Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 44
Текст из файла (страница 44)
М. Кондратьеву и его ученикам основанием для разработки новых методов определения теплофизических коэффициентов различных материалов. Однако применение решения при граничных условиях третьего рода (В1+ ) для определения коэффициентов теплопроводности и температуропроводности встречает большие трудности в реализации граничных условий. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 271 р,„— корни характеристического уравнения 16!. = (3) Подставим в решение (1) вместо сов!»„соответствующее выражение, используя характеристическое уравнение в!а Х вЂ” 1/2 (соз )»„~ = (1 + 1из !» ) О~ = 1 + — = 1» (!»2 + В!2) !з Следовательно, имеем (учитывая, что сох Р„=- ( — 1)"+1 ~ сохи„~): 1 — 0„= 2В! ~~ ехр ( — и' Ро).
.Ъ! 1 и'„+в! (1+ в!) (4) »»=1 Обозначим остаточные члены ряда (4) через »» р» — — 2В1 ~~, 2 ехр( — 1„'Ро). ~йе! нз + В1 (1 + В!) »»=»+! Из характеристического уравнения (3) видно, что каждое значение 1»„ отличается от предыдущего немного меньше, чем на»2 (см, рис. 6.43). При В1-+ 0 каждое и„больше предыдущего точно на»2, а при В1» !»„= (2п — 1) —. На рис. 6.43 показан ход кривой»р» в зависимости от ) „. Из кривой рис. 6.43 следует »» »р»< ) 2В! Г 1 ех р ( — !»2 Ро) з(и. (6) и+(!+ввв ! »+— 2 Так как площадь а больше площади Ь, то можно написать »+— з 2 à — ) ( — ) >!Р»+1.
(7) »+— 1 2 где 2»» — член ряда (5), или »+— з 2 »+— з 2 О» ~ (-)= »+' »+— з 2 Обозначив р = (1 + В1) В1, получим О» » <р»( — ех р ( — рз Ро) = — ехр ( — оРо + рРо) !(о, 2В! Г 2В1 Г 1 !»»+ р !»»» „2 (8) где )»2 -1- р = ш 272 Глава саестая Окончательно имеем фа с. е ' — с(и. В1 био (ь е " и!с и а+в Ро (Р г +Р) (9) Значение интеграла в выражении (9) может быть взято из соответству- ющих таблиц. Приведем конкретный расчет. Требуется найти, с какого значения числа Ро можно пренебречь всем рядом (4), за исключением первого члена, если требуемая точность составляет 0,25',ю Пусть В! = 1,00; тогда Н, = 0,86, Рз = 3,426 (см. табл. 6.1).
В нашем случае й = 1; следовательно, Р з — — 2,14 ( Р з находим как среднее ариф- 2 2 метическое Рг и из), а р = 2. Имеем оо 0,0025 < ехр (2Ро) ~ — би, 1 ! е-" 2,14к 3 и 6,6Ро (1О) о 0,01685е 2Ро < ) йс = — Е! ( — 6,6Ро), и б,бРо где оо Е1 ( — 2) = — ) с(и. и (12) Задавая различные значения Ро, вычисляем отдельно правую и левую части неравенства (11).
В результате находим такое значение Ро, при котором левая и правая части этого неравенства дают одинаковые численные значения. Для нашего примера находим: Ро > 0,55. Более точное решение можно получить графически. Таким образом, начиная с Рось 0,55, можно ограничиться (с точностью до 0,25от1) одним членом из всего ряда (1). В работе Пешля приводится такой пример: чтобы высчитать с точностью до третьего знака после запятой значение 8„для Ро = 0,0003, необходимо взять 36 членов ряда (1). Аналогичным методом можно показать, что оценка ряда '%! 1 р„= ~р — ехр( — рлРо) лкн ал (13) может быть выражена следующим соотношением: оо 1 е а '"'а+ ' (Ро.—.) (1 4) Неравенство (14) дает возможность получить следующую оценку ряда с точностью до 0,25от6 можно пренебречь всеми членами ряда (13), если Ро ) 1,0 (при расчете принимаем: й = О, р, = — ) .
2 Рассмотрим метод последовательных приближений для вычисления корней характеристического уравнения, В первом грубом приближении ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 273 находят графическим путем корни характеристического уравнения, на- пример, для цилиндра о (а) (15) ,/! (н) В! Логарифмируем уравнение (15): 1п (У1(р)(+ 1пр, — 1п В1= 1п(У,(р,)(.
(16) Пусть значение первого корня равно р!!. Подставим это значение в левую часть уравнения (16) и по вычисленной левой части находим )!', из правой по формуле 1п(21()л!!)) ! +!п)л!!) — !п В1 = 1п).Г ()!!) (. Затем в левую часть уравнения (16) 'подставим и', и из правой части находим )л! по формуле 1п( 71 (Р!) )+ 1пр,', — !и В1 = 1п(У,(Р!) (. Этот процесс продолжается до тех пор, пока из уравнения 1п),Т! (н!")) ) + 1п)л)!л) — 1п В1 = 1п).Г, (Н<"+')) ( в пределах заданной точности получим „(и+1) (л) ! ! Такие же вычисления необходимо выполнить и для остальных корней.
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ БЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА С ПЕРЕМЕННОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ СРЕДЫ В данной главе рассматриваются задачи, когда температура поверхности тела является заданной функцией времени. Для общности вначале приводится случай, когда температура среды изменяется по заданному закону от времени Т, = Г(ч). Затем, полагая, что критерий Био бесконечно велик (В1-ь ), получаем решение задачи при заданной температуре поверхности тела Т„= г(ч). Следовательно, решения задач данной главы: являются некоторым обобщением решений задач главы 1Н, поскольку из приводимых здесь решений можно получить как частный случай решения ранее рассмотренных задач. Вначале приведены решения задач с наиболее простым законом изменения температуры Т, (температура среды — линейная функция времени), а затем с более сложными законами.
Сюда относятся и задачи на температурные волны. В конце главы даны некоторое обобщение и вывод теоремы Дюамеля операционным методом. В отличие от принятого в предыдущих главах порядка, вначале рассмотрим задачи на нагревание неограниченной пластины, шара и цилиндра. Задача на полуограниченное тело разобрана в й 7. Е С НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАС1ИНА. 1ЕМПЕРА1УРА СРЕДЫ— ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ ВРЕМЕНИ Постановка задачи.
Дана'пластина 2Н, которая находится в тепловом равновесии с окружающей средой, т. е. имеет температуру, равную температуре окружающей среды Т,. В начальный момент времени среда нагревается с постоянной скоростью Ь (град!сок), т. е. температура среды есть линейная функция времени Т,(ч) =- Ть+ Ьт Теплообмен между поверхностями пластины и окружающей среды происходит по закону Ньютона.
Требуется найти распределение температуры по толщине пластины в любой момент времени, а также удельный расход тепла. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ БЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА 275 Начальные и граничные условия можно написать так: Т (х, 0) = Т, = сопз(, дт(о, ~) 0 дх + Н [(Т +Ьт) — ТЯ, т)] = О. (2) (3) Решение задачи операционным методом. Решение для изображения Ть(х, з) дифференциального уравнения теплопроводности в случае неограниченной пластины при условиях (1) и (2) имеет вид (см.
~3 гл. У1) Т, (х, з) — — ' = Ас51I — 'х. (4) Определим из равенства (6) постоянную А и полученное выражение подставим в решение (4): бсь ~/ — х Ф (з) Ф (з) Т Т (х, з) Ф 00 ~'~ (з) (7) где Ф (з) — выражение, стоящее в скобках в знаменателе. Как было показано в ~ 3 гл. У1, Ф(е) и ф(з) являются обобщенными полиномами относительно я, причем полипом ф(з) не содержит постоянной, т. е. условия теоремы разложения соблюдены.
Приравнивая функцию ф(з) = з'Ф(з) нулю, находим корни: 1) зь = 0 (двукратный ко- 2 еЪ М 5 рень); 2) з„= — — —,, где 1 "у — Я =1 — простые корни, определяемые из характеристического уравнения 1 с1ин = — и. в! Таким образом, нахождение оригинала производим тем же путем, что и в ~ 3 гл.
У1, за исключением нулевого корня. Так как нулевой корень — двукратный, то применяем теорему разложения для кратных корней (в нашем случае й = 2), имеем 7." ~ ~ = 111п ~ — ( — '— ' — е" ) ~ = 1пп [ — ~ — 'е'-)~ = о 9 (з) 'Р (з) =1 ~ ' + [т (е)Г Постоянную А находим из граничного условия (3), которое для изображения будет иметь вид — Т (Кз)+ нт'+ нь — НТ Я,з)=0, (5) НЬ так как 7. [НЬт1 = —. Удовлетворим решение (4) граничному усло- У вию (5): — А~' —;.й~ —;Д+ "," + ",,' Глава седьл!ал 276 Ь ЬН Ьг ЬН~ Ь Г Г 2 = Ьт +— — Ь + — [х' — Ю(1+ — 11, 2а 2а 2аНН 2аНК 2а 1 1 НК / так как Ьх 5!! ~/ — х Ф(0) = Ь, ср (О) = 1, Ф'(О) = Игп а 2)Гас ЙВ!! ф — к 5!! ~!Г ~ (.)- ' + ' + " ж~~/ — 'Р.
2Н 1'ав 2Н )/ас 2аНР, а Результат при подстановке остальных корней находим обычным путем: СО СО л=! а ! Таким образом, решение нашей задачи получим в следующем виде: (8) где А„— начальные тепловые амплитуды, определяемые соотношением (30) 2 3 гл. Ъ'1. Анализ решения. Введем критерий, характеризующий интенсивность повышения температуры окружающей среды: Рб =( — "') (9) с!Ро тах и назовем этот критерий критерием Предводителева (Рб). вт,() В нашем случае скорость нагревания ' постоянна на протя- Да женин всего процесса и равна Ь, так как Т,(*) = Т, + Ьт. Следовательно, критерий Предводителева равен (10) Относительная температура среды 0, здесь взята по отношению к начальной температуре; ее можно также взять по отношению к некоторой средней температуре или к конечной, если последняя известна.
Таким образом, решение нашей задачи будет иметь вид н,= '!* ' " = ! ! (!' — †' ((! ! †' ) — " ) .~ ОЭ ~1 А„ Х + " соз)с„— ехр ( — ааРо) а а «=! ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ БЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА Из решения (11) видно, что относительная температура в любой точке пластины прямо пропорциональна критерию Предводителева, а следовательно, и скорости нагревания среды. При больших значениях критерия Рй возможны интенсификации процесса нагревания. Безраз
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
