Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 36
Текст из файла (страница 36)
(46) ГРАНИЧНОЕ ОгСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 213 Тогда имеем 2 Р х — Ьц соз рп — с(х = о 2ип нл Ь, !вл Я 2 !' Х х 2 (Оц — Оп)яп Рл / 2 2 Л о рл (сл п сп 1 1 Л1 х Ь (х, т) = Х (Ьп 2 (Ьц — Ьп) ( В. — — зД Ап соз (вл л=! ри Х ехр ( — (ь„'г'о), (48) коэффициенты, определяемые из соотноше- где А„ — постоянные ния (30). В заключение данного параграфа приведем конкретный расчет. Требуется опреде.
лить температуру в сеРедине и на поверхности резиновой пластинки толщиной в 6 мм после нагревания в течение 2 мин в термостате, температура которого равна 423'К (!50'С). Начальная температура пластинки 293'К (20*С). Теплофизические коэффициенты резины принимаем равными Л = 0,245 егл/м.град, с= 1,51.10в дж/кг град, 1 =!!00 кг/мв, а =!4,7 1О-в м'/сек. Коэффициент тепло- обмена принимаем равным и = 33,0 дж/мв град. Найдем предварительно расчетные величины. Число Фурье равно а с 14 7.!о-в.2.60 Ро — — 1,96, 910' так как /7 = — 3 мм = 0,003 м. Критерий Био равен л /7 33,0 В1 = — =, .0,003 = 0,4. Л 0,245 Так как Ео = 1,96, т. е, число Ро больше единицы, то можно ограничиться одним первым членом ряда решения (29), т. е.
Т(х, ) — Т х с э О = Т' Т = 1 — А! соз (вв й ехр ( — !с! Ео). с в Тогда из табл. 6.1 и 6.2 находим: Н! = 0,5932 = 0,593, А! = 1,0581. Таким образом, имеем Оп = 1 — 1,058 соз 0,593 е ' ' = 1 — 0,440 = 0,560. Проверяем полученное значение по номограмме рнс. 6.6. Для Ео = 1,96 и В!=0,4 по номограмме находим Оп = 0,56. Относительная избыточная температура в середине пластины равна Оц — — 1 — 1,058 е ' ' = 1 — 0,529 = 0,471. По номограмме рис.
6.10 находим для Ео = 1,96, В1 = 0,4, Оц = 0,47 Таким образом, имеем Тп = 293 + 130 Оп =- 293 + 130.0,56 = 365,8 'К (92,8 'С); Тц = 293 + !30 Оц = 293 + 61,2 = 354,2 К (81,2 С). Заменим — с(я В через В! согласно характеристическому уравнению; 1 п тогда после необходимых преобразований решение примет вид Глава шестая 214 Найдем удельный расход тепла. Для этого определим среднюю температуру пластины Т (т). Имеем 2 Т (т) — Те — И! НΠ— О,ббэ = 1 — Все ' = 1 — 0,997 е ' = 1 — 0,498 =-0,502 = 0,5. Т,— Т, Постоянную Вх определяем из табл. 6.4. Следовательно, Т = 293 + 130 0,5 = 358 'К (85 'С).
Удельный расход тепла будет равен Ь Яс = с т 1 Т (с) — Тэ] =- 1,51 1оа 1100 (358 — 293) = 108.10б дж'ма = 108 дж/сма. Такое количество тепла было затрачено на нагревание 1 сма пластины в течение 2 мин. В заключение этого параграфа рассмотрим несимметричный нагрев неограниченной пластины при краевых условиях (49) (50) (51) Тс (х, з) —— Те (҄— Т„) (сй 1l — ' х + В~ 1/ а зй 1I — к) а Решение (55) есть отношение двух обобщенных полиномов, причем у(з) не содержит постоянной, т. е.
условия теоремы разложения соблюдены. Найдем корни функции 4 (з), для чего приравняем ее нулю: з ~(1 + ф соя с ф~ — Я + ( — ~ + + Н, 1I — ) —. ейп с ф — Й~ = О. (56) где Н, = а,%, Н, = аа!Л. Применим преобразование Лапласа относительно т. Решение дифференциального уравнения (1) для изображения можно написать так: Т„(х, з) — -Т' = А с)т 1I — ' х+ Вз)т 1l — ' х. (52) з г а т а Граничные условия (50), (51) для изображения будут иметь вид Те) — Тс (О,з) + Н„~те(О, 3) — — 1 = О, (53) Т,) Тьф, в) + На ~Тс(Р, з) — — ~=0.
(54) Постоянные А и В в решении (52) определим из граничных условий (53), (54). Полученные значения А н В подставим в (52), тогда будем иметь ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТБЕГО РОДА сч о о О Ф х $ х о о о х Ф х а. Ф Ф х Ф 1 о х х и'о х х х Ф а, ю о ЯР 3 $ д О О х х в х о ох х х Ф х х ~.
Ф о до х о х х Ю хо а Ф ФФ а ю ха' О о х ЗО д Д х а, Ф х х $ х о о х 3 ю о Ю х о х Ф Ю Ю Ю о Ю 0 х о а о х о х Ф С0 о а Ю Ю Глава шестая 216 Отсюда получаем: 1) в = О, 2) бесчисленное множество корней в„, опре- деляемых из характеристического уравнения с'ЯР =(В1 — — "') (1+ В") (57) где 1 1т' — тг' = (х, В1, =- Н,К В1, = НД.
Точки пересечения котанген- Г а в, ),7 в, 1 СОИЛЫ ух = С1К(х С ГИПЕрбОЛОЙ ВИда у, =- ( —. — — ) ( (1 + —. В 12 в,! дают корни Ря уравнения (57), число их бесконечно велико. Они попарно равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку. а Ря 2 Так как з„= — „, то для определения в„нужно рассмотреть только положительные значения корней (х„. Применим теорему разложения для случая простых корней, находим х 1+В1— 1 ~, Ая (сов и„-"-+ я=! Т(х, ) — Т (""' ) з)п Р— ) ехр (— я Т,— Т, + В|т Ря Р„ро), (58) 7 (тг, х) = 7в — — сопз1, (60) а на противоположной поверхности пластины происходит теплообмен по закону Ньютона — + Н (7, — Т (О, ~)) = О.
дТ (О, х) дх $4. ОГРАНИЧЕННЫЙ СТЕРЖЕНЬ БЕЗ ТЕПЛОВОЙ ИЗОЛЯЦИИ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ Постановка задачи. Имеется ограниченный стержень длиной 2 )с. Стержень находится в тепловом равновесии с окружающей средой при температуре Т, т е. температура стержня везде одинакова и равна температуре окружающей среды. В начальный момент времени концы стержня приводятся в соприкосновение со средой, температура которой равна Т, ) Т,. С боковой поверхности стержня происходит где А„— начальная тепловая амплитуда, равная А = ((1 +- ") " Ря Ря+Ря + ' гйпр ~ (59) В12/ 22(пня Ря Удельный расход тепла находится обычным методом.
Если положить В1, = В1„то характеристическое уравнение (57) превращается в уравнение (17). Тогда из решения (15) получаем решение (58), если положить 7, (х) равной Т, = сопз(. На рис. 6.16 приведены графики 0 = 7(ро) для случая, когда температура на одной поверхности пластины (х = )с) поддерживается постоянной и равной начальной температуре ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 217 теплоотдача в окружающую среду с температурой'Т, (отсутствие тепловой изоляции боковой поверхности). Требуется найти распределение температуры по длине стержня в любой момент времени, а также расход тепла в предположении, что перепад температуры происходит только в направлении длины стержня. Теплообмен стержня с окружающей средой происходит по закону Ньютона.
Наша задача аналогична задаче 2 2, только стержень имеет конечную длину. Поместим начало координат в центре стержня (рис. 6.17). Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности иа основании расчетов, аналогичных расчетам 2 2, запишется в ви- де т, Рис. б,17. Распределение температуры в ограниченном стержне без тепловой изоляции боковой поверхяости дТ (х, т) д Т (х,т) аз дт дх' ста (г ) О; — )с < х < + 1х), к периметру (его где Й вЂ” отношение площади сечения стержня сечения. Для общности задачи принимаем коэффициент боковой поверхности не равным коэффициенту концов стержня (и, + и,), как это вытекает из процесса нагревания. Краевые условия можно написать так; теплообмена и, для теплообмена а, для физических условий Т (х, 0) =- Т, = сопз1; х дт (~ ' + ьа (Т, — Т (И, т)) —.
О, (2) дТ(о, т) 0 дх (4) Решение задачи операционным методом, Если применить преобразование Лапласа к уравнению (1), то будем иметь (см. 2 1) Тс (х, з) — ( — + — )~Тс (х, з) — — ~ = О. Общее решение уравнения (5) следующее: г )д ) —,— '=А а1 —, — „'„*.)-В )1 — '-)- % )6) (5) Глава шестая 218 Граничные условия для изображения: — Тл (Я, з) + Н, ~ — ' — Тл(К з)~ = — О, Г Т Тл(0, з) =О, (7) (8) где Н ая Л Из условия симметрии (8) следует, что В =- О.
Постоянную А находим из условия (7): — ( — + —,"й ) ' А ~Ь ( — ' + —,"„) Я + — АН,с)л( — + — ) К вЂ” =О, Л(в Н,т (,а Лй) б откуда А тс — ТО (9) с11( — + — ) тс + — ( — + — ) еь( — + — ) й Следовательно, решение для изображения будет иметь вид т, Тт (х, з) —— Л тlв (Тс — Те) сй + "т ) Я (а Лй (10) е~сй( — + т ) Тс+ — ( — + — ') еа( — + — т) Л~ Прежде чем перейти к оригиналу, рассмотрим более простую задачу.
Положим Н, =; тогда из граничного условия (3) следует Т(~)с, ) = Т,, (11) т. е. концы стержня с самого начала процесса нагревания принимают температуру среды Т,. Решение для изображения при условии Н, = имеет вид (т,— т) сй + я Тт (х, 3) а Лй е Ф (е) — . (12) 1) з = 0 (нулевой корень) Найдем значение (~'(з) при Лт ф'(з) = сп — + лй ) )с' ( а Ф' (з„) = Г а Лй Здесь Ф (з) и ( (з) — обобщенные полиномы относительно з, что уже неоднократно было доказано; применяя теорему разложения, находим ф(з) = зсЬ ф — + — '1с=О; ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 219 Следовательно, решение упрощенной задачи имеет вид х сь 1/ В!— й л ,)„( — 1)л" н" а Х В! ( Е )' 7 (х, л) — 7„ 7, — 7 — Е с!! ф' В!— й Х соз Рл — ехР ~ — ( 9~ + В! л. ) Ро~, (13) л,й ал где В! =- — критерий Био, Ро = †, — число Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
