Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Перепишем полученное уравнение в виде 29~ + рВ~ г' Э откуда !и г' = — 2!пЭ, — 1 рАВ+!пС,. Интегрируя еще раз, будем иметь г = Сз )г Э, г е ~ с)В, Э=Сзаг+Саз, )г Э, е г)!=С,Э,+Свае. -г — )де! Глава третья 48 Вернемся теперь к анализу частного решения дифференциального уравнения теплопроводности. Согласно соотношению (11) частное решение (10) можно написать так: -алсс ср(с,сс) + Ре-алсс с(с(ьсс) (15) т. е.
оно представляет собой сумму или линейную комбинацию двух собственных функций. В общем случае величина й определяется из граничных условий, а постоянные С и Р— из начального условия. Частное решение непригодно для расчета температурного поля, так как из частного решения нельзя определить постоянные С и Р. Например, в начальный момент времени (т = О) температура может быть постоянной Т = Ть = сопя(, что не следует из частного решения (15). Если положить в =. 0(е †'ь" = 1), то получается, что постоянная Т, должна быть равна переменной Сср(Ы) + РЦЫ), чего быть не может.
Поэтому для получения общего решения уравнения теплопроводности, удовлетворяющего и начальным условиям, берут сумму частных решений, в которых постоянные С и Р имеют свои определенные значения. Температура в начальный момент времени может быть заданной функцией Е Тогда при помощи совокупности таких частных решений можно как угодно близко подойти к заданному распределению.
Это осуществляется подбором подходящих значений С и Р; такой путь подбора постоянных С и Р обычно называют удовлетворением решения начальному условию. Таким образом, первое частное ре!пение можно написать так: Тс =- Сгз ' сР(асс) + Р,е ь' ф(загс!), второе частное решение 2 2 Т,=С,е 'ср(ль1)+Р,е ' 'ф(А 1) и т. д. Общее решение будет иметь вид сь ,2 ьс 2 Т = Е С„ср(й„1)е "'+ Е Р (с(й 0)е л=! При этом необходимо, чтобы функция Ть(1), описывающая начальное распределение температуры„могла быть разложена в ряд по собственным функциям: с Т,(1) = ~, С„р(йД + ~„"Р„((й 1). и=! ьс=! Поясним вышерассмотренную методику решения на простейшем примере.
Дифференциальное уравнение теплопроводности для неограниченной пластины имеет вид дт(я, с) дсТ(», с) (17) дс дяс Ищем частное решение этого уравнения в виде произведения двух функций: Т = С 0 (я)0(х). ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Тогда после подстановки его в дифференциальное уравнение получим: — = а — = — аа'. Э (.) Э" (х) Э(~) = Э(х) Интегрирование уравнения 0'(с) 6(т) — = — ай' = сопя! даст значение для функции 0(т), т.
е. 0(я) = е Дифференциальное уравнение для функции 9(х) имеет вид (19) Э"(х) = — агЭ(х). Следовательно, функция 9(х) должна быть такова, чтобы ее вторая производная была равна самой функции, умноженной на некоторую величину ( — ег). Легко показать, что такими функциями могут быть я(пах или сояйх, а именно 9,( ) = я!п,Ь, Э;( ) = й йх, Ь;( ) = — й'я(п йх =- — й 9,(х); ! 9,(х) =сояйх; Ь'(х) = — ея!п(гх, Ь"(х) = — 7ггсояах = — йгЬ,(х). Таким образом, я!п)гх и соя)гх являются частными решениями уравне- ния (19), причем эти решения линейно независимы, так как Эг(к) Мп Эх Э (х) с05ггх ть сопя!. Общее решение уравнения (19) будет суммой частных решений: Ь(х) = СЬ,(х) + ОЬ,(х) =- С гйп ех + О соя lгх, (20) где С и Π— произвольные постоянные.
Второе частное решение 9,(х) = соя!гх можно было получить также по формуле (14), зная первое решение 9,(х) = я!пах, а именно 9,(х) = Ь,(х) ~ Э~ (х)е ('"" г(х = 9,(х) ~ Ь~ (х)г(х = я!и йх Х чх 1 Х ) .. = — — — я!п/гхс!ц/гх= — — соя/гх 3 магах !г (в этом случае р(х) = 0). Общее решение будет иметь тот же вид: 9(х) = СЬ,(х) + В'(9,) = С я)п )гх — „соя ех = С з!и йх + О соя йх, где Р = — — Π— произвольная постоянная. 1 а Частное решение дифференциального уравнения теплопроводности будет иметь вид Т(х, т) = С я(п йхе — е' + Р соя ехе (21) Постоянная а определяется из граничных, а постоянные С и Е)— из начальных условий; оии принимают вполне определенные значения в зависимости от условий задачи. Подробно методика расчета бу- Глава третья 50 дет изложена при рассмотрении отдельных конкретных задач.
Общее решение можно написать так: Т = 2: 6«з!и А„'хехр( — ай~х)+ ~' Р соз я„,хехр( — ай' т). (22) «=! (6(х, $, я) = ехр ~— (23) называемой функцией источника на бесконечной прямой. Функция 6(х, 1, т) удовлетворяет уравнению теплопроводности, именно Ь ~ (х — Ь) дх' )Л"4 «ах 4«~х Функцию 6 обычно называют фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что функция 6 представляет температуру в точке х, если в начальный момент времени в точке ~ выделяется количество тепла 1~ = Ьст.
Количество тепла на прямой равно +«3 +«ь где + ь — ( в — «* ь(и 2 г'ах «Э (24) Следовательно, количество тепла 1,"ь не меняется с течением времени и численно равно произведению площади, ограниченной кривой 6 н осью абсцисс х, на объемную теплоемкость ст. Для малых значений времени почти все тепло сосредоточено в окрестности точки 4. Функция температурного влияния мгновенного источника тепла для тела конечных размеров и одномерного потока тепла может быть представлена так (см. гл.
ХН): «7 2Ь чя . я«х . ял$ I я««ь 6 (х, 4; х) = — ~ з!п — з!п — ехр ~ — — ах). — 12 (25 «=! Функция 6, показывает распределение температуры в неограниченной пластине (О( х( 1) в момент времени х, если температура в начальный Метод источников. Физическая сущность метода источников состоит в том, что любой процесс распространения тепла в теле теплопроводностью можно представить как совокупность процессов выравнивания температуры от множества элементарных источников тепла, распределенных как в пространстве, так и во времени.
Решение задач теплопроводности по этому методу в основном сводится к правильному выбору источников и нх распределению. Действие элементарного источника в неограниченном теле при одномерном потоке тепла характеризуется формулой (см. гл. ХН) ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 5! момент времени равна нулю и в этот момент в точке ! мгновенно выделяется количество тепла 9 = Ьет. Ниже (см.
гл. П н 1Х) будет показано применение метода источников к решению отдельных конкретных задач. Существует еще ряд классических методов решения уравнений теплопроводности, но на них мы останавливаться не будем. Наиболее распространенным методом является метод разделения переменных. й 3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ИНТЕГРАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Операционные методы.
Для многих задач теплопроводности использование классических методов оказывается неэффективным, например, применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла. Решения, получаемые классическими методами, не всегда удобны для практического использования. Часто требуется иметь приближенные решения, которые получить из классических ре.
шений трудно. В результате запросов техники за последние десятилетия инженерами и физиками стали широко применяться операционные методы решения. Основные правила и теоремы операционного исчисления были получены проф. М. Ващенко. Захарченко [7] и независимо от него Хевисайдом [102]. Наибольшее распространение они нашли в электротехнике, благодаря работам Хевисайда. Этот метод оказался настолько эффективным, что позволил решить многие задачи, считавшиеся до него почти неразрешимыми.
В дальнейшем операционные методы нашли применение в теплофизике при решении разнообразных задач нестационарной теплопроводности, в химической технологии при решении задач нестационарной диффузии В последние годы эти методы стали использоваться при решении задач гидродинамики, переносе нейтронов в поглощающих средах и т. д. Строгое математическое обоснование операционного метода Хевисайда дано в работах Бромвича [90], Джефрейса [104], Эфроса и Данилевского [85], Дейча [23], Ван-дер-Поля [б], Диткина [25) и др. В настоящее время он рассматривается как самостоятельный метод решения уравнений математической физики, по своей стройности равноценный классическим методам.
Операционный метод Хевнсайда равнозначен методу интегрального преобразования Лапласа. Метод преобразования Лапласа состоит в том, что изучается не сама функция (оригинал), а ее видоизменение (изображение). Это преобразование осуществляется при помощи умножения на экспоненциальную функцию и интегрирования ее в определенных пределах. Поэтому преобразование Лапласа является интегральным преобразованием. Интегральное преобразование ~ь(з) функции 7(~) определяется формулой ~ь (з) = ~ [Яе — ' й~ = 7.[7(-.)], о где 7(~) является оригиналом функции, а ~ь(з) — ее изображением, которое обозначается в виде 7 [7(~)].
Здесь з может быть и комплексным числом, причем предполагается, что вещественная часть его будет положительной. Для того чтобы изображение существовало, интеграл(1) Глава третья должен сходиться. Это накладывает определенные ограничения на функцию Г(т) (подробно см. гл, Х1'ч'). Если задача решена в изображениях, то нахождение оригинала по изображению (обратное преобразование) в общем случае выполняется по формуле обращения +юот 1 Ят) = 1. т(~й(з))= —, ~ 7ь(в)е"сЬ. 2в1 — 1 03 (2) Интегрирование происходит в комплексной плэскости з = 1+ 1т) вдоль прямой а = сопз1, параллельной мнимой оси. Действительные числа 1 выбираются так, чтобы все особые точки подынгегральнэго выражения в (2) лежали в левой полуплоскости комплекснэй плоскости з(йез>з,) -ьаь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
