Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 31
Текст из файла (страница 31)
(16) о Для определения С(р) воспользуемся условием (9). Из выражения (16) при а-а-0 получим Т„(р, О) = С(р). Тн (Р 0) = ) Т(г, О) тТо(рг) тат = ) Г (г) гУо(рг) й'. (17) о о Следовательно, С(р) = ~ ~(г) т,(о (рт)!(г. (18) Подставим (18) в (16), тогда получим Т (р,а) = — ехр( — араа) ~~~(г)г,То(рг)г(г+Я вЂ” о"о(рй) ~д(Ь) Х о о Х ехр(ар'Ь) о(Ь) .
(19) Затем перейдем от изображения функции Тп (р, а) к ее оригиналу Т(г, а) при помощи формулы (13). Предварительно найдем Ти (О, а): Т„(О, ) = 1У(г)га(г + — ', КЧ(Ь)г)Ь. о о Подставим значения Т„(0, а) и Ти(р, а) в формулу (13) (20) Я аа Т(г, а) = —,~~(г)го(г + — ~ д(Ь) Ю + Ч ', ' " ехр( — ар~а) Х Йааа ао (РаЮ о о а=! Х вЂ” 1Г(г)тТо(р г)а(г+ — о' ' Р" ' " ехр( — ар' ) Х !аа ~ а а о а=! Х вЂ” ~ а (Ь) ехр (ар' Ь) о( Ь . о (21) Вводя обозначения 1а„= р„)аа, Ро = аа!Щ получим решение задачи в виде С другой стороны, согласно формуле (12) начальное условие (9) можно написать так: ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ВТОРОГО РОДА 177 где Ар — — Т„(р, з) /~ М'(р, т) тт(т.
Применим преобразование (4) к правой части дифференциального уравнения теплопроводности с учетом условий (2) и (3): Я» — » д» (») М(р, НД вЂ” — ' а, (х) М (р, ]т,) + р' ~ ГТ (т, т) М (р, т) Ь =-. Я» = Р(р, )+)РТ„(р, ), где через Р(р, ») обозначена сумма двух первых слагаемых. Согласно формуле (8) дифференциальное уравнение теплопроводности преобразуется в линейное уравнение первой степени: «т„(р, =) «, ' =а[Р(р, т)+р'Тс(р ~)] (9) Начальное условие для этого уравнения примет вид Т (р, О) = Н [Г (т)] = [ т)'(т) М(р, т) й'.
я, Уравнение (9) имеет решение Т, (р, т) = ехр(ар»») (а ~ Р(р, О)сй) + Н [)'(т)] ~ . о Переходим от изображения Тп(р, ») к оригиналу по формуле (7) М(р, т) Т(т, т) = '~ ' а ' — ехр(ар'т) Н[Т" (т)] + , о (М(рт) т «-.[»(», Ы- ( — ») о (10) (12) Для решения этой задачи воспользуемся конечным интегральным преобразованием Ханкеля Н [Т(т, з)] = Тн (р, з) = (Т(т, т)М(р, т)т«т, где ядро преобразования М(р, т) имеет вид М(Р ) = — ~7»(Р ) ' Р ' — )'о( ) ~ где у',(г) и )'о(г) — функции Бесселя второго рода первого и нулевого порядков. Параметр р определяется из характеристического уравнения 7.(Ф ) ~' (РН») =у1(РЮШ»). (6) Формулой обращения для этого преобразования служит разложение функции Т(т, з) в ряд по ортогональным функциям ядра преобразования Т(т, з) = '«~ АрМ(р, т), (7) р ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ВТОРОГО РОДА 179 Окончательно будем иметь Г 2 / ~ а / Т(г,л) — Т = — й, ~2Ро — — ~1 — 2 — ) — — ~!п — + 4 ~ л А'а1 ЯЬ Ч лл(нл о ) л(ил) ~ (.
) (. ) (. ) Х .Т,(пл — ')~ ехр( — и„'Ро)), (20) где Ро = а-.Я'„Р„=- р„К, — корни характеристического уравнения (6) которое можно написать так Т1(Р ) 1 (Р) 11(Р ) Т (г) (21) Решение (20) симметрично относительно граничных условий. При !с,-э 0 из формулы (20) получается решение для неограниченного сплошного цилиндра. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕЛвЕГО РОДА Данная глава является некоторым обобщением и развитием гл.
!Ч, поскольку рассматриваемые здесь задачи явля1Отся более общими н пз иих как частный случай вытекают задачи гл. (Ъ', для чего достаточно положить В! = На отдельных конкретных задачах гл. 1У можно было установить, что операционный метод имеет большие преимущества по сравнению с классическим методом разделения переменных при условии равномерного начального распределения. Если в начальный момент времени температура тела зависит от его координат (неравномерное начальное распределение), то классический метод или метод интегральных преобразований Фурье и Хаикеля быстрее приводит к результату, поэтому для решения таких задач будем пользоваться этими методами.
Операционный метод имеет преимущество в том отношении, что позволяет получить эффективное решение для малых значений го, в котором часто отсутствуют специальные функции. Для рационализации расчетов введем единую систему обозначений для всех задач, дадим значения характеристических чисел, а также табулируем начальные тепловые амплитуды А„и коэффициенты В„, входящие в соотношение для средней температуры. При наличии таких таблиц и графиков конкретный расчет может быть сделан быстро 'и с достаточной стспсиью точности.
В данной главе будут рассмотрены задачи на нагревание, поскольку в следующей главе эти задачи получают свое дальнейшее развитие (температура среды изменяется от времени). Покажем, что задачи на нагревание всегда можно свести к задачам на охлаждение. Пусть имеется тело с заданным начальным распределением температуры в виде некоторой функции Г(х, у, г, О). В начальный момент времени тело помещается в среду с постоянной температурой Т,) Т(х, у, г, О). Теплообмен между поверхностью тела и окружающей средой происходит по закону Ньютона. Это отображает в первом приближении сложный лучистый и конвективный теплообмен, в котором доля лучистого потока тепла является преобладающей.
При этом разность температур ЬТ(ЬТ = Т, — Т„) должна быть достаточно малой. Таким 181 образом, имеем задачу на нагревание тела при наличии граничных условий третьего рода: ац»Т дТ д~ (1) (2) Т(х, у, г, О) = Г(х, у, г), — Ь Т)«+ О (Т« — Т») = 0 (Т, > Т,), (3) где индекс «п» обозначает поверхность тела. Сделаем замену переменной Т,— Т =Ь.
Тогда имеем ГдЗ вЂ” = ад» Ь, дт Ь (х, у, г, О) = Т, — Т (х, у, г, О) =- Т, — Г (х, у, г) =: <р (х, у, г), (2') (р Ь)„+ Н Ь„= 0, (3') т. е. получаем задачу на охлаждение тела в среде с температурой, равной нулю (Ь„. = О), когда начальная температура тела задана в виде некоторой функции »(х, у, г). Если начальная температура тела одинакова во всех еготочках, т. е. Г" (х, у, г) = Т, = сопз1, то все полученные решения для нагревания тела в виде зависимостей относительной температуры 8 от критерия Био, числа Фурье и относительных координат будут справедливы и для охлаждения тела, только под величиной 8 надо понимать: при нагревании 8 = — ' = Ф /Ео, В1,— (4) при охлаждении =Ф/Ео, В1, ", У, 70 — Тс ~, и» ' л» я»/ Последнюю величину также можно написать в виде 8..— т — т т — т, (б) — 1 т,— т, т,— т, 5 «.
ПОЛУОГРАНИЧЕННОЕ ГЕНО Постановка задачи. Дан полуограниченный стержень, боковая поверхность которого имеет тепловую изоляцию. Температура стержня везде одинакова и равна Т, (начальная температура). В начальный момент времени конец его помещен в среду с постоянной температурой Т,) Т,. Теплообмен между окружающей средой и неизолированным Глава шестая 182 Рис. 6.1. кривые рвеирепе- концом стержня происходит по яеиии теииервтУРЫ и иолУ закону Ньютона (граничное условие третьего рода). Требуется найти ти распределение температуры по длине стержня в любой момент времени и удельный тепловой поток через его конец (рис. 6.1). Так как потери тепла с боковой поверхности стержня отсутствуют, то его можно считать за полуограниченное тело, распространение тепла в котором происходит только в одном направлении. Таким образом, нахождение температурного поля связано с решением дифференциального уравнения т, при начальном условии Т (х, 0) = Т, = сопз1 (2) и граничных условиях Х + а (Т, — Т (О, е)) — О, Т; (х, з) — — Т, (х, з) + ' = 0 .
(5) Граничные условия для изображения будут следующие: Т; (О, з) + Н ~ — ' — Т, (О, з)~ = О, Т, '(, з) =- О, (6) так как Г. (Т(0, е)) = Т, (О, з), Е (Т,) = — — ' в условии (6) Н = — — относительный коэффициент теплообмена. 1 Коэффициент теплообмеиа а считается постоянным.
Решение задачи. Задачу будем решать операционным методом, так как при равномерном начальном распределении температуры операционный метод быстрее приведет к результату. Если применить преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению (1), как это неоднократно было сделано, то уравнение для изображения с учетом начального условия будет иметь вид ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА Решение уравнения (5) в общем виде можно написать так: Т,(х,з) — — '=А,ехр(у ' х)+Вдехр( 1,/ ' х). 183 (8) Из условия (7) протяженности следует Аг =- 0; действительно, из соотношения 0 = 1/ — ' А,ехр(+ ) — 1/ — 'В,ехр( — ) г а 1 а следует, что А, = О.
Физически это означает, что температура на бесконечно большом расстоянии от конца стержня не изменяется за все время процесса теплообмена, т. е. Т-э Т, при х — « Постоянную В, находим из граничного условия (6): — ~/ — ' В, + Н [ Т' — Т вЂ” В,~ = О, откуда (Т вЂ” Т ) (1+ Н'~l —:) Тогда решение для изображения примет вид а,) (9) (10) 1(ля нахождения оригинала воспользуемся таблицей изображений, из которой находим [.( - —,'«-) = ег1с — ехр (С(г + Сзч) ег1с /=+ С )/к) .
2 У~ (2Ус Следовательно, решение нашей задачи можно написать так: Т(х, ) — Т Т вЂ” Т, х нк+ н*а. г 2 = ег1с — е ег1с( + Н)«ач ). 2 Увч (2 Увч О = ег1с 2 Уа~ (12) Анализ решения. Если коэффициент теплообмена и очень велик, то Н-+ . Тогда из граничного условия (3) следует: Т(0, ч) = Т, = =сопз1, т. е. температура конца стержня сразу становится равной температуре окружающей среды.
В этом случае наша задача аналогична задаче 22 гл. 1Ч. Функция ег1сг быстро уменьшается с увеличением г и при г> 2,8 практически равна нулю. Поэтому при Н-ь второй член решения (11) стремится к нулю (что можно показать, раскрыв неопределенность по правилу Лопиталя), и решение примет вид 134 Глава шеегал Решение (12) тождественно решению задачи в 02 гл. 1Ч на охлаждение полуограниченного стержня, только под 0 в случае охлаждения т,— т надо понимать 0 =-...
где Т,> Т,. т — т, ' Относительная температура конца стержня (13) При больших значениях времени пользоваться решением (13) затруднительно из-за резкого увеличения экспоненциальной функции. Поэтому найдем эффективное решение для больших значений времени. В приложении показано, что и1 1 ! 1 1 Е е ег1си ==( — — —,+ — —...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
