Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 43
Текст из файла (страница 43)
)с, = — (для неограниченной пластины гг, = )с, для 1' 1 1 неограниченного цилиндра )т, = — К, для шара )х, = — Й); р,„,;— корни характеристических уравнений, причем Нп ~ < Нз, ~ < Нз, ~ < ° ° < Рл. ~ < ° (2) ас Ро = — — число Фурье, в котором в качестве определяющего размеФ= дл ра тела взят обобщенный размер. В силу неравенства (2) каждый последующий член ряда (1) с увеличением Ро будет исчезающе малым по сравнению с предыдущим, а сумма всех корней будет отличаться лишь на малую величину от величины первого члена. Поэтому, начиная с определенного значения числа Фурье Ро„можно ограничиться одним первым членом ряда, т.
е. 2 '1 — П Аь~ Ф(рь; )ехр — рь; —, Ро, при Ро, >Рог (3) т,-т... ~ 'И,) [ ~ 'И,) Начиная с этого значения Ро,, зависимость между (Т,— Т) и временем ч будет описываться простой экспонентой. Логарифмируя (3), получим з т,— т 266 Глава вгестая т,-т(ел)1 икт,-т,) 1и(180 — ф) = — 16ф [ ' ' [ ' *) т = сопя[. (5) та — ст Постоянная т есть скорость изменения логарифма избыточной температуры по времени, т.
е. д]]п [Т, — Т)] дт (6) она является одинаковой для всех точек тела, а также для средней по объему температуры Т и называется темпом нагревания или охлажде- ния тела. Из равенства (4) имеем !и[ Таким образом, графическая зависимость между ]п(Т,— Т) и временем будет иметь вид прямой. При длительном нагревании (Ро,-е. ) температуа=о ра во всех точках тела одинакова и равна Т, (стационарное -----ч-- состояние).
1 1 Е=н, . р ~ Следовательно, весь процесс нагревания можно разделить на три стадии. Первая стадия неупорядоченного режима характеризуется тем, что н н ° здесь большую роль играет парис. 6.38. Логарифм температурной разности чальное распределение темпекак фУнкции времени в пРоцессе нагРеваниЯ ратурьг Всякая нер вномер- неравномерность в начальном распределении отражается на распределении температуры в следующие моменты времени.
Зависимость между (Т, — Т) и т описывается рядом (1). Вторая стадия называется регулярным режимом. Зависимость между (Т,— Т) и т описывается простой зкспонентой (рис. 6.38). Распределение температуры внутри тела описывается функцией Ф и не зависит от начального распределения, так как величины А~л входят в качестве множителя, т. е. определягот масштаб, а не сущность явления. Третья стадия соответствует стационарному состоянию (Ро, = ), при котором температура во всех точках тела равна температуре окружающей среды.
На рис. 6.38 приведены графики величин 1п(Т,— Т) как функции т для поверхности и центра тела. Из рис. 6.38 видно, что в стадии регулярного режима эти графики имеют вид прямой. Если в начальный момент времени температура во всех точках одинакова и равна Т„то кривые должны исходить из одной точки. Так как поверхностные слои нагреваются быстрее, чем центральные, то кривая 1п(Т,— Т) = Г(т) в первой стадии для центрального слоя обращена выпуклостью к оси ординат, а для поверхностных слоев — к оси абсцисс (см. рис. 6.38). Вышеприведенный анализ справедлив для тел любой формы.
А. Г. Темкин показал [74], что задачу на нагревание тела сложной формы можно свести к задаче на нагревание тела основной формы (пластина, цилиндр, шар) путем введения критерия приближенного подобияя. Тангенс угла наклона прямой (стадия регулярного режима) будет равен ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 267 (л Следовательно, численное значение пт определяется теплофизическими коэффициентами, размерами и формой тела. На основании равенства (6) и граничного условия третьего рода для тела любой формы можно написать следующее равенство, справедливое в стадии регулярного режима нагревания: (8) Отсюда получим аВ Тс — Та аа и и = — ' " = — %г ее — „Кп, ст)с Т, — Т ЛЕ (9) где кп = В1,%г = — „' й,'Г (10) — критерий Кондратьева 1, гсг = — параметрический крите- Т,— Т„ Т,— Т дТ/ 1 Т ) ш=сопм, '12) Значения )с! в аависимости от В! для характеристических уравнений основных тел приведены в соответствующих таблицах.
Можно найти приближенные формулы для расчета (ь! в зависимости от критерия В!. Из (9) мы получаем важную зависимость теории регулярного режима с=! с! Критерий В1ейс является основной величиной, определяющей характер теплообмена тела в стадии регулярного режима, и назван в честь выдающегося теплофизика Г. )!1. Кондратьева, впервые изучившего законы охлаждения тела в этой стадии.
В отличие от критерия Коссовича Ко критерий В1 Чс обозначаем через Кп. рий, характеризующий неравномерность температурного поля, так как он равен отношению избыточной температуры поверхности тела к средней по объему тела избыточной температуре. Если распределение температуры в теле равномерное (В1, -с.0), то Ч" =- 1. Чем больше неравномерность температуры, тем меньше сй'. При Ф'=0 неравномерность распределения температуры наибольшая (В!,-с- , а Т„-+ Т,), Таким образом, критерий Кондратьева характеризует не только неравномерность температурного поля, но и интенсивность взаимодействия поверхности тела с окружающей средой.
Теория регулярного режима Кондратьева исходит из основного соотношения (6), т. е. отношение локальной скорости нагревания к избыточной температуре есть величина постоянная: дТ/ 1 = ш = соп51, дс ( Тс — Т) (11) Нашими работами (см. 5 6 гл. 1Х) было показано, что более общим признаком регулярности нестационарного температурного поля является постоянство отношения скорости нагревания к с р е д н е й избыточной температуре, т. е.
Глава шестая Следовательно, критерий Кп определяется формой тела и характеристическими числами [41, и [21,ь [81,8* а значит, и критерием Био, так как характеристические числа являются функциями критериев Био. Оказалось, что кривые Кп = = 7 (В[,) для геометрически совершенно различных тел: шара, параллелепипеда, цилиндра и др. — настолько близко располагаются друг к другу„ что практически все семейство их можно заменить одной осредненной кривой (рис. 6.39).
Аналитическим выражением этого является соотношение Н. А. Ярышева 1 1,о 0,8 о 4 8 12 1 Рис. 6.39 Универсальная приближенная зависимость Кп=1[Ши)! ! — дли пластины, 2 — дла шара, 8 — дла цилиндра %"— Кп 81 (14) Если В! -+О (практически достаточно, чтобы В[,(0,1), то Т„-и Т (%'=1). Следовательно, критерий Кондратьева будет равен критерию Био: (Кп)а — — В!и. (15) В этом случае темп нагревания и равен т = а, (Кп), = и стсЧп (16) Если В[,-ь ю (практически В[, > 100), то критерий Кондратьева будет величиной постоянной 8 р2 (КП)са = ~~ ([и! !) —, = СОП81. 4=1 с (17) В этом случае темп нагревания прямо пропорционален коэффициенту температуропроводности (первая теорема Кондратьева): (18) Таким образом, критерий Кп лежит в пределах от нуля до некоторой постоянной величины (Кп), которая определяется формой тела.
Рассмотренный характер кинетики нагрева по предложению Г. М. Кондратьева назван регулярным режимом первого рода. Его начало для центра пластины и цилиндра в зависимости от Ро, В[„ температурного симплекса центра Т(0, Ро) = ' ' и допуститс — т мой погрешности расчета е приведено на рис. 6.40 и 6.41. Из этих рисунков видно, что при малых значениях критерия Био центральные точки рассматриваемых тел достаточно быстро вступают в стадию регу- ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 269 в, 0,9 0,7 0,5 0 04 032 0,20 0,28 0,36 0,44 90 Рис.
6.40 Зависимость начала регулярного теплового режима от Ро, В! и допустимой погрешности рвсчетов а (44) для середины пластины в„ 0,8 0,6 0,4 0,04 032 0,20 0,28 0,36 0,44 го Рис. 6.4!. Зависимость начала регулярного теплового режима от Ро, В! и допустимой погрешности расчетов в (440) для оси неограниченного цилиндра лярного режима. С увеличением критерия Био относительное время регуляризации растет, достигает максимума при В1 = 2 и при дальнейшем увеличении В! снова несколько уменьшается. При одинаковых е н В! момент начала стадии регулярного режима наступает раньше по оси цилиндра, чем в центре пластины. На рис. 6.42 приведены графики зависимости 1я — 1 от1ЕВ! ! (р~).
2 для основных тел. Из рис. 6.42 видно, что точки хорошо расположены на прямой. Следовательно, можно написать ( в!)сч А — 1 =-— р! В!" илн (20) где (рч) — значение (ьг при В1 = (характеристические числа (рч) являются постоянными числами; например, для шара (рч) =- н, для цилинДРа ((32) = 2,406 и т. Д.). 270 Глава шестая Кт- Кт! ! 5 т т и ктз к з кис Рис.
6.42. Эзвисимость между безрззмер- ноа величиной '((рз!) /рз! — 11 икрите- рием Био: з-дли шири, т — дли цилиндра, 3 — длн пластины Рис. 6.43. Оценки приближенности решения Из рис. 6.42 можно определить постоянные А и й. Для неограниченной пластины А = 2,24, й = 1,02; для неограниченного цилиндра А = — 2 45, й = 1,04; для шара А = 2 70, й = 1,07. Таким образом, пользуясь соотношением (20), можно вычислить критерий Кондратьева по формулам (10) и (15) для любого тела. Соотношение регулярного режима з т дс! 7',— Т = П А! зФ ((л!, ! — !) ехр( — КпРо,) с=! л! (21) $11.
ОЦЕНКА ПРИБЛИЖЕНИЯ Применение полученных решений в 2 3 — 8 для практических расчетов требует оценки степени точности приближенных соотношений, когда из решения отбрасывается несколько членов ряда. Особенно это необходимо при расчете в случае малых значений числа Ро, когда приходится брать несколько членов ряда. Рассмотрим метод оценки на конкретном примере. Возьмем решение (29) 2 3 для неограниченной пластины и положим х = )с, что соответствует температуре на поверхности пластины, т. е. си 1 — 6„= ~~~ А„сов ум ехр ( — ранге) л=! где 2В! (Вти+р2) !/з ри (В1з + В1+ Рз) (2) послужило Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
