Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 20
Текст из файла (страница 20)
4.2 т'и и ги ! в„ е„ е Таким образом, необходимо определить среднюю температуру пластины. Имеем Т (и) = — 1 Т(х,т) е(х. й д о Из решения (25) получаем иэ т — т(т) — ти Ч' „— оияи т,— т, лл и=! (32) где Аи в!и !ии т )!и+! 2 вта !тп и, ( ) е т (2а — Ви!ти и !тп !ип Таким образом, получаем сходящийся ряд; коэффициенты Ви быстРо УменьшаютсЯ с Увеличением ии. Найдем среднюю температуру, исходя из решения (20) для изображения. Воспользуемся соотношением — 1 Те(з) = — ~Ть(х,з)е(х, о (33) Применим теорему разложения для нахождения оригинала. Решение (33) перепишем так: (У,— 7;) ~Я)7 Ф (в) Т и Ть (3) Ф(в) в е)т $/ е )1 О, 280 0,285 0,290 0,295 0,300 0,31 0,32 0,33 0,34 0,35 0,36 0,37 0,38 0,39 0,40 0,0803 0,0764 0,0728 0,0693 0,0659 0,0597 0,0541 0,0490 0,0444 0,0402 0,0365 0,0330 0,0299 0,0271 0 л0246 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0 52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,0202 0,0166 0,0136 0,0112 0,0092 0,0075 0,0062 0,005! 0,0042 0,0034 0,0028 0,0023 0,0019 0,0016 0,0013 0,72 0,74 0„76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 0,00!О 0,0009 0,0007 0,0006 0,0005 0,0004 0,0003 О', 0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА 97 Аналогичным путем находим корни ф(з) = з с)1'1/ — 14; в результате г а а получим з, = О, з„= — р„' дз .
Выражение зь ~ГГа я 3!а 5(аз + "' Д а является обобщенным полиномом, первый член которого равен единице. Аналогичным путем находим 1 З!1 1 Рк з1п ра Ч'(З.) = — —,Ра (пик Э(з.) =(Т.— Т,) . " =(Т.— Т,) ч"л 1"к Следовательно, Оь чч 2,зво Т, — Т(т) = Т,— Т,— (Т, — Т,) ~ — з (кк к=1 или 2 = ~!В„е т(т) — т т,— т, (34) и =-1 или 6=1 — 2~/в (36) Приближенное решение (36) дает хорошее совпадение с точным решением (34) при малых значениях Ро < 0,1 Иллюстрируем результаты на двух численных примерах. ! !.
Пусть Ро= — а = 0,1. Тогда из решения (34) имеем 1 9 е ( — е 1 9 + 26 е ' + ... =, . 0,7906=0,6408 Из решения (36) получаем — 2 ~~) = 0,6408 0= 1 Совпадение результатов полное. 4 Заказ аа аав т. е. получаем выражение, тождественное выражению (32). Сделаем анализ решения (33) для изображения. Для малых значет/ а ъ а иий вРемени, точнее числа го, величина !à — )с велика, тогДа 1Ь 4Гà — Й а а можно положить равным единице ((Ь )à — )с =1 при у — Я>2) н а У а можно написать — та (та тс) Тс(з) =, — Г- а Согласно таблице изображений оригинал этого изображения равен Глава четвертая В = — ехр ( — "— го) 3 4 (37) Метод получения приближенных решений на основе соотношения для изображения дает большие преимущества при решении сложных задач по сравнению с классическим методом.
Решение для средней температуры 6 можно получить в другой форме, если преобразовать решение для изображения и воспользоваться следующей формулой перехода от изображения к оригиналу функ- ции: [ — е а '~ = 2)гегег1с=. (Ь 1/ — Я в ряд г а Разложим 1)г 1/ — гг = 1 — 2е 1 + 2 е тогда будем иметь — ' — т,!!- ' ' — ' ! — г ь! — !!"ч*р( — г )/ — 'я)(. ,у" л я=! а Следовательно, решение для оригинала функции Т(т) можно написать так: Э Та Т (т) = (То Тс) 1 о 17 2 гт! ( 1)л~т Х я Х [2 ф —, ехр ( — 4 ) — 2п ег1с В,=~) . В окончательной форме решение примет вид (38) Из решения (38) также следует, что при малых значениях времени, точнее Ро, оно превращается в приближенное решение (38), так как лз ! л при Ро - О ехр ( — — ) -э О и ег1с: — О. го ~ )Гро Решение (38) можно было получить непосредственно из решения (28), воспользовавшись иным методом расчета.
Можно было определить вначале Ь|~, по формуле ( ) дТ(Гг,т) ) дя а (39) 2 2, Положим го = —,=0,2, тогда из решения (34) получим В =0,4926, а из решения (36) имеем В = 0,4921. Совпадение вполне удовлетворительное, если учесть, что в данном случае го=0,2. Из етого примера видно, что при малых значениях го вместо нескольких членов ряда (34) можно с достаточной степенью точности пользоваться приближенным реше. нием (36), а при больших значениях го можно из всего ряда (34) ограничиться одним первым членом, т. е.
при го > О,1 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОВА 0,20 0,25 0,05 О,! О,!5 0 в~ О, Ос О,З 0,2 О,! о, 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 ро Рис. 4.!1. Зависимость между средней относительной избыточной температурой В н числом Фурье Ро дли неограниченной пластинь- — — =2 ~ы~ ехр [ 4 Ро а=! (40 Пользуясь приближенными формулами (36) и (37), можно написать с(В ! 2 ( ! — — — — ! при Ро(0,1, (41 с(В ( пз ! „а — — = 2 ехр ! — — Ро ! = — 0 при Ро > 0,1.
дно 4 / 4 (4" а затем и среднюю температуру Т (т) из соотношения (31). Резул . таты получаются одинаковыми. Анализ решения. Зависимость между средней безразмерной темпе ратурой 0 и безразмерным временем Ро в виде (34) или в виде (38 широко применяется в задачах по диффузии. Роль средней температуры в этих задачах играет средняя концентрация. Поэтому в табл. 4й приведены значения 0 для различных значений числа Ро, а на рис. 4.1 построен соответствующий расчетный график 0 как функции Ро.
М Найдем скорость нагревания — Согласно (34) она равна е!Ро ГРАИИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА о С» С» с» Ю о С» С» с» С» Ю с» Ю с» с» С» О Ю С» СР С» с» с С» С» Ю Ю С» С» Ю Р с» с» С» С» с» Ю С» с" С» о О О С- О С'4 СО 04 Я 30 СО Ю С» й С о о о о сй С» сй СО Си О» О» 00 о о О! о о Ю С» Ю о о о о .О 3 00 си » й й СО 3 О СО иъ сч ю сй С'4 о о о о 3 3 ОЪ О с'» О с'» СЧ о о о о ИЪ СР 04 СО и Сй иЪ сй С'3 о о о о С'3 С'4 ОЪ О ИЪ Сй С'4 о о о о а в ь сй а о с- а О ' 04 о о о о ал сч 00 а с\ 3 иЪ СЪ ' 04 о о о о сО сО С» 30 сй сй иъ 3' сй о о о о 3' С'4 Ъ СО о а 00 30 \' о о о о .О Ю с» а 00 СО 3' Сй С'4 о с» о о С'3 Ю Сй СЧ с» Ю Сй \' с» С» 30 о \' сО С» Ю О 3 С» Ю 3 03 с» С» а О» СР Ю ь ОЪ Ю 3 й О» С» Ю Я СР СР си С» Ю С'4 40 с» с 03 СО С» 0» Ю СР СО 00 сР Ю й СО С» Ю Б С» Ю 00 С» С» 3 О Ю о й О с» С» СО с С» си 00 Ю с» ОЪ С» Ю с» СР С» С» СЧ СР С» 00 сО С» о О СО СР С» Р Ю С» с» Сй СР С'3 л с» Ю 00 С» С» СО Ю СР с» и» Ю с» сч 30 с» Ю 40 сО с'» Ю с» 30 Ю Ю 3 Ю с'ъ иЪ О Ю ОЪ иЪ С» Ю Ю 30 й с» СЧ 30 30 Ю С» О О Ю о 3 С» С'4 Ю Ю 00 О Ю Ю с» 30 с» С» СО О Ю Ю а С» Ю с О С» СР 03 СР иЪ иЪ Ю с» Р СР СР О» сО Ю С» о Ю СО 3 Ю с» 00 30 С» о 30 Ю С» С» С'3 3' Ю Ю а 3 СР Ю Ю Ю Р ОЪ юоь Ю 3 С» С» Си О 8 с» 8 Ю 30 8 Ю 00 8 С» 8 С» 04 О» 8 сО съ С» С» С» Ю 3 с» Ю 8 Ю С» 8 СР 8 СР 8 с» С» 8 СР 8 С» 8 сР сО Ю с» Ю С» СО С» а Ю С» 8 сР 00 с» сР сч и» с» С» 0- 8 Ю сч сч С» С» сО 3 С» С» сй С» Ю 40 СЧ3 Ю с» 03 00 С» СР о СЧ о е С» 3 3' С СЧ СЧ СЧ о о о о О О иъ с'4 СЧ С'4 о о о о «ч сй О СЧ о о о о а о О с» сч сч о о о о 40 С'Ъ й с\ 04 С3 о о о о Ю и» .О с» СЧ С'3 о о о о Сй 30 с» о о 30 О СО СЧ 03 о о о о СО 04 сО о о о о 30 3 СЧ СЧ с» 102 Глава четвертая О ав Так как Ро = — , то скорость Що дО нагревания — „будет прямо 1"пропорциональна коэффициенту температуропроводности и обратно пропорциональна квадрату половины толщины пластины.
В табл. 4.4 приведены значения дО 8 и — — для разных чисел Ро. дРо Все вышеприведенные решения справедливы и для случая охлаждения неограниченной пластины, когда одна ограничивающая поверхность имеет Ряс. 4.12. Кривые распределения тем- идеальную тепловую изоляцию (отсутперзтуры з "зо"Рз"""'"ной пластине ствие потока тепла, что характеризует(несимметричнзя задача) дТ (О, т) ся равенством ' = О), а протидх воположная поверхность в начальный момент времени мгновенно охлаждается до постоянной температуры Т„т. е. Т Я, т) = Т, (начало координат переносим из центра на поверхность пластины).
Начальное распределение температуры по толщине пластины может быть задано в Таблица 4А д0 Зависимость между —, 0 я числом то ДРО лв ево е 2 лото 0,005 0,0! 0.02 0,04 0,06 О,!О 0,2 0,3 0,3021 0,2353 О,!844 0,1475 0,1127 0,0900 0,0687 0,0537 0,3728 0.2912 0,2275 0,1820 0,1389 0.1110 0,0848 0,0663 0,9!978 0,8849 0.840! 0,7729 0,7236 0,6430 0,4960 0,3859 3,9894 2,9735 1,9941 1,3904 1,1536 0,8917 0,6323 0,4772 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 Т (О, ч) = Т, = сопя1 Т Я, т) = Т = сопя( (43) Начало координат находится на левой (О< х < Я).
поверхности пластины виде некоторой функции Г" (х) или быть равномерным, т. е. Т(х, 0) = = Т, = сопя1. В этом случае под )4 надо понимать не половину толщины, а толщину всей пластины. Если одна поверхность пластины все время поддерживается при постоянной температуре Т, = сопя!, а противоположная — при постоянной, но иной температуре, например при начальной То=сопя(, то граничные условия можно записать так (рис. 4.12): ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА Решение для изображения Т (х, з) имеет вид 50 1 — (Š— х) г а — ' — Т,(х,з) = Т, То То х х (44) ь~/ 'Е Пользуясь аналогичным приемом, решение задачи получаем в двух видах.
Во-первых, при применении теоремы разложения получим 0 = 1 ' ) ' = — + У ( — 1)"+! — з!п р.„ехр( )хлРо), (46) То — Т! Е ~! Ел Й л=! где р„ = пп — характеристические числа. В стационарном состоянии (х = ) распределение температуры будет происходить по прямой, про'!-! ходящей через точки (О, Т,) и Я, Т ).
Во-вторых, разлагая (з)! ~/ — )с) в ряд и пользуясь таблицей изображений, находим Ш Т(х, х) — Т, 1 х '~~~ (! 2лР.+х 2лŠ— х 0 = = ег1 — (~т ( ег1с — ег1с л=! СО 0 = ег1 — ~~ ег1с хЯ 2)' Ео л=! х х 2л+— 2л —— — ег1с 2)ГЕо 2 г'Ро (47) При малых значениях Го аргументы функций ег1с велики, а сами функции близки к нулю. Поэтому суммой можно пренебречь. К этому важному физическому положению распространения тепла в пластине при малых значениях го можно было прийти из анализа решения (28), а именно: если перенести начало координат из середины пластины на левую поверхность, т. е. сделать замену переменной х+ Я = Х и положить 2Я-э, то решение (28) примет вид 0 =ег1 Х 2 У'а! что является решением для полуограниченного тела.
На рис. 4.13 приведен график изменения температуры 0 от числа Фурье для разных координат пластины от О до 1. В этом параграфе приведен анализ решений для неограниченной пластины, чтобы показать читателю большое преимущество операцион- (46) Первый член ргш ния (46) представляет собой решение для полуограииченного тела. так как из этого решения можно получить решение (16) 0 2, положив Я = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
