Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е. дх ду Рху = — Ч д|ах|ду. где у — нормаль к направлению движения х, гн„— скорость движения жидкости'~. Если коэффициент вязкости т1 очень велик (т1-ь ), то из уравнения (3) получаем классическое уравнение закона Пука Глава первая Это уравнение можно написать так: дТ дТ дп дТ дТ вЂ” + — — = — +юг — =О. д". дп дс д: дп (15) Производная от нормали к изотермической поверхности по времени есть скорость перемещения или скорость распространения изотермической поверхности.
Уравнение (11) показывает, что плотность потока тепла прямо пропорциональна температурному смещению АТ,объемнойтеплоемкости тела с~, квадрату скорости распространения ю~ тепла и обратно пропорциональна скорости распространения гог изотермической поверхности. й Л. УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В ЖИДКИХ И ГАЗОВЫХ СМЕСЯХ В газовых смесях и растворах перенос тепла теплопроводностью связан с переносом массы. При наличии температурного градиента в таких системах происходит термическая диффузия (эффект Соре), а диффузия вещества вызывает перенос тепла, который называется диффузионной теплопроводностью (эффект Дюфо).
Например, для бинарной газовой смеси плотностью Р (кг/мв) плотность потока тепла равна Ч ~ЧТ ОГО ЧРта 1= где Π— коэффициент взаимной диффузии (м'/сек), Є— относительная концентрация компонента 1 (Р„ = Р,,'о), Р, — объемная концентрация первого компонента смеси; (2) Рз+ Рв = Р' Ры+ Рвв = 1. Следовательно, ЧР1о = ЧРво. Удельная теплота Я* (дж/кг) нзотермического переноса, равная количеству тепла, переносимого единицей массы в изотермических условиях, может быть выражена через химический потенциал первого компонента смеси р, и термодиффузионный коэффициент йг .
'= ',": (';,'.),.. (3) Следовательно, поток тепла у зависит не только от температурного градиента ЧТ, но и от градиента концентрации ЧР,в. Плотность потока массы для первого компонента равна вг 3е =- — ОР ~ Ч Рго + — т — Ч Т) . (4) Таким образом, поток массы /, зависит от градиента концентрации ЧР„ и градиента температуры ЧТ.
Аналогичными уравнениями (1) и (4) описывается перенос тепла и растворенного вещества в растворах. В этом случае величина Рйг|Т называется коэффициентом Соре в(в = Ряг)Т). Поэтому процесс переноса тепла неразрывно связан с переносом массы и является комлексным процессом тепло- и массопереноса. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВБ! ПЕРЕДА ЧИ ТЕПЛА 15 Перенос тепла во взаимосвязи с переносом массы рассматривается в термодинамике необратимых процессов.
Поток какой-либо субстанции (энергии, массы, электричества и т. д.) обусловлен действием всех термодинамических сил Х (5=-1, 2, 3,...): Формула (5) является системой линейных уравнений Онзагера, она является основным соотношением термодинамики необратимых процессов. Величины ь! называются кинетическими коэффициентами, между которыми имеет место соотношение взаимности: Термодинамические силы Х, и потоки 1! должны удовлетворять основ- ной формуле термодинамики необратимых процессов т — „''з— = ~),Х,. (7) где 5 — энтропия рассматриваемон системы. Используя уравнение Гиббса и Т!!о' = !(и + ~сй~ — ~~ р,и ЙМи, и=! (8) х„= — т чт; х.,=г,— тч — т (9) где Ä— внешняя сила. С Учетом соотношениЯ ~~~~ 1и = О потоки энеРгии и массы с-го *=! компонента соответственно равны." и ), =7.„„— ! чт — ~ 7.„,~тч~ "' —," ) — (г, г„) ~, (1о) э=! и )т! = !и Т ЧТ вЂ” "~~~ 1!з !(ТЧ ( Т " ) (Ги Ги) ~ (11) и=! где ь„„, Е,, ь!„, Г.!и — кинетические коэффициенты Онзагера.
где и — внутренняя энергия, 1!» — химический потенциал, У вЂ” объем М вЂ” масса, и дифференциальные уравнения переноса энергии, массы по формуле (7), можно определить термодинамические силы Х, Например, в случае переноса внутренней энергии и массы в газовой смеси термодинамические силы равны: Глава аврваа Между потоком энергии 1„и потоком тепла 1 существует связь в виде и 3о = 3 —,>',лов» (12) о=! где йо — удельная энтальпия а-го компонента. В этом случае термоди- намические силы переноса тепла Х» и массы Х о будут равны: 1 Хо=Х = т ЧТ' Х о= (я1оо)г Тогда в отсутствии поля внешних сил (г =О) будем иметь о — ! 1 1 = — ~- ~ЧТ вЂ” ~~ ~~~~- вар(" — Рь))т (14) Рооо(Ро + Рооо(Ро = 0 (16) д (Но — и„)г будет равен Тогда будем иметь 1 Р.! — — от — С вЂ” дР„, оо Т о! (18) и! 1! = ~'оо т Ч Т ~'о! ЧРоо Роо (19) где через 1о', обозначено выражение 1 ар, ! 1, аРоо !р, т Сравним уравнения (18), (19) с уравнениями )о.== д, находим ьоо е и !о! е,! (1) и (4) и, полагая оо Роо аг = 1 ооР ! (20) Аналогичным методом рассматривается молекулярный перенос тепла во взаимосвязи с переносом других субстанций в более сложных си- стемах.
$ о. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Для решения задач, связанных с нахождением температурного поля, необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности. Под дифференциальным уравнением обычно понимают математическую за- Кинетические коэффициенты Лоо, Е о, Е!~, Е! выражаются через коэффициенты переноса тепла и массы. 1)ри постоянном давлении (р = сонэ() для бинарной газовой смеси (и = 1, 2) в соответствии с уравнением Гиббса — Дюгема ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛА 17 висимость, выражаемую дифференциальным уравнением, между физическимии величин а ми, характер изующими изучаемое явление, причем ! эти физические величины являются Чк ! Чк,ак функциями пространства и времени. 1 Такое уравнение характеризует ау 1 протекание физического явления в 1 ' ! любой точке тела в любой момент времени.
1 1 1 1 1 Дифференциальное уравнение 1 1 теплопроводности дает зависимость ! между температурой, временем и о 1 l координатами элементарного объема. 1 /ау ! х Вывод дифференциального урав- к ск кения сделаем упрощенным методом. Предположим, что имеется одномерное температурное поле (тепло распространяется в одном направлении, например в направлении оси х). Термические коэффициенты считаем не зависимыми от координат и времени. Выделим в однородной и изотропной неограниченной пластине элементарный параллелепипед, объем которого равен к(хоук(г (рис.
1.3). Количество тепла, втекающего через левую грань к(ус1г в параллелепипед в единицу времени, равно д с(ус(г, а количество тепла, вытекающего через противоположную грань в единицу времени, равно Ч, с(ук(г. Если Ч > Ч,л, то элементаРный паРаллелепипед бУдет нагРеватьсЯ, тогда разница между этими потоками тепла по закону сохранения энергии равна теплу, аккумулированному данным элементарным параллелепипедом'), т. е. Чхс(уг)г — Ч +лкг(укуг = с) д с(хс(у!(г.
дТ Величина Чх, „есть неизвестная функция х. Если ее разложить в ряд Тейлора и ограничиться двумя первыми членами ряда, то можно написать: дух Ух+ах Чх + Тогда из равенства (1) будем иметь: — — ' с(хс(ук(г = с7 — «1хк(ук(г . дяк дТ дх дк ПРименЯЯ УРавнение теплопРоводности Чх = — Л вЂ” , полУчим дТ дТ УТ ст — =Л вЂ”, дк дхк 1) Аккумулированное тепло вычисляется по элементарному соотяашеявю А4 = сМА Ь' = с)РАЗ. где ЬЭ вЂ” приращение тсмпературыведявяцу времени в теле, масса которого равна М, а объем )1, с — удельная теплоемкость.
Глава первая 18 илн дТ д'Т вЂ” =- а —. де дхе (2) Уравнение (2) есть дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного потока тепла. Если тепло распространяется по нормали к изотермическим поверхностям, то вектор (1 можно разложить на три составляющие по координатным осям. Количество аккумулированного элементарным объемом тепла будет равно сумме Тогда дифференциальное уравнение примет вид (3) д' д' д' где ()Я = — + — + — — оператор Лапласа (выражение оператора дхв дав дге Лапласа в сферических и цилиндрических координатах дано в приложении).
Иногда внутри тела имеются источники тепла. Источники тепла могут быть положительными и отрицательными. В качестве примера отрицательного источника тепла можно считать испарение влаги внутри материала при нагревании. Пусть удельная мощность (количество поглощаемого или выделяемого тепла в единицу времени в единице объема тела) этих источников будет равна ш (вт)л(в). Тогда количество тепла, выделяемого в элементарном объеме в единицу времени, будет равно п)((х((у((г; это количество тепла надо вычесть из аккумулированного тепла, чтобы сохранить равенство (!).
После аналогичных преобразований дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками тепла будет иметь вид — = а гГЯ)(Т + — . 'дТ и дя ст Дифференциальное уравнение (3) можно вывести более общим методом, воспользовавшись формулой Остроградского — Гаусса. Пусть имеется некоторая среда, в которой можно выделить объем 1~, ограниченный поверхностью 5. Тепло распространяется в этой среде путем теплопроводности. Количество тепла, прошедшего через поверхность 8 в единицу времени, согласно соотношению (2) 8 2, будет равно ~ Л йга() Т Ю = ~ Л 1„ йга(( Т((3 (в) (в) — ( с" ТсЬ = ~ ст — ()и дх 1 ' ) дх (г) (г) (здесь интеграл берется по всему объему У).
По закону сохранения энергии изменение внутренней энергии среды (здесь интеграл берется по всей поверхности 3). При отсутствии источников тепла этот тепловой поток вызовет изменение внутренней энергии среды в данном объеме в единицу времени на величину ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВБ1 ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛА 19 в объеме У равно потере тепла через поверхность 3, ограничивающую данный объем, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
