Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 34
Текст из файла (страница 34)
!д. (27) Это характеристическое уравнение тождественно уравнению (9); анализ его был сделан выше. Найдем ф'(я) и подставим в него вместо я соответствующее значение а!дл 2 корня яд =— 1г" (я) = ~ с)т ~Г тс + — )/ 511 ~21 Я ) -! + — Ь~ — '" Ь~ — ~+ —. ~~ — ™ Ь' — + 2 — '" ~~ —: выражение в квадратных скобках равно нулю на основании (26). Следовательно, 1 1 .
1 2 1 Ф (Я)лд — 2 Р»5!о!Дд — Рд 51П!5» — Пд — СОЯ Р» =- 1 = — — (!5„5!П 9» + Я!П 9„С!и )5, + )»„СОЯ )»„С1д !5„) лл при я =- яд равенства !пп — (!5» Я!и !5» + 51п !5» соз 15» + 1~» соз !5») 51П Пл 005 ал + Ид 25!пал Кроме того, имеем ')'(0) = 1, Ф(0) = Т, — Тм Ф(я„) = (Тд — Т,) соя р,» —, Окончательно получим сд Т(д, д) — Тд дд 2 ил ид = 1 —, '. '" соярд — ехр( — !5„— 5). (28) Тд — Тд 2 1 !дд + 5!и 1д» 005 Пд д й ( »05) ° л=1 Т(д, л) — Т хд Х 2 О = — — ' — ' = 1 — ~„А соя)д — ехр( — 9» Ро), Т„.— Т, = 2 »=1 (29) где 2МП Пл А л + 51П !Д» 005 !Дл 2 н! (Гд й15 -1- !д 2 (ЗО) = ( — 1)д" пд(в!5 + в! + П2) 'Решение (28) тождественно решению (18). Анализ решения.
Перепишем решение (28) в безразмерных величинах: 198 так как з!и!х„ и соз!х„ можно заменить через В„ и В! из характеристического уравнения. Из решения (29) видно, что относительная избыточная температура 6 есть функция числа Ео, относительной координаты — и критерия В1, )7 так как начальные тепловые амплитуды А„являются однозначными функциями критерия В! (см. формулу (30)): 8=-Ч/х, В1, Го). Численные значения первых шести амплитуд А„приведены в табл. б. 2 с точностью до четырех знаков после запятой.
Таблица 6. 2. 2В1)/ ВР + н~~ Значения постоянных А„=- ( — 1)"+т ип(В!т+ В1+ Нп) в' А, 0 0,001 О, 002 0,004 0,006 0,008 0,0! 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 1,5 2.0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 15,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 80,0 100,0 1,0000 1,0002 1,0004 1,0008 1,0012 1,00!5 1,0020 1,0030 1.0065 1,0099 1,0!ЗО 1,0159 1,0312 1,0450 1,0581 1,0701 1,0813 1,0918 1,10!6 1,1107 1,1192 1,1537 1,1784 1,2102 1,2287 1,2403 1,2478 1,2532 1,2569 1,2598 1,2612 1,2677 1,2699 1,2717 1,2723 1,2727 1,2728 1,2730 1,2731 1,2732 — 0,0000 — 0,0002 — 0,0004 — 0,0008 — 0,0012 — 0,0016 — 0,0020 — 0,0040 — 0,0080 — 0,01!9 — 0,0158 — 0,0!97 — 0,0381 — 0,0555 — 0,0719 — 0,0873 — 0,1025 — 0,1154 — 0,1282 — 0,1403 — 0,1517 — 0,2013 — 0,2367 — 0,2881 — 0,3215 — 0,3442 — 0,3604 — 0,3722 — 0,3812 — 0,3880 — 0,3934 — 0,4084 — 0,4147 — 0,4198 — 0,42!7 — 0,4227 — 0,4232 — 0,4237 — 0,4239 — 0,4244 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0004 0,0005 0,0010 0,0020 0,0030 0,0040 0,0050 О,О!00 0,0148 0,0196 0,0243 0,0289 0,0335 0,0379 0,0423 0,0466 0,0667 0,0848 0,1!54 0,1396 0,1588 О, 1740 0,1861 0,1959 0,2039 0,2104 0,2320 0,2394 0,2472 0,2502 0,25!7 0,2526 0,2535 0,2539 0,2546 — 0,0000 — 0,0000 — 0,0000 — 0.0001 — 0,0001 — 0,0002 — 0,0002 — 0,0004 — 0,0009 — 0,00!3 — 0,0018 — 0,0022 — 0,0045 — 0,0067 — 0,0089 — 0,0!!Π— 0,0132 — 0,0153 — 0,0175 — 0,0196 — 0,0217 — 0,03!8 — 0,0414 — 0,0589 — 0,0750 — 0,0876 — 0„099! — 0,1089 — 0,1174 — 0,1246 — О,!309 — 0,1514 — 0,1621 — 0,1718 — 0,1759 — О,!779 — О,!791 — 0,1803 — О,!808 — 0,1819 О, 0000 0,0000 0,0000 0,000! 0,0001 0,000! 0,000! 0,0003 0,0005 0,0007 0,0010 0,0013 0,0025 0,0038 0,0050 0,0063 0,0075 0,0087 0,0100 0,01!2 0,0124 0,0184 0,0241 0,0351 0,0451 0,0543 0,0626 0,0701 0,0768 0,0828 0,088! О,!072 О,!182 0,1291 0,1340 0,1365 0,1379 0,1394 0,1405 0,14!5 — 0,0000 — 0,0000 — 0,0000 — 0,0000 — 0,0000 — 0,000! — 0,000! — 0,0002 — 0,0003 — 0,0004 — 0,0006 — 0,0008 — 0,0016 — 0,0024 — 0,0032 — 0,0040 — 0,0048 — 0,0056 — 0,0064 — 0 л3072 — 0,0080 — 0,0119 — 0,0157 — 0,023! — 0,0300 — 0,0366 — 0,0427 — 0,0483 — 0,0535 — 0,0583 — 0,0676 — 0,0795 — 0,0901 — 0,10!5 — 0,1069 — О,!098 — 0,1115 — О, 1!32 — 0,1141 — 0,1157 о о с Я а ,а О д О о о Ф Ю Ю О.
й о сэ а 200 Глава шестая о О о 'У ~ ас Ы ко э '~' О;;, Э х Зо чо 3 ао ,~ са М .О н 3 й ) а а Ю о ж а о т л О М Ж :ж о а к а О. оо о аа 201 о сГ о Ю о.8 > Ю ьО о.— Ф й 6" о у о Д о х х о ,а Ю $ х и о х х о х х о о о о о х о. Ю о С> со о Ю и х а ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА о о.~ х х „о х 1 хЧ х Р3 3 х И о х о1 хх хо о о а 1 о п х Е о о э о хо о х о о Ч хо о. о Ч Глава шестая 204 ь ь ж ь ь Ф о 3 ь $" ь. Ю 2 $ :ь ь и и' Ю 1 2 ь ь О Ю 1- ь ь $- ь ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 205 Для практических инженерных расчетов на рис. 6.6 — 6. 11 приведены номограммы, взятые из работы [114), для определения температуры на поверхности пластины б„ и в центре пластины й„ при заданных значениях Ро и В!.
Если критерий В1 стремится к бесконечности, то температура поверхности пластины сразу становится равной температуре окружающей среды, так как из граничного условия (3) следует: Т,— ТЯ, х) =!!ш~ —. ' ~ = О, Г Е дТ(Е, х) Ч ) Н) дх (31) а характеристические числа (х„ будут равны (х„= (2п — 1) —, 2 т.
е. (х„не будут зависеть от толщины пластины. Из формулы (30) сле- дует, что при В!-~- А 2ып и„ х (32) так как сов(2п — 1) — = О. Тогда решение (29) примет вид 2 4 (2п — !) хх Г (2п — !)~п' 8 = 1 — ~~~ ~( — 1)"" соз ехр ~ — Ро~. (2п — 1) и 2Е 4 х =- ! (33) 2 ш А, =- 1пп о мп р.~ 1 + с051ч гх Для малых значений р, можно !д (х, заменить через рп тогда из характеристического уравнения получим: р.~ =В!.
2 Это решение тождественно решению (16) 2 3 гл. 111, только необходимо положить 0„„= 1 — 0„,„. дз В этом случае интенсивность нагревания — будет обратно продх порциональна второй степени характерного размера пластины и прямо пропорциональна коэффициенту температуропроводности, так как пз и \' х — — р~ А„соз (хх — ехр ( — (х~ Ро). 1 Следовательно, интенсивность нагревания пластины в данной точке будет определяться теплоинерционными свойствами тела и зависеть только от скорости перемещения тепла внутри пластины (в н у т р е нияя задача). Если критерий Био мал (В! ( 0,1), то все члены ряда ничтожно малы по сравнению с первым, так как при н„-+ (и — 1)п А„-» 0 за исключением амплитуды А„которая равна 206 Рис. 6.12.
Распределение температуры в неограниченной пластине для различных значений критерия Био: а — внутренняя задача (В! е ), а — вве!зная задача (З! 0), з — краевая за- дача (О С В! М аз) Следовательно, решение (29) примет вид 0 = 1 — соз ) В! — "ехр( — В!Го). (34) В этом случае интенсивность нагревания (( () з .; —. д — Ге" — =- — — соз ~р~ В! — — е ((т ст(1 И (35) прямо пропорциональна коэффициенту теплообмена и обратно пропорциональна первой степени характерного размера пластины. Таким образом, скорость нагревания определяется скоростью переноса тепла из окружающей среды к поверхности пластины (внешняя задача).
Если же критерий В! больше 0,1 и меньше 100 (0,1 < В! < 100), то р„есть функция В1, т. е. зависит от толщины пластины. В этом случае интенсивность нагревания обратно пропорциональна и-й степени толщины пластины (1 < п < 2) и определяется как скоростью переноса тепла внутри материала, так и скоростью переноса тепла через пограничный слой (к р а е в а я з а д а ч а).
Все эти три случая изображены на рис. 6.12 в виде кривых распределения температуры в различные моменты времени. Из рнс. 6.12 видно, что в первом случае температура на поверхности пластины равна температуре среды, начиная с самого начала нагревания. Температурный перепад между центральным слоем и поверхностью пластины наибольший.
Во втором случае температура поверхности близка к температуре центрального слоя, температурный перепад между ними 'наименьший. Последний случай занимает промежуточное значение между двумя первыми. Если продолжить кривые распределения температуры за поверхность пластины по направлению касательных, то они все пересекаются в одной точке, расположенной на линии Тс = сопз1 (см. Э 6 гл. 1). 1 Таким образом, если толщину пластины увеличить на 2 — (на Н 1 — с обеих сторон) и принять в этом фиктивном слое распределение 1,о 1,4 од О,4 1,о 8,О !г.о 4,0 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
