Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В качестве примера рассмотрим оператор т.кратного дифференцирования по независимой переменной х. Тогда результатом действия этого ет оператора на функцию у = ~(х) будет функция г = — „,„. Однако слеепу дует рассмотреть влияние у и х на г. Поэтому полагаем „= сопзЕ Очевидно, для удовлетворения этого условия достаточно положить у = Ах'", откуда А = —, где у и х — любые значения переменных, У х»' получаемые из соотношений у = ~<х). Пусть какие-либо значения переменных х и у известны илп заданы по условию (хь, ув). Эти заданные значения х, и у, называются параметрическими значениями.
Поэтому А — У" . Следовательно, г — —,. Уч Таким образом, закон построения г из величин х и у заключается в том, что г определяется как величина, пропорциональная у, в первой степени и обратно' пропорциональная х, в степени т. Только это соотношение существенно прн решении вопроса о структуре комплекса, отвечающего оператору г. Параметры хь и ув заданы по условию. ТЕОРИЯ ОБОБШЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 35 Таким образом, переход от производных к простейшим алгебраическим выражениям совершается без всякого труда.
Поясним этот переход на примере теплоотдачн нагретой пластины в окружающую среду. Если теплообмен происходит по закону Ньютона, то в соответствии с граничными условиями третьего рода имеем а(҄— Т,) = — Л( — ), » дтт х где Т„н Т,— соответственно температуры стенки и среды; а — коэффициент теплообмена, Л вЂ коэффицие теплопроводностн материала стенки.
(Индексами «п» отмечены величины, относящиеся к поверхности пластины.) дТ Положим теперь — = сопз(. В данном случае это требование не дх является заменой реального процесса условной схемой, так как оно действительно удовлетворяется при стационарном распределении температуры.
Таким образом, произведем переход от общего случая стационарного распределения температуры. Соответственно температура Т становится функцией одной только переменной — координаты х, В этих условиях имеем дТ ВТ (2) дх ! то уравнение (1) приведется к виду аЬТ = Л— нли зТ а — = — 1. ЬТ (4) Итак, в соответствии со свойствами процесса, которые определены основным уравнением (1), соотношение между температурным перепадом и температурным напором определяется непосредственно выражением — й Л В общем случае при переменном градиенте температуры ( — = чаг ), г дТ ( дх когда распределение температуры имеет вид, отличный от линейного, этот простой результат теряет силу, так как теперь уже нельзя пред- Г дТ ~ ЬТ ставить производную ~ — ) в виде — —.
~ дх )„ Однако, если положить то множитель з (астепень искажения») будет зависеть только от конфигурации кривой распределения температуры. Поэтому для всех температурных распределений, подобных между собой, х имеет одинаковое значение. Теперь уравнение (4) перепишется в виде ЬТ 1 а ГхТ ы Л где ЪТ вЂ” перепад температуры на толщине пластины 1. Если ввести еще понятие о температурном напоре ЬТ, определив его уравнением ЬТ =- ҄— Т„ (3) 36 Глава вторая ьт Таким образом, для определения отношения — в общем случае требуетьт ся знать в. Поскольку е для подобных распределений имеет одинаковые значения, поэтому, если для какого-нибудь одного распределения значение в найдено, то оно автоматически распространяется на все распределения, ему подобные. Несложные рассуждения, которые здесь приводиться не будут, показывают, что подобными являются те распределения, которым а отвечают одинаковые значения — й Но это значит, что коэффициент в х а есть однозначная функция величины — ( и, следовательно, уравнение (6) можно представить в виде (7) Этот результат важен в том отношении, что решение представлено в виде функции от одного аргумента, хотя совершенно очевидно, что распределение температуры обусловлено влиянием трех параметров: а, ( и Х.
Подлинный смысл этого замечательного факта заключается в том, что в соответствии с нашими представлениями о физической природе процесса (выраженными в основном уравнении) существенное значение имеет не каждыи из этих параметров в отдельности, а а вполне определенная их комбинация — й х Выражение — ( представляет собой характерный пример обобщенной переменной или комплекса, заданного по условию задачи. В теории подобия такие переменные принято называть критериями подобия и обозначать первыми двумя буквами фамилии ученого, особенно много сделавшего для развития данной области знаний. Для выражения — ( принято название критерия Био: х — ( = — В!.
(8) Следовательно, уравнение (7) можно переписать в виде ь т р ( В ) ) ьт (9) Вследствие перехода от первоначальных переменных а„(, Х к новой переменной В1 не только уменьшается число аргументов, но и совершается изменение в самой подстановке всего анализа. Действительно, если основными величинами взять а, (, Х, то для каждой совокупности заданных значений этих параметров получим некоторый частный случай. В противоположность этому, заданному значению В| вовсе не отвечает какой-либо частный случай, так как это значение может быть реализовано бесчисленным множеством различных комбинаций величин а,(, Х.
Таким образом, фиксируя значение В), определяем не одно конкретное явление, а бесчисленное множество различных явлений. Следовательно, в новом понимании индивидуальный случай (отвечающий заданному значению аргумента) — это не единственное явление, а бесконечная по численности группа подобных между собой явлений. В этом смысле можно сказать, что новые переменные являются обобщенными и, соответственно, весь анализ приобретает обобщенный характер. ТЕОРИЯ ОБОБТНЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Физический смысл уравнения (9) заключается в том, что заданным значениям В1 отвечают подобные между собой температурные распре- ЬТ деления, для которых отношение — имеет одно .
и то же значение. Однако решение еще не доведено до конца, так как исследуется нестационарный процесс. Необходимо выяснить, как определить те моменты времени, для которых получаются подобные распределения. Очевидно, что процессы в разных системах не будут развиваться синхронно, так как темп перестройки температурного поля зависит и от ь, и от Е Следовательно, возникает задача о правилах определения взаимно соответствующих моментов времени. Для решения этой задачи обратимся к основному уравнению теплопроводности, которым устанавливается связь между темпом перестройки температуры во времени и распределением температуры в пространстве. Для одномерной задачи имеем дТ УТ вЂ” =а —, дт дх~ где а — коэффициент температуропроводности материала пластины.
Если и в этом случае принять наш прием перехода к условной схеме дТ с постоянными значениями производных, то производную — можно да ьт, длТ 'Т, заменить через — ', а производную д — через и (индексы к и 1 оза начают соответственно изменения температуры за время ч и на протяжении 1). Следовательно, для рассматриваемой схемы можно написать (11) Если в какой-то момент (например, в начале процесса) распределения подобны, то это подобие может сохраняться только при условии, что соотношение между пространственными и временными изменениями всегда остается постоянным. Отсюда следует, что ач выражение —, для всех систем должно иметь одинаковое значение. При заданном начальном распределении температуры любое последуюшее распределение зависит от длительности процесса ч, коэффициента температуропроводности а и размера системы Е Но существенное значение имеет не каждая из этих величин в отдельности, а вполне аа ач определенная их комбинация —, Очевидно, выражение —, представляет собой обобщенную переменную, которую принято называть критерием или числом Фурье: (12) Отсюда ясно, что число Фурье имеет смысл обобщенного времени.
Поэтому его можно назвать числом гомохронности (гомохронность— Р однородность по времени; если для двух систем отношение — имеет одно и то же значение, то для них, очевидно, гомохронность переходит в синхронность). В своей последней работе А. А. Гухман [16) предлагает различать крите. рии подобия и числа подобия. Критерии подобия — это такие комплек- Глава вторая сы, которые целиком состоят из параметров, заданных по условию. вс т Характерным примером является критерий В1(В! = — ). Комплекс — является не критерием, а обобщенной переменной или числом Фурье. Однако, если по условию задачи задано некоторое характерное время, например, период колебания температуры окружающей среды (тв), то аналогичный комплекс —,' будет называться критерием Фурье ах Го' = —, В этом случае комплекс —, можно представить как произ- 1» ведегсие~ критерия Фурье —,,'" на безразмерную переменную «1«в параметрического типа, т.
е. Ро = — '., = Го'( — ). (13) В этом случае все критерии подобия являются безразмерными параметрами, а обобщенные переменные комплексного типа — числами. Вернемся к нашей задаче: р(В,Г ). ЪТ (14) Заметим, что это решение, определяющее температурные условия на поверхности пластины, можно перестроить так, чтобы оно было справедливо для любой точки внутри пластины. Будем фиксировать местоположение точек внутри пластины с помощью отношения хЛ.
Тогда, обозначив через Т текущую температуру, отсчитываемую от температуры окружающей среды как от нуля, а через Т, — некоторую заданную по условию температуру, будем иметь — = Ф(В1, Го,— ). Т / . х г Т, (, '1) 15) Отсюда видно, что в число аргументов, помимо В1 и го, входит х отношение —. Это отношение выражает одно из условий задачи «для точки, расположенной на расстоянии х от поверхности пластины толщиной 1, найти...» и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
