Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 25
Текст из файла (страница 25)
»=! Для определения постоянной А„воспользуемся начальным условием (о = О): Г(г) = ~)' А„$'о(й,г) (12) »=! Если функцию Г" (г) можно разложить в ряд, членами которого явля. ются комбинации Бесселевых функций (10), то 'предполагается, что можно почленно интегрировать (12). Умножим левую и правую части (12) на гУо(я„г) и проинтегрируем от )с до )с. Тогда получим и с» Я 1' !Г(г) ~о(атг)«г = У;А» ) !+о(й»г) Ро(й„г)(г Я, »=! Я, До(гажем, что все члены ряда (13) равны нулю при всех п+т. Воспользуемся формулой (17а) 9 5: (Ьо — ао) ~ ху,уог(х = хуоу, — хуоу'.
о Следовательно, собственные числа задачи или характеристические числа а„ получаются из уравнения (7). Характеристическое уравнение (7) не имеет комплексных корней, а имеет бесчисленное множество положительных вещественных корней а„. Следовательно, общее решение будет иметь вид 132 Глава летвертая Полагая у, = А/о (ах) + В)'о (ах) = 1' (ах), уз= А/о(Ьх) +В)'о(Ьх) =)»о(Ьх), получим формулу, аналогичную формуле (18) з 5, х)» (ах) 1» (Ьх) г(х — ЬЯ)го (ал) (гг (ЬЯ) — ал(го (ЬЯ) И (ах) + сопз( Ьл — ао (14) Если положить а = йл, Ь =-(гт, х==-», ~ »)»о(Ь„») Уо(Ь») й' -'- йг.
то Ьг (~т») лл»(»о ( гте) (1 ( л~))я г ( т~) о ( лЮ( 1( тЮ 'гл(() о ( тР1 1( лЮ вЂ” Ь~К7о ФРо) (»г (Ь,Ао) + (гРо('о (И~До) )'г (ЬРо)) (15) где Ъ'о (йлг.) определяются формулой (10), а Ъ', (Уг„») — следующей формулой: Аналогичным путем, как это было сделано в ~ 5, из формулы (14) можно получить следующую формулу: )», ()гл») г( = [ — [(» (й„) + е', (й„г)1 ) и, ги, 1(2 = — [(»о (и„)л) +(»1((г"гл)1 о [" о ()г 77о) + )»г ((глгао)1 (18) Так как $»о(lг„й) = )'о(гг„Ко) ='О, то из (18) получим » еО (ггл~) г(» = л [)7 (' г ((гого) ето)»г (ал)(о)1' (19) йе Эту формулу можно преобразовать.
Из теории функций Бесселя из- вестно лг(х))ло(х) ~о(х)1 г(х) Тогда )» (/г„й ) = 7 (Ь„Я ) )л ((г„й ) — 7 (а„й ) У~ (йл(7 ) =— (20) (21) 1'г (йл») = У. (Ьл») 1'о (йлРо) — Уо (йл)~о) ~'г (йл») (16) Согласно характеристическому уравнению (7) величины 1' (й„й) и У (й г() равны нулю. Поэтому первые два слагаемых правой части ('15) равны' нулю.
Также третий и четвертый члены (15) равны нулю, так как 1' ((г„й ) и )'о((гт)то) равны нулю согласно формуле (7), т. е. )»о (й)7о) = Го (Мо) Уо (Мо) — уо (Ь)~о) 1'о (Мо) = 0 (16а) Следовательно, при и+»и интеграл (15) равен нулю. Поэтому интеграл (13) равен нулю при и + и и имеет конечное значение при и = и, равное ~ »( (») 1' (йл») й. = Ал ~ »'е' (Ьлг) й . (17) йл Йл ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА 133 Для нахождения )г,((г„й) воспользуемся характеристическим уравнением (7): ())~ ) 'Го (ооо) 1' о (М) .Г~ (И~) )'ойдо) = ут()ь.)~) 1'о(ОРо) — Го(ОЛо) )'г ЙФ) = 'Го ( пР) 'Го (Фп~о) 1 о( лп) Г (и р ) )г (Гг )"о) Го (~лй) О л о 1 л = ';"™' (,Г,(О„Л) У,(ОД) — У,(й„г) У,(й„г)). Применяя (20) к последнему соотношению, находим (и )() Го ИлЛо) Го (ллЛ) ' ("п~) Подставляя (21) и (22) в (19), получим 2 ~.Г, '(л„к,) — (, '(О„Г()1 1 г)го(й„г) йг = гоа„'.фа,д Ло Тогда постоянные Ап будут равны оп2 (2 (и Р) Я п Ь [(о(Л Е) Го(, й)~ ) Р() о( л) Таким образом, решение упрощенной задачи будет иметь еид (22) (23) (24) по -л ~л 'Го ( и ) )Го (~пг) (25) Вернемся к нашей задаче.
Предположим, что Т, и Т, не равны нулю. Будем искать решение задачи в виде Т (г, л) = О (г) + Ь (г, л). (26) функция О (г) должна удовлетворить дифференциальному При этом уравнению о(оВ 1 о(0 — + — — =0 о(го г о(г (27) к граничным условиям О (Л,) = Т„О (Д) = Т,. (28) Функция Ь (г, л) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) Ь 5 и граничным условиям Ь(Я,, ) =О, Ь()с, ) = — О, (29) а также и начальному условию Ь (О, ) = 7'(г) — О (г). (30) Очевидно, функция Т(г, т) будет удовлетворять дифференциальному уравнению н граничным условиям (2) и (3); следовательно, имеем Т ()го, т) = О (гг ) + Ь Яо, ~) = То + О = Тб Т Р, ) = О (й) + Ь Ж ) = То + О = То', Т (г, 0) =-.
О (г) + Ь (г, 0) = О (г) + Г (г ) — О (г) .— 7'(г). Глава четвертая 134 Для решения уравнения (27) введем новую переменную — = г. Тогда о(0 о(г (27) примет вид — + — г = О. Ые 1 (31) Иг г Решение уравнения (31) имеет вид в в г = — = —. г лг' (32) Интегрируя еше раз, получим 0(г) = В1пг+ С. Постоянные В и С определим из граничных условий (28): То — Т,, Тт !и Я вЂ” То !п йо Л о й !и— 1и— Йо )чо Подставим (34) в (33), тогда получим !ч г Тт!п — +Т, !п и 0 (г) = 1п— )оо (ЗЗ) (34) (35) 0 = — (г (й„г); е(и = (Т вЂ” Т ) —; е(0 = «(го (й„г) е(г, интегрируем по частям ~ г0 (г) (т (й„г) е(г = — ' — ~~Т,1п — + Т,!п — '~ Х !ив )то ~ (Г,(й„г)Й~ = (То — Р (Й„Я) х йо 1п— )1 Т,— Т,, и) Яо Я Х вЂ” 1' (/г„г) ~— йо Х 1п — — Т, — '((, (о о (то При интегрировании была использована формула оито ((тт) й (й о(г Функция 0(г) представляет собой распределение температуры в полом цилиндре в стационарном состоянии.
Решение Ь(г, ч) можно получить из (25), заменив 7" (г) на [7'(г) — 0(г)): (то То (чоа) ! о (чог) (~ ((о (оо) (а ~я и) (Я Я х ~1 тавот,р. )о.— (.от~т,(о.оо,~. (36) йо ао Второй интеграл в (36) можно вычислить, если вместо 0(г) подставить его значение из (35). Полагая и = Тт!п — + То 1п —; )ч г Йо ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА !35 Используя формулы для )г (й„Я) и (Г,(7о„Я), получим Т 2й 1о (Ьлйо) 2Тойо 1 (яй) 2 (Того Япйо) — Того (Ьпй)) лац 1о ()олй) (37) Окончательное решение получим в виде !'о ()опт) ехр ( — аа„с) Х~ (Ьлй,) — Х~(й„й) Т (г, е) = ~Т, !п — + Т, 1п — '1 + '«~ г йо ! 1п— л=! йо Х вЂ” )о 1 (а„й) ( ГГ(г) )г (7о г)с(г — и1,(й гс) Х Йп х (Т,1 ()г„)с,) — Т,1,(й„)с)) (38) Введем обозначения рл = 7е„тхо; осло = т; со = атЯо'.
Тогда решение (38) можно переписать тавп 2 ~о Ро Рп й— ехр( — рпра) Х вЂ”, Р„' 1,(Рлт) ~ г1(г) (го((л„~— 1 с(г — к1о(Р.„т)(Т,1,(Р„)— о л о л йо / — Тх1 о (т(оп и (39) Корни (о„определяются из характеристического уравнения 1о(р) Ио(~Ч~) — 1о(тр))'о(р) =0 (40) Первые пять значений (х приведены в табл. 4.7 для величины т от 1,2 до 4,0. Таблииа 47 Корни рл характеристического уравнения 1, (р) )го (т(о) — )'о ((о) 1о (тр) = 0 Нл иэ яп 1,2 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 15,7014 6,2702 3,1230 2,0732 1,5485 1.2339 1,0244 31,4!26 12,5598 6,2734 4,1773 3,1291 2,5002 2,0809 47,12!7 18,8451 9,4182 6,2754 4,7038 3,7608 3,!322 62,8304 25,!294 12 5614 8,3717 6,2767 5,0!96 4, И16 78,5385 31,4!33 15,7040 10,4672 7,8487 6,2776 5,2301 х + (сч (са тх' ! ! !! ь а. а)~ х х х 3 о о ! .х о х и Р х о х х х 4 о О й о о х х х ! Е о о о ! х х о о !" о » М й Ф о х о ат С> !о о х а Глава четвертая 137 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА М 3 о а о ы 1о о.
о й о о м д о о, » б а о о о о э о о о о » о о. о й о Ю .а Е о и о Г о » М й о о М ~Л » 138 Глава четвертая Рассмотрим частньой случай. Предположим, что начальная температура всех точек трубы постоянна и равна Т («, О) = Г («) =- Т, = сопз1. (41) Тогда интеграл будет равен я «1 («) )«о (й. «) й« = ~' )'т (й. «) ~ = о ' — ()о (й~)~о) — Уо(йп Л)) (42) 1 л о л о л о При этом были использованы формулы (21) и (22). Тогда решение (38) примет вид (43) р( оЕ )~Т о о(гл) ~т~о(ял ) ~) ,Г, г ( ) " ~~(~, )ь'о(~ );) — ~~(~ )+~~(~~ ) (44) В ряде решений вместо функции Го(й«) вводится функция Уо(я«).
Это ло происходит потому, что отношение постоянных — определяется не из С уравнения (5), а из уравнения (6). Между этими функциями существует простая связь Го (ял) (45) Очевидно, 1'о()о» ~ц, ) = «(щ„) (Уо ()ял ~;~ )- (46) Рассмотрим задачу на охлаждение цилиндрической трубьс, когда внешняя поверхность теплоизолировини, а внутренняя — поддерживается при постоянной температуре Т,.
На рис. 4.24 приведены расчетные графики для случая, когда температура на внутренней поверхности трубы постоянна и равна начальной температуре Т, = Т, = сопз1, а температура на внешней поверхности трубы в начальный момент времени принимает значение Т,(Т,= = Т,) и поддерживается все время постоянной на протяжении всего процесса нагревания (Т, ) Т,). Графики построены для разных значег ло ний относительных координат —, равных — (1+ — а). К На рис. 4.25 приведены аналогичные расчетные графики для случая равномерного начального распределения температуры: Т («, О) = = Т, = сопз1 и для граничных условий Тт = Т, = сопз(, Т, = Т, =- = сопя(. В графиках рис.
4.24 и 4.25 число Фурье определяется по отношению к внешнему радиусу цилиндра (Ро = ал/ЙЯ). Если Т, = Т, = Т,, то выражение в квадратных скобках под знаком суммы будет равно То — Т,, а первое слагаемое формулы (43) будет равно Т,. Тогда получим Глава четвертое 140 так как у = (го(рг) является решением уравнения Бесселя при рг = х. Таким образом, ~ )го (Рг) д ( г д,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
