Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Обозначим величину "~7 — через 5. Она является по своему физическому смыслу коэффициентом теплоусвоения однородной стенкой. Коэффициент теплоусвоения 5 примерно в девять раз меньше длины температурной волны.,ЛД = 0,11 Л), так как Л = )7 8к )7 — = )7 81т 5. (57) Коэффициент теплоусвоения обратно пропорционален )7а и прямо пропорционт(лен )7 а. Поэтому с увеличением частоты колебаний температуры коэффициент теплоусвоения уменьшается. При больших частотах теплоусвоение мало. При постоянной частоте (а=сонэ!) коэффициент теплоусвоения зависит только от коэффициента температуропроводности.
Например, при периоде колебания в 24 ч (а=Ф,з) коэффициент теплоусвоепия пробковых плит (5 = 0,039 м), примерно, в 3,5 раза меньше коэффициента теплоусвоения мраморных плит ($ = 0,137 м). Если передача тепла через воздушную прослойку происходит теплопроводностью, то коэффициент теплоусвоения ее очень большой теглпеРАтуРНОе пОле Без истОчникОВ теплА Таблица 7.Б Значение функции затухания 7(л) температурных колебаний 1ооо 1оо и 20 0,733 О,б23 1,100 0,307 0,477 0,221 0,110 7(п) Значения функции Т(п) приведены в табл. 7.5, из которой видно, что прн п = 2 Т(п) = 0,110. Следовательно, при и = 2 Х„= 0,110 А=1, т. е. коэффициент ~ численно равен глубине слоя Х„, в котором колебания температуры уменьшились в 2 раза по сравнению с колебанием температуры на поверхности.
Количество тепла, аккумулированное единицей поверхности полу- ограниченной стенки за полупериод, при В1*+0 будет (59) ((г,)т ы =- 2сТТ Ао т. е. получаем соотношение, аналогичное (56), поскольку'температура колебания на поверхности стенки равна Т А,. Расход тепла можно подсчитать по иному методу. Скорость теплового потока равна (60) где Т„(т) — температура поверхности тела (при х = 14 или при г=)4), — — отношение площади поверхности тела к его объему. В Таким образом, если построить кривую изменения температуры среды во времени Т,(т)" — Т, = Т соз2птт (61) и кривую изменения температуры поверхности тела Т„(т) — Т, = Т 0„= Т (Л1; „Ж т „)'4 соз(2итт — Мз) (62) (индекс «п» указывает, что соответствующие величины взяты при х=)с нли прн г=)Г), то площадь между этими двумя кривыми и даст величину, пропорциональную удельному расходу тепла за данный промежуток времени.
Например, на рис 7.6 заштрихованная площадь дает величину, пропорциональную удельному расходу тепла за полупериод. Если в уравнение (60) подставить соответствующие выражения для Т,(т) и Т„(т) из соотношений (61) и (62) и проинтегрировать по т в пределах от т, до т,, то получим формулу для удельного расхода тепла, аналогичную формуле (47). Е 7. ПОЛУОГРАНИЧЕННОЕ ТЕЛО. ТЕМПЕРАТУРА СРЕДЫ— ФУНКЦИЯ ВРЕМЕНИ Постановка задачи. В качестве примера полуограниченного тела может служить тонкий длинный стержень с тепловой изоляцией боковой поверхности.
В начальный момент времени конец стержня помеи(ается в среду, температура которой есть некоторая заданная функция времени Т,(т) = 7(т). Теплообмен между неизолированным кон- Глава седьмая 314 (1) (2) (з) Т(х,О):-О, д~(О') + Н у(а) — Т(О, )1;=- О, Т (о, о) = О. Решение задачи. Решение дифференциального уравнения для изображения Ть(х,з) при условиях (1) и (3) будет иметь вид Тс (х,з) = — В ехр ( — 1I — ' х) . г а (4) Постоянную В определяем из граничного условия (2), которое для изображения будет иметь вид Т; (О,з)+НР(з) — НТ, (О,з) -=- О, где Р(з) есть изображение функции 7(ч), т. е.
Р (з) = 7. 11 (т) 1. Решение (4) после определения постоянной будет следующим: Т (х,з)=-Р(з) — — ехр ( ~, в х ) .— — Р(з)Ф(з). ! 1- н~'-: (6) (7) Для перехода от изображения к оригиналу воспользуемся теоремой умножения изображений. Обратное преобразование изображения Ф(в) нам известно (см.
таблицу изображений в приложении): — ( — 1 — **)1:- в(), '+И~с —, г -о(Ф(з)1, г -г ~р(о) .: Н ~/ — ехр ( — 4 ) — аН'ехр (Нх+аН'.) ег1с~ —.— +Не а'"). Тогда по теореме умножения изображений можно написать: Е 1Ф(я)Р(з)] =.= ~ 7(о) 7( — 6)йй — — ) р ( — о) 7(Ь)йй, о о где ~р(*) есть оригинал изображения Ф (з). Следовательно, решение нашей задачи имеет вид Т (к,,) ~ )(о З)~ Н )/ ;, "р ~ — 4. )— о —.аНоехр(Нк 4- аНо1)) еНс ( + Н~/а9)~ сЮ.
(8) иом стержня и окружающей средой происходит по закону Ньютона. Требуется найти распределение температуры по длине стержня. Дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерной задачи известно. Краевые условия следующие: ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ВЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА Анализ решения. Если /(т) = Т, = сопз( (температура среды — постоянная величина), то решение (8) превратится в решение(11) 2 1 гл 1/1: 0 = ( ') = ег1с ", — ехр (Нх+аН'а)ег1с ( +Н)Гак ), (9) Та 2 рах ( 2 ф'ах Пусть Т, = Т )~ т; тогда решение (8) примет вид Т(х,х) .х- / ха) х)х х = )'хехр~ — — )— ег1с Т„, \ 4ах ! 2 У'а 2 )/ах — — 1I ' (ег1с= — ехр(аНхт+Нх) ег1с( -(-Н)/ах )~ 1 2 )/ах (10) При Н-+ Т (О, х) = Т„3l х, из решения (10) получим Т(х,т)=Т )/х ехр ~ — — ! — хТ ' ег(с ( ). 2 )/а 2 1/ах В общем случае, когда Т,=/(х), при Н -~ а температура конца стержня будет изменятгся так же, как температура среды, т.
е. Т(О, т) = /(.). (12) Тогда будем иметь аа Т(х, х) = = $ / (~ 4аа') е 'с(Ь =, ~ ' Ч ехР~ — 4ал) г(ч). х 0 2 гад (18) Если температура поверхности постоянная, то из (13) получим Т(х, х) = ег(с х Та 2 уах 5 а. ОБОБщеннОе Решение. теОРемА дюАмеля Сделаем некоторое обобщение задач на нагревание тела в среде, температура которой есть функция времени.
Пользуясь теоремой умножения изображений, можно токазать известную теорему Дюамеля. Для лучшего уяснения начнем с рассмотрения решения задачи для неограниченной пластины. Если температура среды постоянна и равна единице (Т, = 1), то решение для изображения при Т, = 0 будет иметь вид Ф (з), (1) Ты(х, г) — —— где — есть изображение постоянной Т, = 1. 1 316 Глава седьмая Если Т, = 7(я), а изображение 7(ч) равно Р(я), т. е. 7 [7(с)] =- Р(я), то решение для пластины будет иметь вид Тс (х, я) = Р (я) Ф (я). (2) Если умножить и разделить выражение (2) на я, то полученное решение (2) можно представить как произведение двух изображений яР(я) и Ть! (х, я): Тс (х, я) = — яР (я) = яР (я) Ты (х, я).
(3) Оригинал второго изображения Т!!(х, я) нам известен — это есть решение задачи для постоянной температуры среды (Т, =-1): 7 -! [Ты(х, я)] =-- Т,(х, ч) =- 1 —,~, А„соя р„—" ехр ( — р~ Ео ) . (4) и ! Оригинал первого изображения яР(я) может быть найден так: С [7(т)] =- Р(я), ь [7' (ч)] = яР(я) — ~(0), яР (я) =- Е Д' (я)] + 7(0). (б) Если 7(0) =- О, то оригинал изображения яР (я) есть 7' (т); тогда, применяя теорему умножения изображений, получим Т (х ч) — ! [!г (~ Ь) Тт (х Ь) йЬ о (7) Если 7(0) = сопя1, сделаем следующее предварительное преобразование: Тс (х, я) = яР(я) Тс!(х,я) = Е [7' (ч)]Тел(х, я) + !!(0) Тс!(х,я). Применяя обратное преобразование Лапласа и теорему умножения изображений, получим Т(х, ч) = ) 7' (ч — Ь) Тд(х, Ь) йЬ + ) (0) Т, (х, т).
о (8) А„соя 1„—" ехр ( — р.~го ) Т(х, с) .= 7(0) + Г( — Ь) о л=! О л=! Соотношение (9) есть решение для неограниченной пластины, когда температура среды есть функция времени. Сделаем обобщение для тела любой геометрической формы, Соотношение (8) есть формула теоремы Дюамеля для одномерной задачи. Для нашего конкретного примера имеем ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ БЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА Пусть тело нагревается в среде, температура которой есть функция времени Т, = Т (т). Будем искать температурное поле для любого момента времени.
Имеем = асТ~Т (х, у, г, т», (10) (11) (12) Т(х, у, г„О) = О, — (11 Т)„+ Н ]1(с) — Т,] =- О. Применим преобразование Лапласа, тогда получим з Т (х, у, г, в) = а с7« Т (х, у, г, з), — (срТь)„+ НЕ(в) — Н Т, = О. (13) (14) Пусть и (х, у, г, с) есть решение нашей задачи, когда температура среды равна единице, т. е. Т(с) =1; тогда Е (и (х, у, г, «)] = П (х, у, г, в). (15) Так как изображение 1 равно —, то решение задачи при Т, = 1'(с) для 1 изображения Т„(х, у, г, в) будет равно Т, (х, у, г, з) = зР (в) П, (х, у, г, в). (16) Заменим выражение вр(з): зр (в) = Е [Т' (с)] + Т' (0). (17) Тогда можно написать Т, (х, у, г, в) = (Е (~' (т)] -1- ~ (0)) П (х, у, г, з) = = Т (0) Е (и (х, у, г, с)] -]- Е ]Т' (с)] Е (и (х, у, г, с)].
(18) Воспользуемся обратным преобразованием Лапласа и теоремой умно- жения изображений: Т(х, у„г, с) = т'(0) и(х, у, г, «) + ~ )'(с — Ь) и(х, у, г, Ь)йЬ. о Данное соотношение (19) можно переписать так: (19) Т (х, у, г, т) = ~ Т (с — Ь) и (х, у, г, Ь) й Ь, дс о (20) т. е. получаем известную теорему Дюамеля: «Если Т'(«) и производная 1" (к) кусочно-непрерывны при с > О, то функция Т(х, у, г, с), определяемая соотношением (20), является решением краевой задачи (10) с краевыми условиями (11) и (12)». На основании свойства теоремы умножения изображений можно соотношение (20) переписать так: Т(х,у,г,с) = — ~~(Ь)и(х,у,г, с — Ь)йЬ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
