Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 45
Текст из файла (страница 45)
соотношение (26) й 3 гл. 17). Тогда 1 с)[ )/ — 'й будем иметь: — [[хх — !) Я вЂ” х) )~ — — [(2х — !) Я+к))/ — ~ т,(,.) — —; = —, ~( — 1)"'(. "+е (15) Используя соотношение (56) таблицы изображений, получаем х х (2о — 1) — — (2п — 1) +— — = 4Ро ! ( — 1)"ы 1'ег1с + !хег1с . (16) Р![ ~ 2Р Ро 2УРо л=! Это решение наиболее удобно для малых значений Ро, так как в атом случае можно ограничиться одним членом ряда (16). Следовательно, получаем задачу с граничным условием первого рода (см.
гл. 1![). Для решения такой задачи необходимо в (11) положить В1=, т. е. 278 На рис. 7.1 приведены графики изменения обобщенной функции й/РЙГо в зависимости от числа Фурье для разных значений относительной координаты. Определение удельного расхода тепла.
Удельный расход тепла находим по обычному соотношению М. = ст [Т() — То1 (17) Интегрируя решение (11) по — в пределах от О до 1, получаем х Я О) 0 = — -- Р!1 гГо — ~ — -)- — + ) --" — ехр ( — и„' Го)~, (18) — т('!) — т г г1 1 т 'с~ в„ т, 1 ~ з в. ! !!=! где „— постоянные коэффициенты, определяемые из соотношения (45) 5 3 гл.
Ч1. Удельный расход тепла можно найти другим способом. Количество тепла, передаваемое в единицу времени единице поверхности пластины от окружающей среды по закону Ньютона, будет равно ск !з д -= — „=. (Т,(~) — ТР, ~)1. Тогда удельный расход тепла будет равен Л(~, =..= ') (Т,(т) — Т(1!, т)] Йъ (19) о 5 где — — отношение поверхности к объему для неограниченной пласти1т ны (оно равно — ). Температура среды Т, является линейной функция) ей времени, т. е. Т,(.) =Т, + Ьт = Т,(1+РбГо).
Тогда разность (Т,(т) — ТЯ, т)) будет равна (20) О) т, ът —. Р!1 — Т,Рд ~ — р А„соз в„ехр ( — р„' Го) . ! !! !!=! (21) Подставив это выражение в (19), после интегрирования и необходимых преобразований получим т-1 1 Щ, =- стТ Рд Го — 1~' 2 В„(1 — ехр( — р~ Го)) л=! (22) где „— постоянные коэффициенты, определяемые из соотношения (45) СО Ъ~ з 3 гл. Ч1. Так как ~' — В„= — + —, то соотношение (22) стано- .2~1 .„' " з в вится тождественным соотношению (17).
о С) о ~ /с~ сР о (Р ОЭ Ю" -~% Ю 0 'б' ~ и Х Ф Ы д ж ФЭ, о о о и и Ф О) Глава седьмая 2ВО $2. ШАР. ТЕМПЕРАТУРА СРЕДЫ вЂ” ЛИНЕННАЯ ФУНКЦИЯ ВРЕМЕНИ Постановка задачи. Постановка задачи одинакова е предыдущей. При концентрическом распределении изотерм относительно центра шара краевые условия следующие: Т (г, 0) = Ть = соп51, = О, Т(0, т)+ дс (1) (2) — ' ') + Н (Ть + Ьт — Т Я, з)) = О. дс (3) Решение задачи. Решение дифференциального уравнения (1) в 5 гл. Ч1 для изображения Ть(г, з) при условиях (1) н (2) имеет вид Т, (г, з) — — = — з)1 у — г. Ть В тl е (4) Граничное условие (3) для изображения следующее: — Т, Я, з) + — ' + — — НТ, Я, з) = О.
(5) Удовлетворим решение (4) граничному условию (5): В з/з з/з В .з/з НТ, НЬ НТ, — — ь — с)1 ь — )с+ — з)2 ь — )т + — + — — —— Н Р а а йз а 3 ез з — Нтй(21/ —,Я=О. (6) Ф (з„) Ф (з„) Ф 1 (зп) Ф (зь) (8) и применить теорему разложения для отношения, если корни з„ Фз (з) Ф (з) ' отличны от нуля. Для нахождения корней з„ и риравняем Фз (з) нулю: Ф, (з) — гз ~(Н)с 1 ) з)1 )/ )с + 1/ Н с)1 1/ Д~ — О. 2 аив ° — 3 ВыРажение, стоЯЩеев скобках, Даст нам коРни з„= — — з~( ~ — Й=и), Из равенства (6) находим постоянную В и подставляем в решение (4): ЬНН~з(2 1Г— Фз (з) Т (г, з) сз' [ (НК вЂ” 1) зь 1/ ' Н + 1/ ' Н сп 1/Г ' (7) числитель Фз(з) и знаменатель Фд(з) не являются обобщенными полиномами относительно з, но они могут быть преобразованы в обобщенные полиномы путем умножения на знз.
Тогда можно воспользоваться соотношением ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ БЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА 281 которые определяются из характеристического уравнения 1 (ин=— Н! — 1 (подробно см. 2 5 гл. Ч1). Следовательно, имеем ОЭ С ф! (ап) Ч! (ел) а=! <» а 7~ з . ' 3!пи„— ехр~ 1"а — ) (9) 2ЬЙ' П(Мои„— а„соь!оа) . !' !' а ас 1 сна (!!а 3!и Ил соь !!а) и )с «=! Для нулевого корня (з = О) преобразуем решение (7), для чего з)!г и с)!г разложим в ряд. Тогда будем иметь 1 л 1 ЬНИ (1+ —; — + —,! —, +...~ 3! а б! а' ' ' '! 1(а) > !((НИ вЂ” 1)~)+ — г — ', +...~+~1+ —,Š— ', +...) ~™ (10) где Т(з) — числитель отношения (10), ср(з) — выражение, стоящее в фигурных скобках знаменателя. Применяем теорему разложения для кратных корней, т.
е. Ьс' 2Ьй! ЬИ' = Ьс+ —— ба баНП ба так как Т" (0) = ЬНК <р (0) = НК !р'(0) = — ( 2)1' НПР,' ба ба Окончательно решение нашей задачи будет иметь еид а) — То Т СО Г =Ро Ро — — 11)1+ — ~ — — ~+ г~ —" ехр( — наро) л л=! (12) где В1 = НК Рд = — — критерий Предводителева, А„— начальные ЬИ' тепловые амплитуды, определяемые соотношением (28) или (29) 2 5 гл. Ч1. Анализ решения. Из решения (12) видно, что относительная избыточная температура 6 прямо пропорциональна критерию Рй, т. е.
скорость нагревания окружающей среды непосредственно влияет на повышение температуры тела в любой точке его. Ряд в решении (12) быстро сходится, и поэтому для квазистационарного режима, определяемого условием Ро ) Ром им можно пренебречь. Величина Рот определяется по методу, изложенному в 9 11 гл. Ч1. 282 При В! -~ температура поверхности тела будет линейной функ((ией времени Т()с, к) = Т, + бт.
Решение (12) превращается в следующее: (13) где А„= 2( — 1)"+', р„= па. Сделаем оценку ряда (13) для центра шара (г = О). Напишем решение (13) так: — = Ро — — (1 — <р (т)), 6 1 (14) Рв 6 где ~Ф (р (т) = —, ~~ ~( — 1)"+' —, ехр ( — п'я'Ро). и=! (15) Ы з(( ~/ Т (г/ з) — — = т. а !. Б Г ~ гФ зЬ т/ — )1 а Используя соотношение (56) таблицы изображений, находим ОЭ вЂ” =4Г ~ — [ л 1 г Г (2п — 1) — — (2п — 1) +— Рег!с — Рег1с 2 )ГЕо 2 )Г Ро (16) На рис.
7.2 приведены графики изменения обобщенной переменной 0/Рб Ро от числа Фурье для разных относительных координат гЯ. Для малых значений 'Ро можно из всего ряда (16) ограничиться одним первым членом. Значение функции !'ег1с берется по графику или из таблиц. Потребуем, чтобы (р(т) < 0,005, что составляет 1/2% от 1. Тогда, пользуясь методом, изложенным в 2 11 гл. (/1, находим, что при (р ('!) <0,005 Ро> 0,54. г Для точки с координат()й — = 0,5 значение (р (т; 0,5), соответствующее ряду в решении (13) при Ро = 0,5, равно 0,0008, что составляет 0,11% от 0,75.
Для малых значений Ро можно получить решение в другом виде. Положим в решении (7) В! = Н/с-э; тогда после некоторых преобразований будем иметь (см. 2 5 гл. (/1)! 286 о И о х о 1 ж ы Р а о 43 и 287 О = Ро — — (1 — — 1! +~ — А Уа(15 — ~ехр( — 155Ро), 5 и=! (5) ТДс 1„— коРни фУнкЦии Уа(! ), так как У (15) = О пРи В! = На рис.
7.3 приведены графики изменения обобщенной переменной 8/РбРо от числа Фурье при разных значениях относительной координаты ГИ. Для квазистационарного состояния в решении (5) рядом можно пренебречь. Для малых значений Ро можно найти приближенное решение. Применяя метод разложения функции 7, (г) в асимптотический ряд, после некоторых преобразований получим решение для изображения в случае В1= в таком виде (подробно см. 5 5 гл. 11Г): ТГ (Г, з) — — = —, 1.à — 1+ ехр 1с — "~à — Я вЂ” Г)~. (6) т, ч I л Г!' — Г Г ГГ5 5 5 Г г — ~ а 8ГГ5 У' а Пользуясь соотношением (54) таблицы изображений (см. приложения), находим Г Г 1 —— 1 —— 4Ро 15ег1с + (4Ро)~~~ Вег(с 2 рГго 8Г 2)ГГо 8-И5Г Г [ (7) Значения функций Рег1сх и ВеНсх можно определить по табл.
'ЧИ и приложениях. Определение удельного расхода тепла. Найдем среднюю температуру цилиндра, необходимую для расчета удельного расхода тепла. Применяя интегральное соотношение (32) $ б гл. Ч1, получим Ро — — (1 + — ) + — „В„ехр ( — 15~~ Ро) и=! Т() Т' =- РЙ Т (8) где „— постоянные, определяемые соотношением (34) й 6 гл. Ч1. Первые шесть значений В„приведены в табл. 6.12.
Сравнивая рассмотренные выше задачи с задачами гл. 5Г, можно увидеть аналогию между 'ними. В обоих случаях через определенный промежуток времени, определяемый неравенством Ро > Ро,, наступает лт квазистационарное состояние, когда — становится величиной постоянЛ5 ной (температура в любой точке тела есть линейная функция времени). Поэтому при квазистационарном состоянии в одномерных задачах распределение температуры следует закону параболы. Разница между указанными задачами состоит в том, что в данных задачах скорость нагревания — (производная средней температуры по времени) станолт 5!5 вится величиной постоянной только через определенный промежуток времени, когда Ро Рог, а в задачах гл.
Ч скорость нагревания является величиной постоянной с самого начала процесса нагревания, что непосредственно следует из граничного условия. 288 Глава седьМая Таким образом. удельный расход тепла равен дт\1 д,=с) где Н,= — — отношение объема к поверхности тела. 8 е л. неОГРАниченнАя плАстинА. шАРи неОГРАниченный цилиндР.
ГемпеРАтуРА сРеды — экспОненциАльнАЛ ФУНКЦИЯ ВРЕМЕНИ Т (х, О) = Т, = сопз(; ! условие симметрии дТ(0, с) ) дх (2) граничное условие (3) Решение задачи операционным методом. Решение уравнения для изображения Тс (х, в) при условиях (1) и (2) имеет вид Тд ь I в Ть (х,в) — — = Асй у — х. Граничное условие (3) для изображения напишем так: НТ Н (Т вЂ” Т.) — Ть(й, в) + — —, + „' — НТь ()с, в) = О, так как Л (е ы) = Удовлетворим решение (4) граничному условию (5): — А $I — ', зп ~ —;, гс+ — (Т,„— Ть)— н(т,„— т) — НАс)1 ь' — Я = О, ° в в+А Постановка задачи. Дано изотропное тело (неограниченная пластина, шар и неограниченный цилиндр), находящееся в тепловом равновесии с окружающей средой. В начальный момент времени температура среды повышается по закону Т,(ч) = Т вЂ” (Т вЂ” Т )е ы, где Т— максимальная температура среды Т, ( ш ) =Т, 'и — постояйная.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
