Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Другими словами, число Вгв является модифицированным числом Био для стационарно-периодического состояния. Возвращаясь к формуле (23), можно отметить, что при В1* -ь относительная амплитуда А, равна единице, а М =-- О. г 4 ь 8 !о и н !8 ~8 В л, О,в ол од О ОЛ ОЛ ОЛ О,в ~ Ю ГЛ Са Ьв В* Рис. 7.7. Зависимость амплитуды колебания температуры на поверхности тела от числа В1ь Рнс. 7.8. Распределение относительной температуры, по глубине пластины в данный момент времени Л .= 2 8/лаР = 2 1,' так как Х !I — = 2п.
Следовательно, длина волньп характеризуют аР сная глубину проникновения тепловых волн, прямо пропорциональна На рнс. 7.6 построен график изменения относительной температуры окружающей среды 0, и относительной температуры ограничивающей поверхности тела (Х = 0).
Из рис. 7.6 видно, что амплитуда колебания относительной температуры среды равна 1 и, кроме того, на поверхности тела А, < 1, Если критерий В1 = (Н = ), то А, = 1 (см. соотношение (20)). Сдвиг по фазе между косинусоидами 0, и О„равен М: при В1 =-- этот сдвиг будет равен — [см. соотношение (21)1. Таким 2 образом, температура любой точки тела совершает гармоническое колебание. На рис. 7.7 приведена зависимость А, от В1*, нз которой видно, что при В1* = О А, =- О.
Для любого заданного времени (т = сопз1) распределение температуры по глубине тела происходит по закону косинуса с постепенно затухающей амплитудой А, ехр ( — Х1/ — 1 (рис. 7.8). аР~ Можно найти длину Л тепловой волны как расстояние между точ. ками, находящимися в одинаковой фазе, т. е, отличающимися по фазе на 2еь Из решения (19) с.педует, что длина волны равна 307 о с сс о (сч сс о о о с ,с 'о о ж о с а о о о сс о" ! са о 1 ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ БЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА ди э ж о щ о Ф о Ю к 3 о » б а о.
~ м о о о Глава седьмая 368 корню квадратному из произведения коэффициента 'температуропроводности на период колебания. Из теории колебаний известно, что скорость распространения волны равна длине волны, деленной на период колебания. В нашем случае скорость тепловой волны и (скорость, с которой перемещается какая- либо точка волны) равна (31) 1 (««югагл + Л! — !гаго ) 2 ьг г !ьл ««е1о а л р —,2~ — Ал ехр ( — Р' Ро), 4+Рд! л л л=! (32) где «с В! 5Ь»г — !Рд (33) г 1(В1 — 1) ьЬ»/ ТР<1 +»гТРд с1!»' ! Рд 1 г ЙВ!ьв»Г — сРВ (34) г((В! — 1) ен»г — ьРд+»Г — !Рд св»Г:! Рд) Ал — постоянные, определяемые соотношением (29) з 5 гл. !«1; н сгагь +«„, — гага) 1 \ Гл 4 4 ~л«0 Рл охр ( г Ро) 4 1 Раь л ~ л й« (35) л=! где «,(»«ТРд '1 (36) Л!!— «. (»г«Рд)+ — »гТРд «, (»г~рд) ~ 1 «,(» — !Рд " ) (37) «', (»г — !Рд ) +»г — Рд «,(У вЂ” ТРд)~ 1 В1 А„— постоянные, определяемые соотношением (27) 9 6 гл.
Ч1. т. е. скорость распространения тепловой волны увеличивается с частотой и с повышением коэффициента температуропроводности. На рис. 7.9 приведена зависимость 0 от Ро„«Ро,' для разных значений обобщенного аргумента 1«2»ГРо„' от 0' до 180' при условии в!* = Решения для шара и цилиндра записываются соответственно в общем виде ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ БЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА 399 (Π— 4 Р, В„ехр ( — Р„' го) ил (38) где „— постоянные коэффициенты, определяемые соответственно по соотношениям 9 2, 5, б гл. У[, а коэффициенты Ф! и Л/ ! равны для неограниченной пластины (39) ( 1 у'7Р3 сп! у'!' Рв + — ! Р!!) В! 1 (40) == ) )/ — !РВ сш У' — сРЙ= Рс!) В! для шара 3В! (у7Р4 — !!! у!Рв) !РВ [(В1 — 1) !Ь У'!РВ + У !РВ [ 3 В! (У' — — !Р!! — !!! [/ — !РВ) (4!) (42) — !РВ [(В! — 1) !Ь У вЂ” !РВ + )/ — !РА[ для неограниченного цилиндра 2!! (у7Р!1) !,(1/!РА) + )/!и/, (Упч)11/и В! Л/ 21! (У вЂ” ТР<1) (43) (44) у" — и 1,()/ — и)+ у' иг,()/ — Рв)~ 1 В! Для периодически стационарного состояния средняя температура будет периодической функцией времени.
Пользуясь аналогичными преобразованиями, будем иметь О = (~,Л/,)' ( —.— М), (45) где М = агс!и!' У! + 'У вЂ” ! (46) Отсюда получаем ЛЯ = оП (Л/!Л! !) ' ~сох~ — М) — сов( — — М)~ = = 2СТ!" (Л!Л' !)/ зйп яч(чз — т!) Я!и [М вЂ” яч(сз+с!)1 (47)' Определение удельного расхода тепла.
Удельный расход тепла за любой промежуток времени Лс = с, — ч, находим по обычной формуле Л!).= сТ [б(с,) — 8(,)1 т.. Средняя температура по объему равна Глава седьмая Таким образом, удельный расход тепла изменяется во времени по закону простого гармонического колебания с тем же периодом, что и период колебания температуры среды, но со сдвигом по фазе. Из соотношения (47) следует, что количество тепла, израсходован- 1 1 нее в продолжение периода колебания (та †, = Р = — ~, равно нулю. ч ~' Рассмотрим расход тепла за промежуток времени Лт, равный полупериоду ах= се — т, =- — Р 1 1 2 2ч Для этого промежутка времени з(п пч(,— т,) = — 1.
Начало отсчета выбираем так, чтобы величина з1п (М вЂ” пч(та+та)1 была равна единице, т.е. (48) Тогда расход тепла за полупериод Л т = 'Iа ч будет равен ЛД, = 2с7 Т (М;У,)и . (49) Величина (У;Ж. з)и есть функция критереев Рд и В1, т. е. зависит от коэффициента теплообмена а, частоты оз и теплофизических характеристик (а, Х, 7). Сделаем анализ формулы (49) для случая неограниченной пластины (стеики) при В1 -ь, В этом случае температура поверхностей стенки изменяется по закону гармонического колебания Тп (т) — 7; =- 7'щ соз ыт. (50) Если стенка обладает большой толщиной или изменения температуры происходят очень быстро, то колебания температуры, которые распространяются в толщу стены от обеих поверхностей, должны полностью затухнуть, не дойдя до середины (см.
рис. 7.10, а). Тогда каждая из Рис 7 10 Проникновение температурных волн в толщу стены а — при значительной толщине, б — прн средней толщине обеих половин стенки ведет себя как тело неограниченной толщины (полупространство). Таким образом, пластина большой толщины представляет один из предельных случаев.
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ БЕЗ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА В противоположном случае (очень тонкой стенки или чрезвычайно медленных изменений температуры) можно считать, что вся толща стенки участвует в температурных колебаниях поверхности без уменьшения амплитуды и без отставания во времени. В этих условиях температура по всей толще стенки одинакова (не зависит от х), т. е. Т„= Т„. Тогда количество аккумулированного тепла в течение полу- периода Лт -= т,— т, единицей 0,9 о,т 0,2 О,1 0 2 4 6 8 1О 12 14 18 18 20 Ра Р ис .
7. 1 1 . Зависимость коэффициента акку- м у ля ции тепла от критерия П редводителе. ва при симметричном нагревании стены ко- нечной толщины объема стенки будет равно . ° Т а 1 Р41 = 2с,Т У вЂ” — ~ (55) где 1 толщина стенки (1=2)т). (Л4ч',)2н о-=- су ) (То+Тмсоз012 — Та)дт - 2Т вт. (5!) 1 Это соотношение (51) аналогично элементарной калориметрической формуле ЛЯ, = сТЛТ при нагревании тела на ЛТ. В нашем случае ЛТ=2Т„. Следовательно, формула (51) определяет количество тепла, воспринимаемого единицей объема стенки, при равномерном нагревании ее от Т,— Т до Т,+Т„.
Между этими предельными случаями — очень толстой н очень тонкой стенками — лежат все действительные ограждающие конструкции (стены). Постепенно уменьшая толщину стенки, можно прийти к такому случаю, когда колебания, распространяющиеся с обеих сторон, соприкоснутся в середине стенки и начнут проникать друг в друга. Мгновенное распределение температуры для этого случая приведено на рис. 7.10, б, а решение задачи рассмотрено выше.
Согласно формуле (49), расход тепла за полупвриод будет равен ЛЯ, .=- 2в.1Т К», ~ (52) где К» — некоторый коэффициент, равный К» =- (14~ »Рб с112)2'1Р41 ) (р — 1Р41 с(Ь )/ — 1ирс()1 м . (53) Формула (52) отличается от формулы (51) коэффициентом К», он показывает, какая доля тепла аккумулируется стенкой толщиной 2)с по сравнению с бесконечно тонкой стенкой (2)т — РО), т. е. (Л42 1 ЛОР (54) тал.
0 Поэтому коэффициент К» называется коэффициентом изпользоваиня тепла. Коэффициент К» зависит от Р41 (см. табл. 7.4). из рис. 7.11 видно, что при Рд = О коэффициент Кв = 1 (случай бесконечно тонкой стенки), прн Рс( -» коэффициент К» = О. Представляет интерес анализ формулы для потери тепла бесконечно толстой стенкой (полупространство).
При больших значениях чисел Рс((212-ь ) коэффициент исполтзования тепла К, стремится к величине 1!в 32'Рй. Следовательно, формула (52) примет вид 312 Глава седьмая Таблица 7.4 Завнонмость позффнцнентв использования теплв Кч от числа Рб кэ ва 0,0 0,5 1 2 3 1,00 0,96 0,92 0,79 0,66 0,55 0,48 0,40 0,32 0,260 0,225 0,180 0,150 О, 135 О.! 20 0.105 0,096 0,00 4 5 7 10 60 80 !00 15 20 30 40 50 Для полупространства в качестве характеристики аккумуляции тепла рассчитываегпся количество тепла, поглощаемое единицей площади поверхности стенки за полупериод, т.
е. (56) (5 = 0,543, а = и!тз, Т =. 293'К). Коэффициент теплоусвоення определяет интенсивность затуханий температурных колебаний в толще стены. Глубина Х„, на которой температурные колебания уменьшаются в и раз по сравнению с колебаниями на поверхности, составляет Х„= )7 21!п п = ЛДп). (58) Соотношение (56) имеет следующий физический смысл: ЛЯ, равно количеству тепла, которое воспринимает слой стенки единицей площади а зl а толщиной ~7 — (величина ~7 — имеет размерность длины) при равномерном его нагревании по всей толщине от — Т до Т . Следовательно„ а — характеризует условную толщину равномерного прогревания однородного полуограниченного тела в стационарно-периодическом - ° Т а состоянии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
