Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 8
Текст из файла (страница 8)
д. Такого рода отношения, вводимые непосредственно на основанпи условия задачи, называются переменными параметрического типа. Очевидно, отношение Т1Тв в левой части уравнения также представляет собой параметрическую переменную, так как и оно отвечает определенной части условия задачи «...найти температуру Т, если начальная температура равна Т,». Таким образом, в теории обобщенных переменных различают безразмерные величины: критерии подобия и безразмерные переменные. Критерии подобия, состоящие из постоянных безразмерных параметров задачи, могут бьсть двух видов. Критерии подобая" параметрического вида предппавляют собой отношение одноименных параметров, заданных по условию задачи (отношение длины к еысотпе или шириньс к вьссоте параллелепипеда и т. д.).
Критерии комплек~ного типа объединяют разнородные параметры (критерии Био, Фурье и т. д.). Опгносительные переменные являются отношением переменной величины к постоянному параметру или к их комбинации. Поэтому розличакт два типа относительных переменных. Наиболее простой тип переменной — гто отношение текущей переменной к одноименному параметру (хП, Т1Т, и т.
д.). ТЕОРИЯ ' ОБОБТНЕННБ!Х ПЕРЕМЕННБ1Х Зй Если параметр, соответствующий данной переменной, не задан, то строится комплекс, состоящий из переменной и ряда разнородных параметров, например, —,, где !'1а является комплексом разчородных параметров, имеющим размерность времени. Такие переменные комов плексного типа будем назь!вать числами (число Фурге Го = —,) . — Р). В качестве примера можно привести решение задачи о нагревании пластины в среде при наличии постоянного источника тепла мощностью (е' (вт 'мь. ч).
Решение этой задачи в наших обозначениях можно написать так (см. гл. 1Х, 5 2 — 4): = ~/В1, —, Ро, Ро), т,— т (16) где Т, — температура среды, Ть — начальная температура тела, Ф'р Ро = Х (Тс Тч! (1 7) Если по условию задачи Т, и Т, заданы, то комплекс Ро является параметром и он будет критерием подобия (критерий Померанцева), а 1 Т вЂ” Т. величина ( - †) является относительной переменной. (,т,— т,) Однако, если рассматривается стационарная задача (Ро -ь ), то начальная температура Т, не ехздит в решение задачи, а температура среды Т, может служить в качестве начала отсчета температуры тела (Т вЂ” Т,). Тогда кгитерий Померанцева т< ряет свой физический смысл.
В этом случае относительной переменной будет являться величина (18) .(Т„Т,) = 1® п (19) формально совершенно тождественное уравнению (1). По существу оба уравнения, конечно, различаются тем, что сюда входит коэффициент Комплекс разнородных параметров )Р1'11 имеет размерность температуры и служит в качестве заданного температурного параметра. В качестве второго примера можно привести различие между критерием В! и числом Нуссельта (чп. Критерий В!, играющий важную роль в теории температурного поля твердого тела, представляет собой отношение термического сопротивления стенки (111) к термическому сопро- 1 1 тивлению передачи тепла на поверхности ~ — ), причем оба сопротива ления непосредственно заданы по условию задачи. Таким образом, В( является параметром, т.
е. критерием пгд бия. В противоположность этому при исследовании процессов теплообмена между твердым телом и окружающсй средой коэффициент тепло- обмена а является величиной неизвестной и подлежащей определению. Поэтому вводится новый компл кс, содержащий а. Этот комплекс получается из рассмотрения прсцесса теплообмена на основе предположения, что у поверхности твердого тела образуется жидкая пленка, через которую тепло передается только теплопрзводностью. В таком случае можно написать уравнение Глава в»арал 40 теплопроводности 1 жидкости (а не твердого тела) и производная гдт» ~дх)» определяется в приближении к поверхности со стороны жидкости.
Обработка этого уравнения методами теории подобия приводит к уже знакомому выражению — 1. На первый взгляд представляется, что полученный результат отличается от критерия В1 только тем, что он содержит коэффициент теплопроводности жидкости. В действительности же различие гораздо глубже, так как теперь а является величиной неизвестной и, следовательно, комплекс должен быть отнесен к категории относительных переменных или чисел. Поэтому целесообразно ввести здесь новое обозначение и новое наименование. К настоящему времени вполне установилось наименование числа Нуссельта и обозначение Ии.
Число Хц всегда выступает в уравнениях теплообмена в качестве функции. Приведем наиболее часто встречающиеся числа и критерии подобия: Критерий Био В! =-Н»г = — "„И ас Л » Кирпичева К1 = „ » Кондратьева Кп = Я» ~ дг, » Предводителева Рб = ( — '~~, =(дг ) %'И» » Померанцева Ро .=- к (т, — т.) аР » Фурье Ро = — —, »1 Число Нуссельта Ии = — '„ Фурье Ро = а»Я» Таким образом, решение задачи должно быть представлено в форме безразмерных величин, которыми искомые относительные переменные определяются как функции независимых относительных переменных и критериев подобия, играющих роль постоянных параметров:' уг =- ~ ( хп Пг Р,)) (1 = — 1, 2, 3,..., п), где уг — искомая переменная, х,:" — независимые переменные, П, — критерий комплексного типа, Р,.— параметрические критерии.
Если вид функции уравнения (20) найден для какого-либо частного случая с помощью численного решения уравнений или путем эксперимента, то полученный результат автоматически распространяется нг бесчисленное множество явлений, которые объединяются вместе с исходным случаем в одну группу при выполнении следующих требований (которые необходимо удовлетворить для того, чтобы одинаковым значениям критериев действительно отвечали подобные явления): 1) геометрическое подобие систем; 2) подобие их физической структуры; 3) подобие начальных состояний; 4) подобие условий на поверхности взаимодействия систем с окружающей средой. ТЕОРИЯ ОБОБШЕНИЫХ ПЕРЕМЕНИЫХ 41 В заключение необходимо отметить, что любая комбинация критериев подобия есть также критерий подобия.
Произведение относительной переменной на любую комбинацию критериев подобия есть также относительная переменная. Возможность комбинировать критерии и относительные переменные имеет важное значение для рационального построения решений задач тепло- и массообмена. й 2. ОпеРАциОннОе исчисление и теОРия пОдОБия Критерии подобия получаются из дифференциального уравнения и граничных условий в результате перехода от дифференциальных соотношений к алгебраическим.
Этот способ перехода имеет связь с методами операционного исчисления. Уравнение (11) 2 1 является отношением температурных разностей, преобразованных по времени и по координатам, т. е. число Фурье есть отношение преобразованных разностей температур. Отсюда возникает идея нахождения критериев подобия по отношению не оригиналов функций, а их изображений.
Известно, что оператор Хевисайда р, введенный по отношению к временной переменной в,~дает следующие соотношения: ет . —, ет — =рТ вЂ”;Т;, — „='рмТ вЂ” рм 'Т(0) — .. — Тм "(О); 1,(1) 1 . 1 . 1 1 . ВЯ 2 р р ' 2! р ',т! 1 ч м э (2) где~=', — знак операционного соответствия. Следовательно, замена производных отношением исследуемой физической величины к переменной в степени т, по сути говоря, есть переход от оригинала функций к ее изображению по Карсону — Хевисайду, Это отвечает сущности самого аналитического преобразования.
Операционные методы есть математические методы, преображающие символы одной операции в символы другой: — — р'"Т=" — т!, „если Т(0) = Т'(О) =... =,Т~ '(О) = О. ~~((3) Квт ° †. Т Метод Карсена — Хевисайда является методом интегрального преобразования, он позволяет расчленить операции, ввести дробные дифференциаторы и интеграторы> например, р — ' —; р —. †. ОпеЖ рация интегрирования заменяется оператором 1, в этом случае при определенных условиях существует взаимосвязь между( и оператором: ~Я р ' =! Ф т, р ~ =1=: — и т. д. Поэтому для получения критериев подобия можно воспользоваться не только системой дифференциальных уравнений, но и системами смешанных интегро-дифференциальных уравнений. Это обстоятельство дает определенное преимущество операторным методам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
