Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 27
Текст из файла (страница 27)
4.2 находим, что для Ро = 0,42 относительная температура в середине неограниченной пластины равна Вцл —— 0,45, а по табл. 4.6 температура всей осевой линии неограниченного цилиндра для Ро = 0,15 равна В„„= 0,67. Следовательно, безразмерная температура конечного цилиндра равна Вц — — Вцц Вцц —— 0,45.0,67 =0,30, Тц = Тс + Вц (Те Тс) = — 273+ 300 0,30 = 363'К (90'С) . откуда й 9. ЗАДАЧИ НА НАГРЕВАНИЕ Б вышеприведенных задачах рассматривалось охлаждение тела с некоторой начальной температурой при условии, что поверхность тела в начальный момент времени принимает некоторую постоянную температуру, которая поддерживается постоянной на протяжении всего процесса охлаждения (Тл = Т, = сопз().
Задачу на нагревание тела с некоторой заданной начальной температурой Т„когда температура поверхности в начальный момент времени мгновенно становится постоянной и равной Т,(Т, >Т,), можно свести к задаче на охлаждение путем простой заменем переменной. где В (г, т) и В (г, т) — соответственно решения задачи для неограниченного цилиндра и неограниченной пластины. 146 Имеем задачу на охлаждение — = ар'Т; Т(0) =- Т„Т„=- Т, (Т„< Т,).
Сделаем замену переменной Ь = Т, — Т. Тогда будем иметь — = а1~'Ь, Ь (0) = О, Ь„= Т вЂ” Т, = Ь,. дз Получаем задачу на нагревание тела, когда начальная температура Ь(0) равна нулю, а температура поверхности тела равна Ь,(0) = =Т,— Т, = сопз1. Следовательно, все выведенные формулы будут справедливы и для задач на нагревание тела, только под Ь надо понимать Ь = „', при охлаждении (Т, > Т,); 7,— 7, Ь =- ' = 1 — ' — при нагревании (Т,) Т,).
7,— 7 7 — 7я 7,— 7, 7,— 7, Таким образом, при переходе к задаче на нагреванне в решении для охлаждения тела безразмерную величину Ь надо заменить на 7 — 7, или (1 — ' ). Этот прием применялся в расчете за- 7.— 7, 7з 7а дачи Ь" 2. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ВТОРОГО РОДА Процесс передачи тепла к нагреваемому телу в печах с высокой температурой в основном происходит излучением; конвективной передачей в большинстве случаев можно пренебречь. Тепловой поток, получаемый поверхностью тела от нагретых стен и свода печи, прямо пропорционален разности четвертых степеней абсолютных температур поверхностей, участвующих в теплообмене: ,)„= 'с(т„'+ т„')), (1) где з — постоянная Стефана — Больцмана, С вЂ” постоянный коэффициент, зависящий от способности поверхности тела поглощать лучистую энергию и от взаимного расположения облучаемого и излучающего тел.
Индекс «п» обозначает, что данная величина соответствует поверхности тела, а индекс «и» — поверхности излучения. Теплообмен с нагретыми газами происходит по видоизмененному закону, в котором величины Т„ и Т„ имеют множители соответствен- 4, 4 но «„и «„ называемые степенями черноты излучающих газов при температуре газа и при температуре тела. Обычно значения «„и «, близки между собой, поэтому можно взять среднее значение е и вынести его за скобку. Тогда получим обычное выражение закона теплообмена излучением. Таким образом, поток тепла, подведенный к поверхности тела, является некоторой функцией времени Г(«), подлежащей определению Ч.
= Г(т). (2) В некоторых частных случаях граничное условие (2) может быть упрощено. В теории теплообмена в печах доказывается, что все источники излучения могут быть заменены одним, имеющим некоторую среднюю температуру, называемую температурой печи Т,. Если температура поверхности тела (Т,) значительно меньше температуры печи (Т,), то вторым членом в скобках можно пренебречь, и получим постоянный тепловой поток, воспринимаемый поверхностью тела: (3) Глава пятая 148 Данное граничное условие является частным (простейшим) случаем граничного условия второго рода (2), когда тепловой поток является величиттой постоянной. Решение задач с переменным тепловым потоком с)„= Г(т) можно получить из соответствующих решений для постоянного теплового потока при помощи теоремы Дюамеля или методом интегральных преобразований Фурье и Ханкеля. 5 т.
ПОЛУОГ)тАНИЧЕННОЕ ТЕЛО' Имеем дТ(х,"с) д'Т(х, с) ( )0 ( ( ( ). дс дх' Т (х, 0) = Тв = соп51; ) дТ(о,с) + О, Сссс = (2) (з) (4) Решение задачи классическим методом. Данную задачу можно свести к задаче теплопроводности с граничным условием первого рода, рассмотренной в гл. И, З 2. Вместо переменной Т введем новую переменную с) (плотность теплового потока), определяемую соотношением с) (х, х) =- — Л дТ (х, с) дх Продифференцируем уравнение (1) по х: д [дТ(х,с) ~ д [ дсТ(х,х)1 Тогда дифференциальное уравнение (6) можно написать так: д [дТ(х, с) ~ дс [дТ(х, с) ~ (б) или дв (х, х) дсд (х, с) (7) дс дхс Примером полуограниченного тела может служить длинный стержень, боковая поверхность которого изолирована, при условии, что толщина и ширина стержня незначительны по сравнению с длиной.
В предыдущей главе было показано, что распространение тепла при малых значениях числа Фурье происходит аналогично распространению тепла в полуограниченном теле. Постановка задачи. Дано полуограниченное тело при температуре Т,. Ограничивающая поверхность нагревается постоянным тепловым потоком с), =- сопз(.
Изменение температуры происходит в одном направлении. Найти распределение температуры по данному направлению в любой момент времени. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ВТОРОГО РОДА 149 т. е. получим обычное дифференциальное уравнение для одномерной задачи, только вместо переменной Т здесь стоит переменная и. Начальные и граничные условия для новой переменной имеют вид д(х, 0)=0 (8) (для упрощения расчета полагаем, кроме того, Т, = 0); д(0, ) = Ч, = сопз1; (9) с1(, с) = О. (10) Решение уравнения (7) при условиях (8) — (10) нам известно'> (см.
гл. 1у, 9 2), а именно = ег1с чс 2 ~/ос Чтобы найти Т(х, т), подставим в выражение (5) вместо п(х, т) соответствующее выражение из (11) и проинтегрируем от х до сс Т (х, с) = '1' 1 ег1с с(х = чс)У ат 1ег1с (12) где 1 ег1с и = ') ег1с 1Рс((й' = — е — и ег1с и. ! ис и )/- (13) Решение задачи операционным методом. Решение дифференциального уравнения (1) для изображения Ть(х, з) имеет вид (см. 9 3, гл.
1П): Т 1' " 1'Iст" Т,(х,з) — — '= А,е ' + Все (14) Граничные условия (3) и (4) для изображения можно написать так: лт,'(о, з)+ — '=- о; тс (, я) =О. (15) (! 6) ° сг а чс — ~à — в,+ — „=о, о откуда в = О В гл. 1Ч, 4 2 было дано решение стержня. Задача на нагреаание получается "'(т,— т, )' задачи на охлаждение полуограниченного из задачи на охлаждение путем замены 0 Из условия (16) следует, что А„= О, так как при х-з. оэ температурный градиент стремится к нулю, а температура тела не может быть бесконечно большой (при х-ь со Т(со, т)- Та).
Постоянную В, определяем из граничного условия (15). Имеем Глава пятая 150 Следовательно, решение (14) примет вид т, в у'а 1г Т (. ) о Чв а ь (17) Для нахождения оригинала воспользуемся таблицей изображения, согласно которой — я Tх е ~+ — л 5 = (4я) )п ег1с —. 2 ь, 2 )/с (18) Окончательно будем иметь (19) т, е. получаем решение, тождественное (12). Из приведенного примера видно, что решение операционным методом быстрее приводит к результату. Анализ решения и определение расхода тепла. Введем новый критерий л Ч' ), где Т,— средняя температура нагревательной печи, и цт,-т,) ' назовем его критерием Кирпичева: "— Л(Т, Т,).
(20) Критерий Кирпичева равен отношению плотности потока тепла д, через конец стержня к максимально возможной плотности теплового потока в точке х стержня при условии, что градиент температуры в т,— т„ данной точке максимален и равен х Решение (19) можно переписать так: с в 21' Рох (21) д„= аС(Т~ + Т'„))(Т, + Т„) (Т,— Т„) = а (Т)(Т,— Т„).
(22) Максимальный тепловой поток для заданной Т, будет при Т„= Т,. Таким образом, в этом случае К1 а(Т) х х Л = В1, (23) т. е. критерий Кирпичева равен критерию Био. где Ро = ат/х' — число Фурье. На рис. 5.1 приведены расчетные графики. Даны изменения обобщенной переменной З/К(„Ро, относительного температурного градиента 2х д()!дх1К1„и относительной скорости нагревания 2 $'и Ро„дй/д Рох в зависимости от числа 1/2 )/Ро„.
По этим графикам можно производить приближенные расчеты. Можно дать и другое выражение для критерия К!х. При малых перепадах температуры АТ = Т,— Т„соотношение для лучистого тепло- обмена можно описать законом охлаждения Ньютона: ГРАНИЧИОЕ УСЛОВИЕ ВТОРОГО РОДА 151 о о о ж о Ь о о о о. о о о Р' о о о о м и о о о $" о Ю й Ю й Глава алтая 152 Таким образом, критерий К1„ численно равен отношению внутренс хт него сопротивления ( — ) к внешнему термическому сопротивлению 1 а (Т) — прн замене лучистого теплового потока приближенным выражением закона охлаждения Ньютона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
