Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Описанный выше метод носит название явного, поскольку выражает значение Ь в момент сл„, через значение в момент -.„,. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 66 Несмотря на простоту вычислительных формул, он имеет существенный недостаток, связанный с ограничением р)~2п, где и — размерность пространства. Поскольку при этом 1 в й', требуется произвести очень много шагов по времени, чтобы проследить поведение решения на протяжении достаточно продолжительного периода, например до го — 1. Детальный анализ этого положения показывает, что при попытке увеличить шаг по времени начинают быстро возрастать сильно колеблющиеся по пространственным переменным компоненты решения. В то же время для медленно меняющихся (и по пространственным переменным, и по времени) гладких компонент сохраняются условия хорошей аппроксимации, и здесь не наблюдается каких-либо особенностей.
Поскольку в реальном процессе наступает быстрое сглаживание всех особенностей, а сильно колеблющиеся компоненты решения быстро затухают, ограничение на 1х1й' представляется искусственным и связанным только с особенностями построения вычислительной схемы. От таких недостатков свободны неявные схемы, в которых увеличение 1 достигается за счет того, что на каждом временном шаге приходится решать систему уравнений.
При этом в случае одной пространственной переменной решение достигается небольшим числом операций благодаря трехдиагональному виду матрицы этой системы. В качестве д~Э примера рассмотрим шеститочечную схему, в которой — аппрокдх* симируется по формуле д~Э (Э..., — 2Э,,,+Э„ь,+,)+(Э...,— 2Э„, +Э„,+,) (28) дT; в то время как " — производная по времени аппроксимируется дх по прежней формуле (7). Нетрудно убедиться, что для достаточно гладкой функции составд У ленная из этих выражений приближенная формула для — а— дх дхх имеет ошибку 0(й'+ 1') для точки х=(й, х =( й — — ) 1. Поэтому 1 т 21 уравнение является неоднородным, значение правой части следует брать в этой точке. Известно, что уравнение Э; — Э вЂ” а ' ' ', ' ' ' + Т (29) (Э, ...— 2Э.
Ь.+Э. Ь.+,)+(Э...— 2Э,, +Э, Ыл) устойчиво, ,и его решение при й-э О, 1-ьО сводится к решению дифференциального уравнения теплопроводности. Большое многообразие неявных методов и способов решения, получающихся на каждом шагу систем уравнений, а также методы выбора ионов й и 1 приводятся в книгах (66,20).
Здесь покажем только, как в случае одной пространственной пере менной решать систему уравнений на каждом слое. Нетрудно убедиться, что (29) для неизвестных ( Эх,) можно переписать в виде Ь...— 2(1-~- — (9,,-~-6... В,, (30) а1 3 звказ ьч мэ Глава третья где В, образованы из 7»,, и значений Ь„,, которые известны. Пусть краевые условия (первого, второго или третьего рода) имеют вид Ьл,о "Ья, ~ +т' Ья, л= 1Ья,к — ь+ о1 (31) при этом а (1 и т (1. Будем искать зависимость вида Ья, ~ = Р'Ьь,~ — 1+ 9' (32) которой должно удовлетворять решение (30). Определяя Ья, 1 при помощи (32) и используя (30), имеем Ь вЂ” ~2(1+ — ) — р,.„»~ Ь,, = р,.— д,, (33) Потребуем, чтобы (33) было следствием (31); так как коэффициенты при одинаковых Ь и свободные члены должны быть пропорциональны, будем иметь 1 Р~ = «» ; 7, =Р,.(вт — а.„).
(34) 2(1+ ) По этим формулам можно найти р,(1= У вЂ” 1, У вЂ” 2,..., 1), начиная с р, = т. При этом будет ~р,~ < 1 1+2 а1 Зная рн вычисляем ь1,(1'= У вЂ” 1,..., 1; г1„= о). Взяв (32) при 1 = 1 и первое из соотношений (31), решим си- 1 стему уравнений для Ь„о и Ь» 1; неравенства а <! и )р,~ ( 1+2 а1 обеспечивают ее разрешимость. По соотношениям (32) находим последовательно все остальные Ь„,. Ввиду полученных для р, оценок в этих операциях не будет происходить существенного накопления и роста погрешностей. Этот метод носит название метода прогонки 111а). Численные методы решения имеют большие потенциальные возможности, однако до последнего времени их широкое применение к решению уравнений переноса сдерживалось большим объемом вычислительной работы.
Быстрое развитие и распространение счетнорешающей техники кардинально меняет их роль в исследовании явлений переноса. Если новые электронно-вычислительные устройства дискретного типа предназначены для выполнения трудоемких вычислительных операций, то некоторые устройства непрерывного типа могут также выполнять роль физических моделей, Использование моделей для исследования явлений переноса основывается на формальной одинаковости в аналитическом описании ряда процессов, которая является следствием далеко идущего соответствия в поведении сравниваемых систем, их аналогии.
«Единство природы,— писал В. И. Ленин, — обнаруживается в <поразительной аналогичности» дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений» (В. И. Ленин, Собр. соч., изд.1»т, т. Х111, стр.276). Метод моделирова- ОСНОВНЫЕ МЕТОДБ! РЕШЕНИЯ КРАЕВБгХ ЗАДАЧ 67 ния позволяет исследовать процессы реального объекта с помощью других процессов, протекающих в модели. Решение, полученное на аналоговой модели, естественно, не будет носить аналитического характера, но оно может быть успешно выполнено экспериментальным путем, после чего выражено в параметрах первоначальной задачи.
Наибольшее распространение в настоящее время имеют модели, построенные на гидравлической, электрической, механической и акустической аналогии процессов. Гидродинамическая аналогия, основанная на тождественности в формально математическом смысле между функцией тока и потенциалом скорости идеальной жидкости в невихревом потоке и между функцией теплового потока и температурой в системе без источников тепла, была использована Муром и другими авторами для решения двухмерных задач стационарной теплопроводности [83]. В дальнейшем область применения этой модели была расширена на системы с распределенными источниками [111].
В 1928 г. Эмануэлем и несколько позднее Д. В. Будриным были сконструированы и построены модели, основывающиеся на аналогии математических соотношений, описывающих распределение температуры в твердом теле и распределение напоров в воде, движущейся через капиллярные трубки [3]. Установки, названные гидравлическими интеграторами, позволили решать задачи нестационарной теплопроводности. В. С. Лукьяновым позднее был разработан ряд интеграторов для решения двух- и трехмерных задач теплопроводности [39], а Будриным [3] — гидростатические интеграторы для решения нелинейных уравнений переноса параболического типа.
Подобно методу гидродинамической аналогии М. Б. Койл [34] разработал метод воздушно-аэродинамической аналогии. Принцип работы его установки похож на работу гидростатических интеграторов Будрина. Количество тепла и температура в теплопроводящей системе здесь соответствуют количеству воздуха и давлению. Были предложены и другие виды гидродинамической аналогии, например аналогии, построенные на соответствии, между переносом тепла и переносом жидкости в пористом теле, т.
е. между законами Фурье и Дарси [103]. Ценность гидродинамических моделей снижается из-за громоздкости установки,, сложности ее эксплуатации и некоторых трудностей при решении задач с переменными теплофизическими характеристиками. Наиболее широкое применение для исследования явлений переноса тепла и веи]ес!пва находит электрическая'аналогия. Необходимое для этой цели оборудование портативно, дешево, может быть выполнено достаточно просто и с большой степенью точности. К тому же электротехника обладает весьма совершенными приборами и методами измерения электрических величин.
Электрическая аналогия основана на формальном сходстве дифференциальных уравнений теплопроводности, с одной стороны, и уравнений электропроводности, с другой. Вместе с тем аналогия между рассматриваемыми процессами идет дальше идентичности соответствующих уравнений переноса. Последнее становится ясным из сравнения электрических и термических величин.
Анализ соответствующих уравнений показывает полную возможность воспроизводить нестационарные поля потенциала теплопереноса средствами электрической аналогии при различных граничных условиях, равно как и при различном характере распределения источников. Электрическая аналогия реализуется многими экспериментальными установками. Моделирующие устройства, в которых воспроизводится геометрия оригинала, а модель изготовляется из материала с непрерывной проводимостью, называются геометрическими аналогами, или моде- 3' 68 Глава третья лированием полей методом сплошных сред.
Если же модель представляет собой эквивалентную электрическую цепь с сосредоточенными постоянными, то устройство называется моделирующей цепью. Удобной моделью для нахождения поля потенциалов в проводнике служит электролитическая ванна. Довольно широкое применение электролитическнх ванн обеспечило однородность жидкой моделирующей среды, возможность создания моделей больших размеров и сравнительно легкий доступ в жидкости к внутренним точкам области при моделировании объемных полей.
Электрические аналоги с жидкими моделями основаны на использовании ионной проводимости электролитов. В качестве проводника берется электролит (слабые растворы солей, кислот и щелочей, растворы различных купоросов и др.) с постоянным удельным сопротивлением. Модели бывают объемные и плоские. Их форма должна быть тождественна форме исследуемого тела — оригинала. Граница ванны должна иметь потенциал, пропорциональный температуре на границе оригинала, что осуществляется применением металлического проводника, по которому в электролит подается электрический ток. На подобной модели, например, Ленгмюром, было проведено исследование теплопередачи через стенки оболочки в форме параллелепипеда (47).
В случае моделирования потенциалов переноса в неоднородном поле применяется электролит с переменной концентрацией или создается ванна с переменной глубиной (73). Моделирующим устройством, работающим по принципу геометрического аналога, являются также модели из твердых электропроводящих материалов и покрытий. Для моделирования плоскопараллельных полей известное развитие получили модели из тонкого листа электропроводящего материала. В качестве такого листа используется металлическая фольга, металлизированная бумага или нормальная бумага, на которую наносится слой электропроводного графита с определенным сопротивлением (например, теледельтос-бумага).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
