Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 16
Текст из файла (страница 16)
4.2), высота ее будет величиной конечной и равной Г" (1). Площадь такой полоски, равная С, будет бесконечно малой величиной, т. е. Т (1, 0) с(1 = Г" ($) с(1 = С. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА 73 мента времени (т -л 0), но и для любого последующего промежутка времени, т. е. общее решение нашей задачи будет иметь вид Т(х, л) = ~ Г(1) ехр!à — " ] !(1. 1' 4лал ! 4ал — л (6) Можно общее решение (6) переписать по-иному.
Введем новую переменную и по соотношению 1 =х+2)'ахи. Тогда будем иметь +т Т (х, т) = — ( Г (х+2)' а~ и ) е " Ыи. (7) У'л Можно показать, что решение (7) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и начальному условию, гласящему, что при л -+ 0 Г(х + 2)Га~и) -~ Г(х). Следовательно, будем"иметь +т +а Т(х, О) = — ( Г(х)е™ди = Г(х) — ( е "*г1и = 7" (х). )'л ! )Г Можно сделать обобщение на случаи плоской и пространственной задач.
Именно, по аналогии имеем: Т(х, у, !) = — ( 1 7'(1, "ч)ехр~ — (" ) " '!~ ] о(Ыч, (8) 4ла! 0 0 4ал Т(х у,г,л)= Я7'(1,ль1)ехр~ У ~ ] Х т . хЕ1Е)ж. ~ Решение нашей задачи можно получить и по методу Фурье. В 5 2, гл. И1 было установлено, что общее решение одномерной задачи имеет вид ОЭ О т -лаз л Т (х, х) = ~о Слз!п йлхе + ~~~ 0т сиз йтхе льа СО Т(х, л) = ) е '~'[Г (й)з!пйх+Го(й)соз/гх)юг. о Для определения 7' (й) и Г (й) воспользуемся начальным условием Т (х, 0) = ~ (х) = ~ (7! (й) з!и йх + 7',(й) сов йх! !И. (11) о (10) Так как граничное условие отсутствует, то можно считать, что величины й образуют непрерывный ряд чисел и каждое последующее отличается от предыдущего на бесконечно малую величину !(и. Тогда обе суммы перейдут в определенный интеграл, взятый от 0 до л. Кроме того, постоянные С, и ь! будут некоторыми функциями от й.
Таким образом, имеем Глава четвертая Из теории рядов Фурье известно, что если заданная функция 7'(х) удовлетворяет определенным условиям, то ее можно разложить в ряд Фурье, который можно заменить через интеграл Фурье вв -»с 7'(х) = — ~ с((г ~ 7'(!) [я!п йь я!и йх + соя й! соя йх[ йч.
(12) 1 г 0 — вт Сравнивая соотношения (11) и (12), приходим к заключению, что введенные нами функции 7,(й) и 7' (й) равны, т. е. +со + св 7, (й) = — ~ 7' (!) я1п нь й1, 7", (й) = — ~ 7' (!) соя йа й!. Окончательное решение в форме Фурье нашей одномерной задачи для неограниченного тела будет иметь вид Т(х, т) = — ~ е а«'йй ~ 7(ь) соя[й(! — х)) йс (13) Решение (6) илн (7) для неограниченного тела имеет для нас вспомогательное значение. Оба эти решения удовлетворяют условиям неограниченности (3). В нашем случае Т(х, ч) »0 при х-» -» .
Тепловой процесс в таком неограниченном теле состоит из выравнивания температуры, которое возникло в некоторый момент времени, принимаемый нами за начальный. Это возникновение неравномерного распределения температуры возможно в результате кратковременного действия некоторого источника тепла (мгновенного источника тепла), мощность которого пропорциональна 7'(!). Поэтому рассмотренный метод решения задачи часто называют методом точечных источников.
В гл. 1Х мы вернемся к этому вопросу, а теперь перейдем к рассмотрению основных задач. $2. ПОЛУОГРАНИЧЕННОЕ ТЕЛО дТ(х, т) д«Т(х, т) ~ ( 0 0 дх дх' Имеем тело, с одной стороны ограниченное плоскостью уг, а с другой стороны простирающееся в бесконечность. Такое тело называют полуограниченным телом, например, бесконечно длинный стержень, боковая поверхность которого имеет идеальную изоляцию.
Постановка задачи. Температура пвлуограниченного тела вв всех точках имеет определенное значение, заданное некоторой функцией т" (х), т. е. Т(х,0) =)" (х). Будем решать задачу на охлаждение тела, так как задача на нагревание всегда может быть сведена к задаче на охлаждение путем замены переменной. В начальный момент времени конец стержня принимает температуру Т„которал поддерживается затем постоянной в течение всего процесса теплообмена. Найти распределение температуры по длине стержня в любой момент времени и потери тепла через конец его. Задачу математически можно сформулировать следующим образом.
Имеем дифференциальное уравнение ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА при краевых условиях Т(х, 0) = Г(х), Т(0, г) = Т, = сопи(, д~(+~' ') = О, дк (2) (3) причем отсутствует перепад температуры в бесконечно удаленной точке (см. рис. 4.3). Вначале для упрощения расчета положим Т, = О. Требуется найти Т(х, т).
Решение задачи классическим методом. Решение этой задачи может Рис. 4.3. РаспРеделение температуры в полуограниченнои стержне с тепловой быть получено из предыдущей (для изоляцией боковой поверхности неограниченного тела). Для этого продолжим стержень в отрицательном направлении оси х, т. е. будем считать его неограниченным (рис. 4. 3). Начальная температура в точке х >0 равна Г(х), а начальную температуру в точке — х выбираем равной — Г'(х), т. е. считаем функцию Г(х) нечетной: Г(х) = — Г( — х).
Тогда из соображений симметрии распределение температуры в последующие моменты времени будет нечетной функцией, а для х = 0 ее значение всегда будет равно нулю. Следовательно, условие на поверхности выполняется. При замене х на с в кривой начального распределения температуры общее решение на основании предыдущего имеет вид Т(х, т) = ~ ~ Г(с) ехр~ — ~е(а+ 1о о -~ ) — и — е-Р~ — '*''г]а).
— а Запишем это решение в другом виде: О Т (х, с) = ~ Г" (Е) [ехр ~ — ) — ехр ( — )~ й. о (4) с = х + 2и)гас, с = — х + 2и)/ат, а во втор ую часть Выражение (4) есть общее решение нашей задачи. Если начальная температура постоянна и не зависит от х (температура стержня в начальный момент времени одинакова и равна Т,), т. е. Т (х, 0) = То — — сопз(, то решение можно упростить. Подставив в первую часть подынтегральной функции Глава аегвергал 76 получим к22 У ах Т,(х, 2) = То — ~ е " с(и. Гка — х/2 2кас Так как функция е " является симметричной функцией по отношению к и, то можно написать х22 2'вар о е "с(и=ег(( ), 2 1' ас где интеграл И вЂ” ( е " е(и = ег1 (и) о называется функцией ошибок Гаусса.
Функция ег1(и) изменяется от О, когда и = О, до 1, когда и-э (практически, когда и) 2,7, так как ег1(2,7) = 0,9999). Если конец стержня поддерживается не и ри 0', а при некоторой температуре Т(0, 2) = Т, = сопз1, то путем введения новой переменной Ь = Т вЂ” Т, наша задача сведется к вышерассмотренной, так как Ь (О, с) = Т (О, 2) — Т, = О. Следовательно, решение данной задачи можно написать так: То — Тс ( 2~ас ) (6) Решение задачи операционным методом.
Применим преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению (1): 7 [дТ(х,с) ~ 7[ дсТ(х,с)~ где 7,(Т(х, 2)] = )е Т(х, 2)е "е(с = Тс(х, 2). о Таким образом, дифференциальное уравнение (1) в частных производных для оригинала функции Т (х, 2) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение для изображения Тс(х, з), так как Тс(х, з) не зависит от времени 2. При атом переходе используется начальное условие. Перепишем уравнение (7) в виде Т~.
(х, з) — — Тс (х, з) + — = О. 7 (х) (8) а а В левой части уравнения надо взять преобразование Лапласа от первой производной. Согласно основной теореме операционного метода, оно равно произведению изображения на оператор в минус значение функции в начальный момент времени, т. е. дс (х, е) зТс (х, з) — Г (х) = а — (Ь 1Т (х, с)]] = а ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА где А8 и Вг — постоянные, определяемые из граничных условий.
Применим преобразование Лапласа к граничным условиям: Ь (Т(0, с)) = О„Т8.(0, з) =О. Ь~ ( ' )~ =О, Ть(+,8)=0. (12) Из условия (12) следует, что А8 = О, так как в противном случае первый член в правой части (10) неограниченно возрастает с ростом х, а именно О=Тс(+,з)= 1/ ' А,е ' — г1Г " Вге 8 8 а~+ ~ - 8 ~а~+ а а откуда и следует А, = О. Воспользуемся условием (11) Т. — 3' —: 8 0 — — '= Взе = В„т, е. 8 тогда решение для изображения будет иметь вид Тд в = — —, 8 — ' — Т, (х, з) = — "ехр ~ — ~ 8 х).
го Т„ 8 8 а Для нахождения оригинала воспользуемся таблицей изображений функций, из которой известно, что Х, ' ~ — е '~ = 1 — ег1(=). В нашей задаче й = —. Следовательно, решение упрощенной за- дачи будет Т вЂ” Т(х,.) =Т 1 — ег1 откуда т. е. получаем то же решение (5) для случая равномерного начального распределения температуры по длине стержня. Если температура конца стержня не равна нулю, а равна Т, = сопз1, то граничное условие (11) напишем так: Т (Т (О, 8)) = Е [Т,), Т, (О, з) = — '. (14) Рассмотрим более простую задачу, когда температура стержня до охлаждения всюду одинакова и равна Т„т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
