Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 52
Текст из файла (страница 52)
гас где га,(п,с) = ~ оа(х,с)соз а)х. о (20) Решение этого уравнения будет Т,(п, с)=ехр ~ —,— ) ~С(п) + ( — 1)" — ) а(9) ехр( П, ) с(9 + о + — ~ ш,(п,Ь) ехр ( ~~; Ь ) ЙЬ ~ . о Для определения С(п) воспользуемся начальным условием (2а): Т,(п, 0) = С(п) = ) Т(х,О)соз —., с(х = ) Т(х)соз" — „х с(х. о о (21) (22) Тогда ап2пх Т,(п, с)=( — 1)" — „~а(9) ехр[ —, (с — 9)1 с(9 + о + — ~ га, (и, т) ехр ~ — ", (х — 9)~ с(9 + ехр ( — ~~, ") х о л Х ) Т(х) соз с(х. (23) Т, (и;с) = Т, (ОП) + Т,„(п с), (24) причем во втором слагаемом п = 1, 2, 3,. Имеем Т, (п,с) = ~ ~ (х) с(х + — ~ а (9) с(9 + — ~ гз, (0,9) с(9 -)- о о о ап'и'с 1 Г' пах „а + )ехр( — —,) ~ Т(х) соз — г(х +( — 1)" — Х о 1)) Подробно см.
формулы (31) — (33) 5 2 гл. г'. Для удобства перехода к оригиналу по соотношению (18) перепишем решение для изображения (21) в виде 332 Глава восьмая ап'ль Х ) д(Ь) ехр[ —, (с — Ь) ~ с(Ь+ о 1 о Г апсль + — ! ис, (п,Ь) ехр [ — , (х — Ь)~ с(Ь ') , о (25) где (26) Т (х,х) = †( ) !"(х) с(х + †) с) (Ь) с(Ь + †) Го (О, Ь) с(Ь) + о о о ОО и 2 %л пссх ! альп!с' !' пах — ~„соя — ехр ~ гх' л ~ Л Ц ) ~ Г (х) соя — с(х + Я л 1 о + — ~~ ( — 1)лсоя — ) с)(Ь)ехр[ — с(х — Ь) ~ Ю+ л=! о ОО 2 ъ"~ и сх Г опслс -1- — т соя — ) ис (п„Ь) ехр [ — (т — Ь)1с(Ь.
аист 2 1Х !) " (! У л=! о (27)! Решение (27) является общим решением поставленной задачи. Решение в обобщенных переменных можно написать тан: ! еа Ь ~ — ',Ро) = )' Г ( — ') д ~ — ") + )" К! (Ро*) с(Рол + о о ! ОО + ) Ро ( —,Ро*) а!Ров + 2 ~ соя р„—, Х о л=! ! Х ехр ( — р„'Ро) ) Г ( — ) саяр„— "с(хЯ+ о ЕО + 2,) совр„— Д ( — 1)" К1(Ро*)+ л=! о ! + ~Ро ( —,Ро* ) совр,„— с( ( — ) Х о Х ехр( — рз(Ро — Рол))~ с(Рол, (28) где р = псс, К! (Ро)= — — число Кирпичева, Ро = „,' — чис- О(с) !с св (х, с) )сс л с ~с ло Померанцева или обобщенная переменная, Т,— фиксированное зна- ис, (О, с) = ) ис (х,т) асх.
о Переход от изображения Т,(п,х) к оригиналу производим по формуле (18) ПОЛЕ С НЕПРЕРЫВНО ДЕЙСТВУЮЩИМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА 333 чение температуры, например температуры среды, 0 = Т(х,с'УТ,— безразмерная температура. В случае равномерного начального распределения температуры Т(0,х) = Т, (4а) и постоянного потока тепла на поверхности пластины д (с) = д, = сопз! решение (28) примет вид (4б) си ! х 1 ! хи! ти 2 х 0 —,Ро = К! Ро — — (1 — 3 — ) — ( — 1)" — совр — ехр( — РоЕо)~+ (И' ) ( ], ") я и И и !"л л 1 Го ! Р -]- )с!Рои ) Ро/ —,Рои 1с(1 — 1+2 ~~созР— хехр( — ]хо Го) Х л о о и=! йи ! Х ) ехр(!хо Ро*) с!Рои ~Ро,( —,Рои) совр„— с(( — ) .
(29) о о 1. Постоянный источник тепла [ Ро ( —, Ро) = Ро, = сопзф 0 ( —,Ро ) = Ро, Ро + Ф ( — ",,Ро ) „ (30) где ~(-;,Ро) =К~[Ро--;(1-3~)— — ~ ( — 1)и —,созни — ехр( — ро Ро) ~ !хи и=! (31) является решением задачи при отсутствии источника тепла. 2. Источник тепла — линейная функция от координаты [Ро( —,Ро) =Ро,(1 — — )~ ! ОЭ 0 !' х Р '! ( 1 Р 4 чи соо(2л — 1)ихЯ Х совр.„— х(1 — ехр( — иоРо)]) + Ф ( —, Ро ) (32) 3. Источник тепла †параболическ функция от координаты [ Ро ( —,Ро) =Ро, (1 —, )~ ! При этом отсчет температуры производится от начальной температуры тела (Т, = О). Первое слагаемое в решении (29), заключенное в квадратные скобки, является решением задачи при отсутствии источников тепла (Ро = О).
Остальные члены характеризуют влияние на распределение температуры источника тепла. Из решения (29) можно получить ряд частных решений. Глава восьмая 334 ОЭ х 0 —,Ро = Ро, — Го —, ( — 1)" созпл — [!в ! л л=! — ехр( — вз Ро) ]) + Ф ( —,Го ) . 4. Источник тепла — экспоненциальная функция координаты [Ро ( —,Го ) = Ро, ехр( — Ь вЂ” )]: (33) сл 0 ! —,Го 1 = Ро, ] — (1 — е-а)Го+ ~ [1 — ( — 1)" е '] Х Гса(Ь2+Гс 2) л=! Х созгсл — [1 — ехр ( — !с~~ Ро) ] ) + Ф ( —, Ро ) (34) 5. Источник тепла — линейная функция времени [Ро ( —,Го ) =- = Ро,(1+ Рг['Го) ]: 0 ( — ", Ро ) = Ро, Го (1 + — РсГ Го ) +Ф ( —, Ро ), (35) где Рг[ = — )с' — критерий Предводителева, гс а равный максимальной Р1, А' ( а (~/~~) [ а 1 с!со )„, (36) м — постоянная, численно равная максимальной относительной скорости изменения удельной мощности источника тепла, иг,— удельная мощносгь источника тепла при л = О.
б. Источник тепла — экспоненциальная функция времени Ро ( —,Ро) = Ро,ехр( — РгГРо) ]: 0 ( — ",Ро ) = ', [1 — ехр ( — РгГГо)] + Ф( — „Го ). (37) 7. Источник тепла — периодическая функция времени Ро ( — ", Ро ) = Ро,созРг['Го]: 01 —, Ро ] =; з!п РгГ Го + Ф / —,Ро ) . 8. Источник тепла зависит от времени в и-й степени Ро ( —, Ро ) = Ро, (Рс['Ро)" ]: О( —, Ро) = Ро,Го+ Ф( —, Ро) . (39) скорости изменения относительной удельной мощности источника теп- ла по числу Фурье: пОле с непРеРыВнО деистВлгющими истОчниКАми теплА 335 $3.
ШАР ]СИММЕТРИЧНАЯ ЗАДАЧА] Постановка задачи при граничных условиях третьего рода. Задача аналогична предыдущей и математически записывается так: д(гТ(г, е)] д ]гТ(г, ~)1 гсг дг2 ст Т(г, О) = тм =О, Т(О,~)+ дг — дт~,В ' +Н(Т,— тР,.)]=О. (1) (2) (3) (4) В)Всвф~ с г [(В1 — 1) 5Ь $/ — Й + фг — и СЬ ф/ — Д~ г Из рассмотрения решения (б) видно, что оно является алгебраической суммой решений рассмотренных нами задач. Таким образом, решение нашей задачи может быть получено, если из решения (27) й 4 гл.
лг] вычесть решение (12) й 2 гл. Н11, предварительно заменив величину Ь иа —, и добавить величину — т, которая явст ' ст ляется оригиналом изображения свгз'су. Следовательно, решение нашей задачи будет иметь вид Т(г, .) — Тс т,— т 2 1 -, '— Ро 1-1- —. — — ',~ — У(1 + — )А„ехр( — )с'Ро), и 1ги с=! гсйс где Ро = — критерий Померанцева, А — начальные тепловые = л(т,— т) с амплитуды, определяемые соответствующими соотношениями (см.
$ 4 гл. И). В стационарном состоянии будем иметь параболический закон распределения температуры. Средняя температура шара, необходимая для расчета удельного расхода тепла, равна Решение задачи при гв = сопя]. Решение для изображения Ть(г, з) получаем аналогичным методом.
На основании условий (2) и (3) решение имеет вид В си (5) Постоянная В определяется из граничного условия (4), которое преобразуется для изображения. Таким образом, решение для изображения приобретет вид Т,(г,з) ' ( ', )Х 336 Глава восьмая — Т(я) — Ть 1 ! 5 ! 6= = 1+ — Ро 1+ —. Тс — Ть 15 ( В! ) Ю вЂ” )~~ (1 + — ) Вл ехр ( — (ьа Ро). !ьл Г ь=1 (8) Решение при гв =гасе — Я'.
Применяя аналогичный метод расчета, решение получим в виде (9) где Рй — критерий Предводителева; он равен в данном случае Рг) = я тьй = — Я', Ро — критерий Померанцева, Ро = а 1(Т,— Т ) Решение задачи пРи ге=гвььч*л. УдельнаЯ мощность источника тепла есть некоторая степенная функция времени: га = гвь яьчл, где п = = — 1, О, 1, 2,....
Решаем задачу при граничном условии первого рода (В! = ), т. е. ТЯ, я) = Т,. Пользуясь вышеописанным методом, решение получим в виде г г (2т — 1) — 1> (2т — 1) + а ег1с — ег1с 21/го 23/го 1+1/дя + " * 1 Г(2+ ' л)2"ях 1(Т Т) (!++а) (10) г г (2т — 1) — г (2т — !) + я Х ~ — 1ь"вег1с — 1ььяег1с г 23~ Ёо 2)г Ро ж=! ловиях второго рода. Источник тепла является функцией координаты и времени и1 (г, с): Т(г, 0) = Яг), — ) '' +д()=о, дТЯ, я) 'т," ' = О; Т(О, ) =,ь Прн отсутствии источника тепла (игь = 0) решение (10) превращается в соответствующее решение $4 гл. 17. Постановка задачи при переменном источнике тепла и граничных ус- Глава восьмая 338 ! го ! 3 ( —, Ро) = 35( — ) ~( — )а( — )+ ~[К1(Рои)+~ —, Ро( —, Рои) Х о о о х с(( — ',фРо*~+2~ и"".
";"' ехр( — 1ь'„Ро) х и=! ! СО Й(г!сс) + ~„ Х о и=! Ги ! х ~ ~з(п р.„Кз(Ро*) + ~ — Ро( —, Ро') з!п(ь„— с(( — )~ ~с о о Х ехр 1 — 1ь„'(Ро — Рои))с(Рои. (22) Для равномерного начального распределения температуры имеем Т(г, 0)=Т,=О, (23) когда отсчет температуры производится от начальной температуры тела и прн постоянном значении числа Кирпичева К1(Ро)=,",— =К =- 1. ~с Решение (22) примет вид (24) ги 3 ( — ',, Ро ) = бз ( — ', Р о )+ 3 ~ с(Ро* ~ ( —;) Ро ( —, Ро* ) !1( ~ ) + о о и=! го ! х ~ ехр(р.„'Рои)!1 Рои~ ( — ") Ро ( —, Рои ) ебп р,„— ' д ( ~, ), о о (25) + ~а в!а~ д ехр( аР~т) а ) ) и!(» о) В р ехр(аР„'о)гь"с(о и=! оо (21) Обозначим 1ь„= р„)с, Ро = —,, К1(Ро) = о, Ро = „', .
Тогда ~с решение (21) в обобщенных переменных можно написать так: пОле с непРВРыВИО деистВуюсдими истОчникАми теплА 339 где Ф[ — ", Ро) = К! [Зро — — [ 3 — 5-" —,) — ~ ", ""' ехр( — [серо)1 (26) и является решением задачи без внутреннего источника тепла. Из решения (25) можно получить ряд частных решений. ! г 1. Постоянный источник тепла [Ро ( —, Ро) = Ро, = сопз1]: 0 ( —, Ро) = Ро„.ро + Ф ( —, Ро ). (27) / г 2. Источник тепла — линейная функция координаты [Ро! —, Ро) = [Д =Ро,(1 — — ))! е=! г', " н" г [1 — ехр( — [с~Го))+Ф ( — ", Ро).
(28) 3. Источник тепла — параболическая функция координаты [Ро( —, Ро) = Ро, (1 — —,)]: О( —, Ро) = Ро,~ — Ро — ), х и=! х ""!"""!~ [1 — ехр( — р~еРо)1 ) + Ф( —, Ро ) . (29) 4. Источник тепла — экспоненциальная функция координаты [Ро( — ', Ро) = Ро,ехр ( — Ьгсгс)]: (-' )= (~ г ! се-! 2Ь[2ие е ь(2+ Ьа ! 2Ь+ !ее)есп !!„1 е=! х ~""не "~~~ [1 — ехр( — [с'„го))) + Ф( —, Ро). (30) 5. Источник тепла — линейная функция времени [ РоС вЂ”, Ро 1 = = Ро,(1 + РсГРо)]: 0 ( — ', Ро ) = Ро,ро (1 + — РсГ Ро ) + Ф( — ',, Ро ) . (31) б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
