Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 17
Текст из файла (страница 17)
е. Г" (х) = Т, = сопзй В атом случае уравнение (8) примет более простой вид Ть (х, з) — — '1Т (х, з) — — '1 = О. (9) Общее решение данного дифференциального уравнения 'для изображения можно написать так (см. й 2, гл. П1): Т,(х, з) — —" = А,е~' +Взе Глава четвертая Следовательно, постоянная В, = — ' ', так как Т,) Т,. Тогда решение для изображения примет вид Т т,— т, — У вЂ” ', — ' — Т(х,з)= ' е е с ' е Применяя аналогичный прием перевода изображения в оригинал, т.е. обратное преобразование Лапласа, получим Т,— Т(х, ч) = (Т, — Т,) ~1 — ег1 ( " )1 = (Т,— Т,) ег(с ( где ег(с(и) = 1 — ег1(и). Это решение можно написать так: Т(х, х) — То .
(' х = ег1 ( (16) 9(х, 0) = О, Ь(0, ч) = То — Т, = сопя(, дз(' ) 0 дх Так как задана температура на поверхности (х = 0), то воспользуемся синус-преобразованием Фурье: оо г', [6(х, х)) = йр(ч, р) = ) 6(х, х) з(п рхг(х. о (18) Применим это преобразование к дифференциальному уравнению (1): ~ дТ(х, х) ~ В [ д'Т(х, х) ~ Вначале вычислим преобразование от правой части уравнения т.
е. получаем выражение, тождественное (6). Решение (16) непосредственно следует из (13), достаточно только заменить начало отсчета температуры, но здесь приведены подробные расчеты, чтобы показать применение преобразования Лапласа к постоянным граничным условиям, отличным от нуля. Решение поставленной задачи с заданным начальным распределением температуры )".(х) можно получить аналогичным путем, только надо исходить из дифференциального уравнения (8) для изображения. В результате получим то же решение (4).
Решение задачи методом преобразования Фурье. В нашей задаче температура Т, = 0 при х = О. Начальная температура Т(х,О) = Т, = = сопз(. Температура на бесконечно большом расстоянии не изменя- дТ(оо, х) ется, т. е. ' = О. Для удобства расчета задачу на охлаждение дх (То> Т,) сведем к задаче на нагревание путем введения функции 9(х, ч) = Т, — Т(х, х).
Тогда граничные условия будут иметь вид ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА д'Ь(х, с) (х сс з(прх ( ' ) с(х = — рЭ(х, *)сов рх + д сх х=о о сэ з! п рх ~ — ро ~ 9 (х, с) з1п рхг]х = р (Т, — Т,) — ройр(р, с), дЬ (х, с) дх х=о о (19) так как при х = О(, с) = 0 и Ь(0, с) = Т, — Т;, ( ' ) =О. Сле- дх довательно, имеем ЫЬР— = ар(ТΠ— Т,) — арсйр(р, с).
Интегрируя уравнение (20), с учетом начального 3„(р,) = с — с (1,„р( роас)] Р Воспользуемся формулой обращения (20) условия, получим (21) Ь(х, с) — (1 — ехр ( — р'а с)] з1 п рх — . 2 Р 2 'х Р (т. — т0 Известно, что с о сэ 2 à — р«ас . ВР «т Х вЂ” е з)п рх — = ег1 х Р 2 )т ас,«с о Тогда получим т,— т(х,,) 1 х Тс — Тс ), 2)тас (22) или Т(х, ) — Т, .( х = егг со,= — «( — '") с = — «Ст.— т«( — ''( .«( * )]] + ~-'(,';с М вЂ” .=', " (- "- ) При х = 0 экспоненциальная функция равна единице.
Тогда получим (в вг)тио): — — * ]l Лс ~ (То — Тс): ° (23) ! дЯх Л (Т, — тс) ]т тсох гсж т. е. решение (!6). Определение потери тепла. Определим потери тепла на конце стержня прн охлаждении. Потери тепла с((), за время с(2 через единицу площади равны 80 Таким образом, скорость теплоотдачи с единицы поверхности, или плотность теплового потока, прямо пропорциональна разнице температур (Т, — Т,), некоторому термическому коэффициенту $' Лс7 и обратно пропорциональна 3Т т. Следовательно, в первые моменты времени скорость теплоотдачи бесконечно велика, а затем постепенно уменьшается.
Термическую постоянную 3/Лг.! называют коэффициентом тепловой активности тела'>, или коэффициентом аккумуляции тепла а = 3/ЛеТ , "он измеряется в единицах дак/маград секут. Соотношение (23) можно было получить операционным методом, а именно ь [ч) = — Л вЂ” (1-(Т(х, т))]х з — Л дх Лх Дифференцируя по х решение (15) для изображения, получим 7() ) То — Тс 1/з а ' )ТЛЕ (Т Т) 1 Пользуясь таблицей изображения, находим !7 = — 3/Ът (Т вЂ” Т,) —, 1 Г кт (24) т. е.
получаем то же соотношение для скорости теплоотдачи. Такой метод для определения теплопотери из решения для изображения во многих задачах является наиболее простым. Количество тепла, отдаваемого в течение конечного промежутка времени т, найдем путем интегрирования в пределах от 0 до т, т.
е. 9, = Я,, о — ~ и (Т, — Т,) — г(~ = 1~,, о — (Т, — Т,) т . ! 2а У' ' У'к (25) Таким образом, количество тепла (Я,,о — !'„),), отдаваемого единицей поверхности конца стержня, прямо пропорционально корню квадратному из времени, разности температур (Т, — Т,) и коэффициенту тепловой активности. Количество тепла, отдаваемого всем концом, площадь которого равна 3, будет равно Ла = 2' (То — Т,) Б Р ..
(26) Анализ решения. Напишем решение (16) в критериальной форме. т\х, т) — Т, Отношение ' ' является относительной избыточной темпе- Т.— Т, ратурой. Обозначим это отношение через 0, т. е. Т (х. х) — Тс Т,— Т, (27) И О физическом смысле коэффициента тепловой активности тела см. и гл. Х, Отношение — является числом гомохронности для процессов чистой хэ го„ О,О8 0,06 0,04 1,О1 о, о, 7 0,9 0,6 0,8 о 0,2 0,4 0 4,0 8,О 12,0 16,0 20,0 Ш вЂ” ь Рис.
4 4. Зависимость между относительной избыточной температурой 8 и числом Фурье Ро» для полуограниченного стержня (случа» малых значений чисел Фурье 80 00 ро О 60 20 4 1,0 2Г 0.08 0,0 ,01 0.0 200 400 600 800 — ~ ! ро Рис. 4.5, Зависимость между относительной избыточной температурой 8 и числом Фурье Го» для полуограниченного стержня (слу чай больших значений чисел Фурье Глава кетвертая о о ж ,О сч о ж о М о. О с 6 О о о о о Ф Ц к о а о са со о о, о 6 о.
о о й о о о о с с и о й о о о Сб о о а с' СР со со о со ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЛЕРВОГО РОДА 83 теплопроводности, называемым числом Фурье для координаты х; обозначим его через го„, т. е. Го„=— хз Тогда решение (16) напишем так: (28) На рис. 4.4 и 4.5 приведены графики, построенные по решению (28). По оси ординат отложена безразмерная температура О, а по оси абсцисс — безразмерное время (число Фурье).
Приведенные графики могут служить в качестве расчетных. С этой целью начерчено несколько кривых для чисел Фурье от 0,02 до 1000. На рис. 4.6 приведены графики, характеризующие изменения 0, дВ д — о,з х — и Го„в зависимости от числа г'о . Из рис. 4.6 видно, что дх " дрох 1 1 дВ дВ при значении , равном — , производные — и имеют 2 В> Рох В'2 ах аро, максимум. Иллюстрируем изложенное конкретной задачей. Требуется определить температуру грунта Т (х, т) на глубине х = 0,5 м, если в результате подогрева поверхность грунта поддерживается в течение с =24 ч при температуре Т(0, т) =1273'К (!000'С). Температура грунта до подогрева Т (х, 0) = 293'К (20'С), коэффициент температуропроводности грунта а = 7 10 ' ма/сек.
Данная задача — на нагревание полуограниченного тела; ее можно свести к задаче на охлаждение путем замены переменной Э(х, т) = 1273 — Т(х, т). Тогда Э(0, т)= = 1273 — Т(0, т) = 0', Э (х, 0) = 1273 — Т(х, 0) = 980' = сопя(. Найдем число Фурье для координаты х = 0,5 м: 710>24 Рок= '3600 = 0 24 25-10 а По графику В = 7(го ) находим относительную температуру; она равна В =0,852, откуда температура грунта будет равна э(х, ) — о В= ' =0,85; Э(х,т)=0,85 980=833', 98О-О Т (х, т) = 1273 — В(х, т) = 1273 — 833 = 440'К(167'С).
В данной задаче предполагается, что испарение влаги из грунта отсутствует. При наличии испарения влаги температура будет меньше. Задачи с отрицательными источниками тепла рассматриваются в гл. Ч111. В 3. ИеОГРАниненнАя плАстинА Под неограниченной пластиной обычно понимают такую пластину, ширина и длина которой бесконечно велики по сравнению с толщиной. Таким образом, неограниченная пластина представляет собой тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями.
Изменение температуры происходит только в одном направлении х, в двух других на. ! дТ дТ правлениях у и г температура неизменна ( — = — = О). Следова(, ду дх тельно, задача является одномерной. Постановка задачи. Дано распределение температуры по толщине пластинье в виде некоторой грункции Г(х). В начальный момент вре. мени, ограничивающие поверхности мгновенно охлаждаются до неко- Глава четвертая 84 торой температуры Т„которая поддерживается постоянной на протяжении всего процесса охлаждения. Найти распределение температуро1 по толщине пластины и расход тепла в любой момент времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
