Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Требуется найти распределение температурьс внутри 'тела и удельный расход тепла. Подробно рассмотрим задачу для пластины, а для остальных форм тела приведем конечные результаты. Имеем обычное дифференциальное уравнение теплопроводности для неограниченной пластины толщиной 2)Г. Начало координат находится в середине пластины, относительно которой кривые распределения температуры являются симметричными. Имеем: начальное условие 290 Глава седьмая Таким образом, относительная температура является функцией Го, В1, РЙ н Р~ В Ч' ~ Ро, В1, Рс(, — ). (10) Если положить Рс(: — (й-э ), то температура среды постоянна и равна Т (Ть:-- Т ). Тогда решение (9) превращается в решение (29) () 3 гл. ~1. Если положим В1 =-., что означает, что температура поверхности пластины есть вкспоненциальная функция времени (гриничное условие первого рода): Т(~ Я, т) = Т вЂ” (Т - -Т,) е "', то решение (9) превращается в следующее: х соь 'Р'Ро —- Я 0 = 1 — "- —, — ехр ( — Рбро)— 2 ) и — — ехр ( — Р„Ро), Х( где Р„= (2п — 1) Определение удельного расхода тепла.
Для нахождения удельного расхода тепла найдем среднюю температуру: 9 Т (я) — Ть Тм — Т вЂ” ео еь е 1'Рд ~ сан)/ Рд — ~/Рд 1 В! (12) где „— постоянные коэффициенты, определяемые соотношением (45) 9 3 гл. Ч1. Далее расчеты производятся обычным способом. ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ БЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА 291 Решение для шара записывается в следующем виде: нВ15!и Р Ро й (13) Ал где А„— начальные тепловые амплитуды, определяемые соотношением (29) 9 5 гл. Ъ'1; ЗВ! (!К )/ Рй — )г РЕ) — ге го е Ре 1 (В ! — 1) (я р' Ре + р' Р <Ц (14) ехр ( — Р„го), где „— постоянные коэффициенты, определяемые соотношением (49) 9 5 гл. Ч1. Решение для неограниченного цилиндра: т, ()ТР4 ф ехр ( — РйГо)— — У'Р4Т,(У Ре) 9 †т, ()/ Ре) (15) где А„— коэффициенты, определяемые соотношением (27) 9 б гл.
171; (1б) где В„ — постоянные коэффициенты, определяемые соотношением (34) 9 б гл. Ч1. 10* -Х „2 "Ф РЕ г НыпРа ехр ( — Р„Го), ' Р.л 2 ~'и Р<1 4, Т ~ „' )ехр( „,„'Ро), ~'и 1М Глава ведомая 292 $5. НАГРЕВАНИЕ ВЛАЖНЫХ ТЕЛ (НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА, ШАР И НЕОГРАНИЧЕННЫЙ ЦИЛИНДР! Постановка задачи, К подобного рода задачам относятся задачи на нагревание' влажных тел в среде с постоянной температурой, когда испарение влаги происходит на поверхности. ,Из теории сушки известно, что интенсивность испарения (колнчество испаренной влаги в единицу времени с единицы поверхности тела) вначале (в первом периоде) постоянная, а затем (во втором периоде) изменяэтся с течением времени по экспоненцнальному закону.
Таким образом, в первом приближении для интенсивности испарения т можно написать: т =-т,е Т(х, 0)=Т, — Л ' + а(Т, — Т (]со, с) ] — р тое:=-. О, дт ()Р, с) — о-. (2) (3) дт(о, ») 0 дх (4) где р — удельнаи теплота испарения (дж!кг). Граничное условие (4) можно переписать так: — +О'](Т,— ' е ) — Т ()с, с) ] =О, (5) т. е. 'это граничное условие аналогично граничному условию (3) 2 4, толью вместо (Т вЂ” Т,) здесь входит величина Рршение задачи.
Решение для изображения имеет вид (То — То) (о+)с) — о рте ~ сн ~/ — х Тз (х, з) — + (6) о (о+)с) ) се 1/ о й+ )/ о он ~/ о )Т] При помощи теоремы разложения находим решение для оригинала: х зас05 1 Рд — РВ Ро е т(», ) — т, т,— т 1 саз )Г Я вЂ” В ° ]Г Рд 5!а р' Рд 1— (с — +оо1 А„сози„— ехр ( — Р~ Ро), (7) где й — коэффициент сушки (1/сек), то — максимальная интенсивность (кгlмо сек).
Если положить /г =-О, то т = т, =- сопз1, т. е. получим постоянную интенсивность испарения, соответствующую первому периоду сушки. ,Рассмотрим задачу на нагревание влажной неограниченной пластинзс в среде с постоянной температурой Т, = сопз1. Начальные н гранс)чные условия можно написать так: ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ БЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА 293 т — т„ т,— т (8) где ҄— температура мокрого термометра.
Таким образом, 'температура пластины есть функция ряда крйтериев, а именно 0 = !Р (В!, —, Ро, Рд, 0„). (9) Если интенсивность испарения есть постоянная величина, т. е. т =- т, = сопя( (первый период сушки), то критерий Предводителева равен нулю (ковффициент сушки й = О). Тогда решение (7) примет вид 0 = 1 — О, — ~~ (1 — 0„) А„соз 9„— ' ех р ( — р'„Ро ) .
л=! (10) В первом приближении можно считать, что в стационарном состоянии (Ро = ) температура влажного тела (первый период сушки) равна температуре мокрого термометра, т. е. 0 =- 1 — О„или Т,— Т =Т,— Т вЂ” ~— , откуда ~— =- Т,— Т,. а Таким образом, получаем новое выражение для критерия Ол, который приобретает значение параметрического критерия. Решение (1О) можно написать так: 0' =- ( ' '1 ' = 1 —,~~ Ал совал — ехр ( — рлРо ). т — т л=! (12) Выражение (12) по форме совпадает с решением для нагревания сухой пластины, только вместо температуры среды Т, входит температура мокрого термометра Т,.
Следовательно, задача на нагревание влажного тела с постоянной интенсивностью испарения па его поверхности может быть сведена к задаче на нагревание сухого тела с заменой Т, на Т,. Это непосредственно следует из граничного условия, которое можно написать так: нли — 'т(,", ' +О (҄— Т(а.)) =О. (13а) где Рд = — Я' — критерий л а рый критерий, который, как психрометрической разности жающей среды, т. е. Предводителева, 0„ = ~ ' — некото° (т, — т,) будет показано ниже, равен отношению (Т, — Т„) к избыточной температуре окру- Глава седьмая 294 Аналогичные решения для шара и неограниченного цилиндра будут соответственно иметь вид: г г! 0я В! Мп )Г Рд— 0 1 — ехр ( — Рдро)— г 1(В! — !) Мп )г Рд + Рг РЕ сов )г' Рд) (14) г Д А„ ехр ( — )ь~ Ро); (! — —, Рд) Ва,(,(~ Рд ф 0=1 ехр ( — РЙРо)— .(, ( у' Ра) — ' )р Рд,г, (у Рд) В1 (15) А„ссз)ьв — ехр ( — р~Ро ).
(1 — —, Рд) Если сравнить решения (7), (14) и (15) с решениями (9), (13) и (15) 0 4, то можно найти большое сходство между ними. Второй член наших решений отличается от второго члена решений предыдущего параграфа только множителем 0„. Третий член решения имеет другой множитель при коэффициенте А„: вместо ! здесь стоит мно- 1 Рд г 2 житель задачи можно получить непосредственно из решений (12), (14) и (16) 0 4, произведя указанные замены. Преть интенсивность испарения постоянна, но не одинакова на обеих поверхностях пластины (несимметричная задача).
Имеем: (16) т(х, О) = ты "(+" +н[т, ' ' — т(+к )~=о, +, +и!т,— — — т( — Кт)) =о, дТ( — р ч) Г рыь дх ~ с а (1 7) где т, и т — соответственно интенсивности испарения на противоположных поверхностях пластины (кг/мв сек). Решение уравнения имеет вид -х[ Позтому средние температуры для нашей Глава 296 1= Оо О а ° О седьмая "с Ф ь' м о Ф Ф И я О Ф ,~ О 3 Ф О Ф 1 О .й ь Ф О о 6 Фо Со й ь а О Ф а 5 ~ 1 Ф ы о ФФ Ф Ю Ф 3 О. Ь' о ФФФ Ф с О Ф ь О Я р1 Ф Ф а Ф О,ФФ 3 Г ФФ М Ф6 1 Ф ь О О я о О Д О О. Е Ф О Ф Ф а ~ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ БЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА 297 1х„и 94 ! — корни характеристических уравнений 1 с(яр = —. р., В1 10 9 = — В!9. 1 (20) Первые шесть значений корней р„и коэффициентов А„приведены в табл.
6.1 и 6.2; в табл. 7.1 и 7.2 приведены первые шесть значений ре ! и А» ! для различных значений критерия Био (от 0 до ). При установившемся состоянии (Го = ~) имеем Т(х) =Т,— 2 ~(т +и)+ — (т — те) (2)) т. е. имеет место линейный закон распределения температуры шине пластины. по тол- Таблица 7.2 Значения постоянных 2В! (В!е + 1!4~ !) О Анл — — ( — 1)л+! 9, ! (В!я+В!+и,' !) В! 4,! б,! 0 0,1 0,2 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,5 8,0 9,0 10,0 15.0 20.0 30.0 40.0 50,0 60 0 80.0 100,0 О, 0000 0,0721 О,!303 0,1779 0,2172 0,2514 0.2803 0,3035 0,3156 0,3471 0,3646 0,4298 0,4726 0,5254 0 5562 0,5759 0,589 0,5987 0,6056 0,6108 0,6148 0,6256 0,6300 0,6336 О,Б348 0,6354 0,6358 0,6361 0,6363 0,6366 — 0,0000 — 0.0089 — 0 0175 — 0,0259 — 0,0341 — 0.0420 — 0,0497 — 0,0571 — 0,0643 — 0,0713 — О,О 81 — 0,1088 — О, 1348 — О, 1756 — 0,2052 — 0,2270 — 0,2435 — 0,2561 — 0,2659 — 0,2736 — 0,2789 — 0,2978 — 0,305Б — 0,3122 — 0,3147 — 0,3160 — 0,3167 — 0,3!74 0,3177 — 0,3183 0,0000 0,0032 О,ООБ4 0,0096 0,0127 0,0158 0,0189 0,0219 0,0249 0.0278 0,0305 0 0446 0,0576 0,0805 0,0957 0,1159 0,1293 0,1404 0,1496 0,1574 0.1639 0,1844 0,1945 0,2034 0,2068 0.2088 0,2098 0,2105 0,2113 0,2122 — О, 0000 — 0,0017 — О, 0033 — 0,0049 — 0 0065 — 0 0082 — 0.0098 — 0,0114 — 0,0129 — 0,0145 — 0,0160 — 0,0237 — 0,0311 — 0,0448 — 0,0571 — 0,0682 — 0,0779 — 0,0865 — 0,0941 — 0.1007 — 0,1065 — 0,1265 — О, 1375 — 0,1479 — 0,1524 — 0,1546 — О, !559 — 0,1573 — 0,1579 — 0,1591 О, 0000 0.0010 0.0020 0,0030 0.0040 0,0050 0.0059 0,0039 0,0079 0.0089 0,0098 0,0146 0,0193 0,0281 0.0365 0,0442 0,0513 0,0578 0,0638 0,0691 0,0739 0,0920 0,1028 0.1140 0,1191 0,1218 0,1234 0,1250 '0,1258 0,1274 — 0.0000 — 0,0007 — 0,0013 — 0.0020 †,0,0027 — 0,0033 — 0,0040 — 0.0047 — 0,0053 — 0,0060 — 0,0066 — 0,0099 — 0.0129 — 0.0!92 — 0.0251 — 0.0310 — 0,0360 — 0,0409 — 0.0455 — 0,0498 — 0,0538 — 0,0694 -0,0797 — 0,0911 — 0,0966 — 0,0995 — 0,1015 — 0,1034 — 0,1043 : — 0,1060 Глава седьмая 298 Если т, - т, =.
т, то из (21) получим Т(х) — Т,— — = Тм = а Средняя температура пластины равна Т (л) — Т, в (т, + л!о) Тс — То 2 л (Тс — То) " Х~ 1 — т ~ Влехр ( — Р го) л=! (22) На рис. 7.4 н 7.5 приведены графики Р,,; - Г(В1) и А,, — Г(В!), построенные по данным табл. 7.1 и 7.2. Е б. ТЕПЛОВЫЕ ВОЛНЫ. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА, ПОЛУОГРАНИЧЕННОЕ ТЕЛО, ШАР И НЕОГРАНИЧЕННЫЙ ЦИЛИНДР.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
