееаааейаеаейееееееееееееее ° йееюевеее 11111111111111111111ВВВейеюееввееевезеив ° юййеююеею ееаав ааааа аааааваювайайавайааеюаеиююаеаю ° 111111111 1111111111111111111111111111111111111111 ° еавааааелавеавааююеввааааааваавааюаеааеааеапееюю ° 11111111.1авааеааеаюеаеавваеаавававвеаавааваеаевеа аааае ава !в айааеюйзююй айван неею ее в»еве Веюейвевае ° 111111111авввваваааааваааааавааваавваавапаваеееа вааавваеав 1111111111111111111111ааее1111111111111| , еаюю1111111111ееаааааааааввавеаеааааеааееаеее»ееа 111111! 111111111111111111111»1»1111111 1111111111 венею !»епавюааееаапюааивюе аваеввпав еее еаевааа Вййййювюйююейеюеейвййюййейййййййййййййййййййййййай 11111! 11111111111111111111111111111111111111111111 ° аваееееаввевааюаееаееееаеееаеаеаюеаеепйевюйаеааа ° 1111 111В1111ВВВВВВВВзайеййевйеВйВйавюеюаеваааййаа ° 1111 11111 еевевваваа 111111111111 ей венею ееееюпюе айве!~11111111111111111111111111111111111111111 11 айви!Вевавееаааеавааайавйайва»еюаввееавааве ааааа айваеаввевваеавеававававвааааеааееееааавее-ееввааа 11В11111111111111111111!111111111111111 ° .
111111111 1111 аваеаававейейайееюеаеаеаавйаеаеаюееаваййайейюю ° 11!!вваааеваваааввююааааеаааввваеаю . 1111111111111 ййййййейеееейййййййййййзйеййевеейееаейейвййййййййю ° йй 1йюййеевевайййййййююйийюейеее=юаййвййвййюйийюай ° айввваваавввнааве1веааванае-1111111111111111111 ° йейюйеюееюеюееююююиюезееюеею ююееееееюаеааааааааа ° 11111111111111111111111111"леаевйюййевюеййейейеа ° а!,11111111111111111111111111111111111111111111111 ааьаееаеаееававвавааааае"ееаавааааеаввеававааввава ааааеааюзееаааеееепюаее еююааеююеаюзеееееаеееееюае ° еееаавеаеюваваееаеаееевйааааваавевевюаееаеваееаав ° Вюааеееааюайевйвейа 111111В11111ВВюейаююйюййейейю ° ааай111111111111111аеааваавее 11111111111111111111 ° 11111111111111111111111111111111111В1111111ВВйеей ° йайавййййййййею ййй»еййейюейайвйайаюайвзаеюййюйй ееееаеееппвп еюпававпееееееепееюееепеаеааее ° 1111111111111111ваааеаваааааввавааавваа 1111111111 ° аавааавааввееаававвнаеа111111111111111 вааеааааее еаееееаааааеаеипааепеааввееваааааааеавваааааааве ° ааеаеаййа еййййеййййююййеййюйюйеюййююеаюеюаюаеаай ° вввааааю 111111111111111111аввааааваавааааввиаеие зааееюеееейаюеаееевааеааааайеюаейееееейеейееайаеае юююееюепеааеюае\\111\11111\111111111111111111111Ю ° 1111»авеееааавввааааааавеваиваавваааааввааававав ° 111 .Юааеаееееаввнааавааааваееаеаееааеааееаааааае Ююю.еейаюааааайайеййййййюйййюййюиййййейййейййййейв юа.
ааайааааааааюейюйийюйююйеюеейпийююеаюеююейиаеа ° йеееаеееееейпееееаеаеапеаееаааавеаевпеваееаав 1 111111111111111ееаеаааавааеаеаееееееееееаееееееее 1 1 . ! ° ~ 3 ' В ' ° ° ~ ' ° ° ' ° ° ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 251 ния Ро, то можно ограничиться одним членом ряда, а остальными мож- но пренебречь. Тогда решение (25) примет вид 8 =! — А,У, (Р, — ') ехр( — Ра Ро) при Ро > Ро, 1 9 т, (т, — т ) а — ахя — 1 ( ' 89г 128 Ч'~' ""'! Г 7 (г, а) о с о где д = 1// —.
Пользуясь таблицей изображений, находим с а ' г Т (г, с] — Т . / Д . й = 2В! 1/ — Ро ! ег1с + т,— т 2 )/Еой 1 — -~— + 4 )/ — РоВ! ( — + — — ВЦ!'ег1с Д 1Д 8 (с8г 8 2 1/Ро (29) где 1 ас 1ег!си = — е — пег!с и 1 г 2 Рег1с и = — ~(1+ 2и') ег!си — — ие 4 При разложении в асимптотический ряд предполагаем, что велика не только величина 1/г — 'Я, но и величина 1~ — 'г. Поэтому для маг а г а лых значений г такое разложение будет несправедливо.
В этом случае (г -с. О) функцию 1 (Чй) можно разложить в аснмптотический ряд, а Та(дг) — в степенной, т. е. 1 (дг) = — 1+ — д'го+ .. 1 (нахождение предельного значения Ро, см. в 9 11). Для удобства практических расчетов на рис. 5.30 и 6.31 построены графики р, = Г(В!) и А, =- Г(В!) для значений В! от 0 до 20 (при В1 > 0,1 корень р., можно вычислить по формуле (19) 9 10). Если число Фурье мало, то приходится брать несколько членов ряда, и поэтому применение решения (25) для практических расчетов затруднительно.
Найдем приближенное решение, пригодное для малых значений Ро. В решении (21) для изображения разложим функции То ()// — ' Я! и 1, (1/à — ' я) в асимптотический ряд (см. приложение), так как для маг а лых значений Ро величина 1 — ')г велика, т. е. г а Глава исвстая Тогда, производя аналогичные преобразования, получим О„=- 1 — 4 В!Роехр ( —— 4 то/ (30) Решения (29) и (30) справедливы для небольших значений В!. При больших значениях В! найдем другое приближенное решение для температуры поверхности цилиндра. Для поверхности цилиндра (г.—::Я) решение (21) можно написать так: тс т,— т, т,— т, Т„(г, 3) — ' 7) ~"'.".,.! +-.".
—.— "1' так как 3 1 — — +.. 82 т (и) )о(г) ! 9 1+ — + — +... 82 128га Пользуясь таблицей изображения, находим О„= ~1 — ехр [Го(В! — — ) ~.ег(с (В1 — — ) )/Ео~. (31) В1- — ' 2 Решение (31) аналогично решению (41) 9 5 для шара, только вместо 1 1 (В! — 1) здесь входит множитель (В! — — ).
2 ) Подобно тому, как это было сделано в 9 3, 5, можно показать, что приближенные решения (29), (30), (31) дают вполне удовлетворительные результаты и заменяют громоздкие вычисления по формуле (25). В табл. 6.11 приведены значения 1 — О„(΄— относительная избыточная температура поверхности цилиндра) для малых значений числа Фурье при разных значениях В!. Табл. 6,11 взята из упомянутой работы Пешля. Приближенные расчеты по формулам (29) и (31) дают результаты, хорошо согласующиеся с данными таблицы. Таблица б.П Относительная температура на поверхности цилиндра 1 — О„ = 4(то, В!) Числа Ро В1 о,оооо о,оооо о, оо1о о, 0025 о, оооо 0,1 0,5 1 4 10 20 50 100 200 500 !000 2000 0,999 О, 991 0,98! О, 926 0,83! О, 703 О, 465 0,286 - 0,156 0,064 0,032 0,016 0,998 0,988 0,975 0,905 0,789 0,643 0,394 0,230 0,122 0,050 0,025 0,012 0,996 0,983 0,965 0,868 0,720 0,551 0,305 О,!68 0,087 0,034 0,017 0,009 0,994 0,972 0,945 0,815 0,611 0,42! 0,205 0,107 0,054 0,022 0,01! 0,006 0,992 0,96О 0,923 0,740 0,514 0,325 0,147 0,075 0,038 0,0!6 0,008 0,004 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 253 1,8 2,0 В1 1,0 ,2 0,4 0,8 1,00 0 ! ! 0,99 0,95 0,98 0,97 О, 0,96 О, 0,75 0,95 0 4,0 8.0 !2,0 16,0 20,0 В~ Рис.
6.32. Зависимость между коэффициентом Ва и критерием Био для неограниченного цилиндра Определение удельного расхода тепла. Найдем среднюю темпера- туру цилиндра по формуле Т (т) = — ( гТ (г, т) г(г, ,1 6 = ' ' = 1 — '~' В„ехр ( — итРо) т,— т (33) где 21, (9„) 4ВП а(,т 1 рда т. е. коэффициенты В„зависят от критерия В1. Первые шесть коэффициентов В„приведейы в табл. 6.12. Ряд (ЗЗ) быстро сходится, поэтому для не слишком малых значений числа Фурье можно ограничиться одним (первым) членом ряда.
Для удобства расчетов первого приближения на рис. 6.32 приведены кривые В, = Г(В!) для значений В1 от 0 до 20. Удельный расход тепла находится по обычной формуле Ла. = С7 (т() — Т,1. в которую вместо Т(г, т) надо подставить соответствующее выражение из решения (25). Тогда, принимая во внимание равенство (16), будем иметь Глава шестая Таблица 6Н2 4В!т Значения постоянных Вл =- !х~ ( р'.л + В !т) в, в, в.
в, $7. НЕОГРАНИЧЕННЫЯ ЛОЛЫЯ ЦИЛИНДР Постановка задачи. Дан неограниченный полый цилиндр с радиусами Нт и 1с и задано начальное распределение температуры в виде некоторой функции Г(г). Температура цилиндра зависит от радиуса и времени. В начальный момент времени цилиндр помещается в среду с постоянной температурой Т,. Козффициенты теплообмена наружной и внутренней поверхностей различны (а,+а ).
Найти распределение температуры в цилиндре в любой момент времени. Дифференциальное уравнение теплопроводности написано в 9 5 гл. 1Ч. Начальные и граничные условия можно написать так: Т(г, О) = Г(г), + — '(Т, — Т(Кы т)) = О, (1) (2) — + л (Т,— Т(тст, )1= О. дТ(!7т, т), ит Решение задачи методом разделения переменных. Вначале наша задача на нагревание цилиндра сводится к задаче на охлаждение путем замены переменной 8(», т) = Т,— Т(г, с). (4) 50,0 30,0 10,0 9,0 8,0 7Я 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,5 1,0 0,90 0,80 0,70 0,60 0,50 0,40 0,30 0,20 0,15 0,10 0,08 0,6917 0,7170 0,7359 0,8041 0,8133 0,8242 0,8375 0,8532 0,8721 0,8984 0,9225 0,9535 0,9694 0,9843 0,9868 0,9893 0,99!6 0,9936 0,9955 0,9970 0,9983 0,9992 0,9995 0,9998 0,9999 0,1313 0,1309 0,1289 0,1260 0,1229 0,1!87 0,1!32 О,!057 0,0953 0,0813 0,0625 0,0388 0,0240 0,0136 0,0114 0,0093 0,0074 0,0056 0,0040 0,0026 0,0015 0,0007 0,0004 0,0002 0,000! 0,0534 0,0530 0,0529 0,0387 0,036! 0 ЯЗЗ! 0,0296 0,0254 0,0207 0,0156 0,0103 0,0053 0,0032 0,0015 0,0012 0,0010 0,0007 0,0006 0,0004 0,0003 0,0001 0,0288 0,0284 0,0268 0,0!52 0,0137 0,0120 0,0!03 0,0084 0,0064 0,0045 0,0028 0,00!3 0,0008 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0179 0,0172 0,0155 0,0070 0,0061 0,0052 0,0043 0,0034 0,0025 0,0017 0,0010 0,0005 0,0003 0,000! 0,0001 0,0001 0,000! 0,0122 0,01!3 0,0097 0,0035 0,0030 0,0025 0,002! 0,0016 0,0012 0,0008 0,0005 0,0002 0,0001 0 ЯОО! о СО х сч ~ со !! С~ се Ю -"со о с ш "х ~ оо !! о о о о х о о х о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
