Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Функция ' ' обраТв(р) щается в нуль в тех точках, для которых То(р) = О, т. е. в точках и,, „, где и„— корни функции То(р). В тех точках, в которых функция у')(р) обращается в нуль, функция т ' претерпевает разрыв неив (р) ат 59 прерывности и становится равной ~ .
Обозначим корни функции 7,(р) через к„. Построим кривые у, = а., которые в точках в„пересекают ось абс)"в (р) Тт (р)' цисс, а в точках и„имеют асимптоты, расположенные параллельно оси ординат (рис. 6.25). Кривые у, = — напоминают котангенсоиду„но ив Ов) )т(р) 240 Глава шестая корни заключены в пределах между «„и х„(«„(р„< х„), Если В!-+ то прямая совпадает с осью абсцисс и корни рл становятся равными корням «„((«„ = «л), т. е.
не зависят от критерия В!. Прн В(-+ О (с, -э у 2В1, Чтс СЛЕдуЕт ИЗ ХараКтсрнетИЧЕСКОГО ураанения, если функции 1о(р) и в' (р) разложить в ряд и ограничиться первыми членами ряда. Действительно, 1 — ',е+... Уо (и) 1 2« ~т(н) Н~ ' ' в («р + ° 2 2«4 откуда получаем р' =- 2В!. 1 Остальные корни определяются из уравнения вт(Р) = О Таблица б.р Корни характеристического уравнения ~«(' ) Уг ('! ) В! 0,0 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 15,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 80,0 100,0 0,0000 0,1412 0,1995 0,2814 0,3438 0,3960 0,4417 0,5376 0,6170 0,7465 0,8516 0,9408 1,0184 1,0873 1,1490 !,2048 1,2558 1,4569 1,5994 1,7887 1,9081 1,9898 2,0490 2,0937 2,1286 2,1566 2,1795 2,2509 2,2880 2,3261 2,3455 2,3572 2,3651 2,3750 2,3809 2,4048 3,83!7 3,8343 3,8369 3,8421 3,8473 3,8525 3,8577 3,8706 3,8835 3,9091 3,9344 * 3,9594 3,9841 4,0085 4,0325 4,0562 4,0795 4,1902 4,2910 4,4634 4,6018 4,7131 4,8033 4,8772 4,9384 4,9897 5,0332 5,1773 5,2568 5,3410 5,3846 5,4112 5,4291 5,4516 5,4652 5,5201 7,0156 7,0170 7,0184 7,0213 7,0241 7,0270 7,0298 7,0369 7,0440 7,0582 7,0723 7,0864 7,! 004 7,1!43 7,1282 7,1421 7,1558 7,2233 7,2884 7,4103 7,5201 7,6177 7,7039 7,7797 7,8464 7,9051 7,9569 8,1422 8,2534 8,3771 8,4432 8,4840 8,5116 8,5466 8,5678 8,6537 10,1735 10,1745 19,1754 10,1774 10,1794 10,1813 10,1833 10,1882 10,1931 !0,2029 10,2127 10,2225 10,2322 10,2419 10,25!9 10,2613 10,2710 10,3188 10,3658 10,4566 10,5423 10,622! 10,6964 10,7646 10,8271 10,8842 10,9363 11,1367 1),2677 11,4221 11,5081 )1,5621 11,5990 11,6461 11,6747 !1,7915 !3,3237 13,3244 13,3252 !3,3267 13,3282 13,3297 13,3312 13,3349 13,3387 13,3462 13,3537 13,3611 13,3686 13,3761 13,3835 13,3910 13,3984 13,4353 13,4719 13,5434 13,6125 13,6786 13,7414 13,8008 13,8566 13,9090 13,9580 14,1576 14,2983 14,4748 14,5774 14,6433 14,6889 14,7475 !4,7834 14,9309 16,4706 16,4712 16,4718 16,4731 16,4743 16,4755 16,4767 16,4797 16,4828 16,4888 16,4949 16,5010 !6,5070 16,513! 16,5191 16,5251 16,5312 16,5612 16,5910 16,6499 16,7073 16,7630 16,8168 16,8684 !6,9179 16,9650 17,0099 17,2008 17,3442 17,5348 17,6508 17,7272 17,7807 17,8502 17,893! 18,0711 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 241 и, следовательно, не зависят от радиуса цилиндра.
В случае, когда 0 ( В1 ( , корни (0„ зависят от В1, а значит, и от радиуса цилиндра. Первые шесть корней Р„ Р„ ..., Ро приведены в табл. 6.9 для разных значений критерия В1. Итак, характеристическое уравнение (8) можно написать так: го (Н) (в) В1 (9) Вернемся к решению (7). Общее решение будет суммой всех решений: „2 а-. 0 (г,т) —. ~)~~С„.То ( Рп — ) е " г1' (! 0) и=1 Постоянные Сп определяем из начального условия, которые напишем так: 5(.,О) = 1,(.) =~С„,Т,(Є— ') 0=1 С некоторыми допущениями, о которых было сказано в 2 5 гл. 1Ъ', функцию Г,(г) можно разложить в ряд. Для этого умножим обе части Г 1 равенства (11) на г /0()0 — ) 0(г и проинтегрируем по г в пределах от 0 до тг (напомним, что ортогональны не сами функции Бесселя, а прог т изведение )г г Го ( †)). Тогда, предполагая возможность почлен) ного интегрирования ряда, получим и т а 1г(2(г) lо(Р ~., )0(г = ~ОС„~ГГо(Р, ~., )Уо(Р ~) г(г.
(12) о о Из характеристического уравнения имеем )0„1,(рп) = lо(рп) В). Тогда можно написать РтУО (Рп) 21 (Рт) В120 (Рп) УО Ьт) (0020(вт) 22 1)оп) = В12о(рп) (о(Рт). Следовательно, интеграл (13) равен нулю. Если т = и, то воспользуемся формулой (19) 2 5 гл. 112, которую напишем так: го о(нп — / 1(г = 0 (Уо(рп) +,11(Рп)). .~ ('! =- 21 г) Й 2 2 о (14) Покажем, что все члены ряда (12) при л2~ьп обратятся в нуль. Согласно соотношению (20) 2 5 гл. 1Ъ' можно написать 1( — )( — ) -' г~ ( — '),Г ( — '1Д д(в"'""'"(в ~ в""в )" (в"" (18) о()ппд ) о()0тд 2 2 о 1т гп Глава шестая Таким образом, из равенства (12) при условиях (13) н (14) получаем и ! гттт(г)1о()си р ) с(г С о — и о 2 Х '~' 11оЬи) + 1! (ииН о ~ г! т (т ) и о ()си )и ) т(г о Окончательно общее решение нашей задачи примет вид о (г,и) = Т, — Т (г;с) = — ) г)т(г)1о)(и„— '-)с(гехр) — (и'-",'-~.
(15) Если 1т(г) =Т,— Т,=сопз1, то интеграл в решении (15) равен (см. формулу (24) ~ 5 гл. 1Ч) о~ (7 с То) гуо ()си )с(г = '1! (!"и). (15) о Тогда решение (15) можно написать так: о = ( ' ' = — 1 — ~~„А„1о ()ии — ')ехр( — )сиро), ус Го и=! (17) где Аи= ", — постоянные коэффициенть! (так называемьие 21! Ь-и) зи1 1о (и ) + и!(М1 начальные тепловые амплитуды), зависящие от критерия В!. Решение задачи операционным методом. В З 5 гл. 1Ч было показано, что в случае симметричной задачи решение для изображения Т„(г,з) имеет вид где А — постоянная, не зависящая от г; 1о(1/ ' г) =1о( 11/ ' г )— А ~/ — и То ()/ — ' й) +, ' — ' — АН1о (~/т — ' й) = 0 модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Переход от модифицированных функций к обычным функциям Бесселя может быть сделан по соотношению 1„(г) = ! "1„(сг), (19) Постоянную А находим из граничного условия (2), которое для изображения Та(г,в) примет вид — Т' (Р„з) + Н ~ — ' — Т, (Я,з)~ = О. Удовлетворим решение (18) граничному условию (20): 243 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА откуда т,— т, относительно г(Т,( — г) = — Т,(г)); она играет такую же роль, как зЬ г.
Следовательно, решение (18) будет иметь вид Т, (г,з) — — ' (Т, — Т,) ), (~/Г ' о) Ф (3) (21) Решение (21) является однозначной функцией з и представляет отношение двух обобщенных полиномов, причем полипом знаменателя не содержит постоянной, т. е. условия теоремы разложения соблюдены. Найдем корни у(з), для чего приравняем его нулю: ф(з) = з(Т, (ф ' Я)+ — фТ '.
1,( ф/ ' Д)~ =зср(з) =О, (22) где выражение в квадратных скобках обозначено через ор(з). Из рааа„ 2 венства (22) находим корни: 1) з, =-О, 2) ор (з) ==-О, откуда з„= —," ' где и = ( 1Г ' Я. Постоянные ( определяем из уравнения а ( Ф ~ ~ ) + Ь ~ Т ( ~ | ~ ) ~ ( ~ о ~ ) + + )Н ф —; — У ('~l —.' )~) =У ® НИ ~Т'(Р)=О (28) Трансцендентное уравнение имеет бесчисленное множество корней р„, которые могут быть найдены графическим способом (см.
выше). Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид го(и) Хз (н) В1 (24) Находим вспомогательные величины Ф (зз) = ор(з) + вор ( ) = Ф (О) ф' (О) — = т — тм 2 (То — То) НЕ Го /Ио ~ 1 Ф (зо) / 2 Е о ехр / — (о„—,1, Ф' (з.) 1(нт(+ 1)г, (н„) + н„,г,' („„)1 „„ так как То (з) = Т (зз). где 1,(г) = Го(г) = 2 г+ 2'4 аз+240 г'+ .. функция, нечетная з Глава шестая Табл и ца 610 Значения постоянных А 2В1 (~Я+ В1') У.
(9,) в! +л, +А„ Следовательно, решение нашей задачи имеет вид т — т = 1 ХА"7 (9. )ехр ~ !'е "о) л=! (25) где А„— ((В1+ 1)?с Ьл) + Н 7! (Ы) 9 27 Ь~) 9 (?о (Р ) + 7! (!лв)) (26) Последнее преобразование сделано на основании рекуррентной формулы Р.у;(Р.) =- Р.уо(Р.) — ~, Ь.) и характеристического уравнения (24). 0,0 0,01 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,О 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 15,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 80,0 100,0 1, ОООО 1,0031 1,0049 1,0102 1,0150 1,0199 1,0245 1,0366 1,0482 1,0?11 1,0931 1,1142 1,1345 1,1539 1,1724 1,1902 1,2071 1,2807 1,3377 1,4!92 1,4698 1,5029 1,5253 1,5409 1,5523 1,5611 1,5677 1,5853 1,5918 1,5964 1,5988 1,5995 1,6009 1,6012 1,6014 1,6021 0,0000 0,0034 0,0067 0,0135 0,0201 0,0268 0,0333 0,0497 0,0653 0,0972 0,12?7 0,1571 0,1857 0,2132 0,2398 о,2654 0,2901 0,4008 0,4923 0,6309 0,72?8 0,7973 0,8484 0,8869 0,9225 0,9393 0,9575 1,0091 1,0309 1,0488 1,0550 1,0587 1,0589 1,0599 1,0631 1,0648 О, ОООО 0,0013 0,0027 0,0052 0,0081 0,0110 0,0135 0,0202 0,0269 0,0401 0,0582 0,0662 0,0790 0,0917 0,1043 0,1167 0,1289 0,1877 0,2422 0,3384 0,4184 0,4842 0,5382 0,5825 0,6189 0,6491 0,6784 0,7519 0,7889 0,8195 0,8335 0,8396 0,8428 0,8463 0,8505 0,8558 0,0000 О, 0008 0,0015 0,0031 0,0046 0,0062 0,0077 0,0116 0,0154 0,0231 0,0307 0,0383 0,0458 0,0533 0,0608 0,0682 0,0756 0,1117 0,1404 0,2114 0,2699 0,3220 0,3679 0,4080 0,4430 0,4735 0,5000 0,5901 0,6382 0,6827 0,7018 0,7112 0,7165 0,7212 0,7245 0,7296 О, ОООО 0,0005 0,0010 0,0021 0,0031 0,0041 0,0051 0,0077 0,0103 0,0155 0,0205 0,0256 0,0307 0,0358 0,0408 0,0459 0,0509 0,0756 0,0998 0,1463 0,1898 0,2301 0,2672 0,3010 0,3316 0,3593 0,3843 0,4760 0,5303 0,5853 0,6133 0,6227 0,6301 0,6398 0,6415 0,6485 0,0000 0,0004 0,0007 0,0015 0,0023 0,0030 0,0037 0,0056 0,0075 0,0112 0,0150 0,0187 0,0224 0,0261 0,0298 0,0335 0,0372 0,0554 0,0732 0,1084 0,1420 0,1735 0,2038 0,2317 0,2579 0,2826 0,3042 0,3913 0,4461 0,5062 0,5390 0,5544 0,5642 0,5770 0,5850 0,5896 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 245 Постоянные коэффициенты Ал могут быть вычислены по соотношению (26), которое может быть преобразовано в следующую формулу: ' (л (27) л о (вл) !гав + Н! ! По этой формуле были вычислены первые шесть коэффициентов А„; результаты расчетов приведены в табл.
6.10. Для инженерно-технических расчетов на рис. 6.26 — 6.29 приведены номограммы для определения 0, (температура поверхности цилиндра) и 0„(температура в центре цилиндра) по заданным Ро и Вй Анализ решения. Выше было уже отмечено, что при В! -л корни л„определяются из уравнения эл((л„) = О, т. е. являются корнямифункцни э'л((„). В этом случае коэффициенты Ал, как это следует из формулы (26), будут равны ! Ал =- 2 'лл л л ((лл) Решение (25) становится тождественным решению (36) 0 5 гл. 1Ч, если в последнем величину 0 заменить на (1 — 0), так как при этом задача на охлаждение заменяется задачей на нагревание цилиндра. Из граничного условия (3) следует, что температура на поверхности цилиндра Т(!с,г) сразу становится равной температуре окружающей среды Т, и весь процесс нагревания сводится к выравниванию температуры внутри цилиндра (внутренняя задача).
В стационарном состоянии (Го = ) температура в любой точке цилиндра равна температуре окружающей среды. ПГи малых значениях В! (Вг-ьО) еее коэффициенты А„-лО (см. формулу (26)), так как /, (Рл)-лб, за исключением А,-л1, а отношение — -+ 1, э,(г) когда г- О, а(', =- 2В| [см. соотношение (8)!. Тогда для малых значений В1 решение (25) можно написать так: 0 = 1 — э'л (3 '2В( — '1 е Н/ (28) (л1((лл((лз( (Р ( с увеличением (л„экспоненциальная функция ехр ( — р„'Ро) быстро уменьшается. Поэтому, если исключить из рассмотрения малые значе- В этом случае перепад температуры внутри цилиндра будет малой величиной, и процесс нагревания определяется теплообменом между окружающей средой и поверхностью цилиндра (в н е ш н я я зада ч а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
