Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Поместим начало координат в середину, толщину пластины обозначим через 2К, т. е. )с — половина толщины пластины. Условие задачи математически может быть сформулировано следующим образом. Имеем дифференциальное уравнение (т ) 0; — К ( х ( +Я) (1) при условиях Т(х, 0) = Г(х), Т(-~-)с, т) = Т, = сопз1, Т( — тс, ч) = Т, = сопз(. (2) (3) Решение задачи методом разделения переменных. Предположим, что функция Г(х) четная, т. е. Г(х) = Г( — х); поэтому [ ) = О. т д1(х) 1 дх )х=о Для этого случая граничные условия (3) можно написать так: ТЯ, ч) =Т,, дТ (О, х) = О.
(За) дх Последнее соотношение есть следствие условия симметрии кривой рас- пределения температуры в любой момент времени; оно будет иметь место на протяжении всего процесса охлаждения, поскольку теплооб- мен с ограничиваемых поверхностей происходит одинаково. Случай, когда функция Г" (х) нечетная, будет обсужден ниже. Частное решение дифференциального уравнения (1) можно написать так [см. 2 2, гл. Ш, решение (20)): Т(х, т) = С япйхе '~'+ Р сов йхе '~' .
(4) Из условия симметрии следует, что = 1'пп ())С сов йх — яРяпйх) е '~ ' = йСе '~ ' = О, дх х о откуда С = О, так как е ' ' на протяжении всего процесса охлаждения (0(т( ) не равно нулю. К этому результату можно прийти из анализа условий охлаждения пластины. Распределение температуры должно быть симметричным относительно оси ординат, следовательно, должно описываться четной функцией.
Такой функцией является соз йх, а яп йх есть нечетная функция х, она должна быть опущена из решения. Удовлетворим второму граничному условию. Для упрощения расчета временно положим Т, = О. Имеем Т ()с, ч) = Р соз Ме 'м' = О. Отсюда следует 1 3 5 СОЗя)С = О, ятС = — и; — я; 2 2 2 й Р =- (2п — 1) —, и 2 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА 85 т.
е. «имеет не одно значение, а бесчисленное множество. лл Т(х, с) = а. Ри соя(2п — 1) — — ехр ( — (2п — 1)' — — 1. 2 4 А!1 и=! (6) Постоянные Ри в каждом частном решении будут иметь свои собственные значения, поскольку сумма частных распределений температуры для любого заданного времени должна описывать действительное распределение температуры. Таким образом, наложение косинусоид должно дать действительную кривую распределения температуры, в том числе и начальное распределение температуры. Следовательно, положив с = О, получим заданную функцию Г" (х), причем она будет представлена в виде ряда Фурье <л Т(х,О) = ~(х)= ~~ Рисоя«их.
и=! Тригонометрические функции соя«х и я(п«х образуют ортогональную систему функций. Напомним читателю, что система функций 11(х) 12(х) 1л (х) ~ ' ~ 1и(х) называется ортогональной в интервале (а, Ь), если интеграл ь ) Г! (х) Г'; (х) а!х = О (8) л при любых значениях ! и 1, но не равных друг другу. Можно, например, показать, что система функций соя«их является ортогональной: -)-л ( =О при т+и, соя («тх) соя («их) с(х !)О при т=п. Преобразуем подынтегральную функцию при помощи формулы соя а соя р = — (соя (а — р) + соя (а + р)). 1 2 (9) Тогда интеграл 1 будет равен я!п(« — «„)Е + !п(«+«„)П («и! «л) («л! + «и) Воспользовавшись тригонометрической формулой я(п(а ~ р) = я(пасояр ~ совая(яр, получим л 2 1«т Мп «и! Есол «иŠ— «„соя «а П л)п «ий) (10) ( «я — «з) В нашем случае й )с=(2т — 1) —; «)с = (2п — 1) —.
Следовательно, 2 2 Следовательно, общее решение будет суммой всех частных решений, т. е. Глава четвертая 86 созй 14 =- соз(е„)с = О. Числитель равен нулю, а знаменатель при т+и отличен от нуля, следовательно, интеграл равен нулю. Случай т = п надо рассмотреть отдельно, так как числитель и знаменатель равны нулю. В этом случае имеем +я (2 4ел т. е. интеграл отличен от нуля. Воспользуемся этими формулами для определения постоянных коэффициентов Р„. Умиожим обе части равенства (7) на соз(г х и проинтегрируем в пределах от — 14 до + И, т.
е. +я +я Т(х, 0)соз(е хйх = ) 2,' Р,соз(е„хсозя хйх = — я — я в=! чч +я Р„соз(е„хсозя хйх. л=! — я (12) Все интегралы в правой части равенства равны нулю согласно соотношению (9), за исключением одного, который равен 1 — „= )с, когда т = п. Следовательно, можно написать: Р„= — ) Т (х,О) соз (е„хйх = — ) Т(х,О) соз (е„хйх. (13) При выводах неявно использовались два предположения: 1) интеграл (13) имеет конечное и определенное значение, 2) интеграл бесконечного ряда равен сумме интегралов отдельных членов ряда. Эти предположения требуют, чтобы функция 1(х) удовлетворяла условиям Дирихле: 1) в определенном интервале она должна быть однозначной, конечной и интегрируемой, 2) иметь конечное число максимумов и минимумов, 3) иметь конечное число точек разрыва непрерывности.
Таким образом, общее решение (6) нашей задачи можно написать так: Э Т(х,ч) = ~~~!~совр„е ° — г! 1(х) сов и„— йх, где (ч„= (г„)с = (2п — 1)— 2 Это решение является одновременно решением задачи нахождения температурного поля в неограниченной пластине толщиной 1 = 14 (О < х < 1), когда одна поверхность ее имеет тепловую изоля- дТ (О,ч) цию (при х = 0 поток тепла отсутствует, так как = 0), а противоположная поверхность х = 1 поддерживается при температуре 0'С.
В начальный момент времени задано некоторое распределение ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА 87 температуры в виде функции Дх), причем в этом случае функция Г(х) может быть любой, лишь бы удовлетворяла условиям Дирихле. Если функция Г(х) нечетная, то аналогичным путем получим решение в виде (14') так как яп Р = з!п(2п — 1) — =~1 „т.е. синус последовательнопринио 2 мает значение +1 или — 1 в зависимости от величины аргумента (для четных п синус равен — 1, для нечетных он равен+ 1). Таким образом, решение нашей задачи можно написать так: оо Т(х,.) хо 2 он х ( — 1)' соз й„ехр ( — вх —,~ .
Г з ахз о=1 Если температура ограничивающих поверхностей не равна нулю, а равна Т„как это следует из условий задачи„то можно решение переписать в виде (1 5) (16) Решение задачи операционным методом. Дифференциальное уравнение теплопроводности после применения преобразования Лапласа будет иметь такой же вид, как и в предыдущей задаче, т. е.
Т," (х,з) — — Ть(х,з) + —" = О. Начальное условие Т(х,О) = Т, = сопз( нами использовано при переходе от уравнения в частных производных для оригинала Т(хо) к уравнению (17) для изображения Т (х,з), а именно при применении преобразования Лапласа к производной температуры по времени. Граничные условия для изображения будут иметь вид Т, (1с,з) = — ', Т; (О,з) = О.
(18) где 1х„= пя. Решение (14') одновременно является решением задачи охлаждения неограниченной пластины толщиной 1= К(О( х( 1), когда поверхности ее поддерживаются при температуре ОоС (начало координат находится на одной из поверхностей пластины). В начальный момент времени задано распределение температуры в виде произвольной функции Г(х), удовлетворяющей условиям Дирихле. Если начальное распределение температуры равномерное, т.
е. Т(х,О) = То = сопз(, то можно вычислить интеграл (13): л 2 Г х 2То . х 1Л И 2ыпе„2То — ) Т,соз1х„дх=- — ' з(п 1х„— ~ — = "Т,= ' ( — 1)"", ДЗ ' оИ И о И ~ое ео ' е о 88 Глава четвертая Решение дифференциального уравнения (17) можно написать так (см. ~ 3, гл. Н1): Т, (х,з) — — ' = АсЬ )/ — х+ ВзЬ 1/ — х, (19) где А и  — постоянные, определяемые из граничных условий (18). По условию симметрии В = О, так как Т (О,з) — ~~~ Аз)1 $/ — х+ $/ ВсЬ $/ х ~ — $/  — О, откуда В = О. Постоянную А находим из первого граничного условия (18) Т Я,з) = — ' + Ас)г )Гà — 1с = — ' откуда (20) (22) откуда аив (ла — 1)вяза т в (23) и 1зз 4~~а 11 Бесконечный сходящийся степенной ряд, показатели степени которого есть натуральные числа, называют обобщенным полиномом. или полиномом бесконечно высокой степени.
Иногда сокращенно будем называть его просто полиномом. (т. — т1 ась $/а й г а Таким образом, решение для изображения будет иметь вид (Тз — Тс) сй 1/г а х в сь 1à — 1с а Можно показать, что правая часть равенства есть отношение двух обобщенных полиномов'1 относительно в, а именно Ф(5) =(Те — Тс)сЬ ~/ — х — (Те — Тс)(1 + з + з з + ") г х12 пч Ф(~) = (1+ 21 + 41 з +'") Обобщенный полипом ф(з) не содержит постоянной (первый член равен з), т. е.
все условия теоремы разложения соблюдены, поэтому ее мож- но применить прн переходе решения для изображения (20) к решению для оригинала. Теорему разложения можно написать так: л в =1 где з„— корни полинома у(з). Найдем корни функции у(з) = з.с)1 1/ — '14, для чего приравняем ее г а нулю. Тогда получим: 1) простой корень з = О, 2) бесчисленное мно- жество простых корней, определяемых из соотношения ~/ — '" г= р„=(~ — 1) — ,', 89 Имеем 1пп !р'(з) = 1, в е 1 11ш(!'(в) = 2 !Р з" гр з 3 и 1 = — 2 р„з1 п р, = ('(в.). Ф(в„) = (Т, — Т,) сЬ ~г/ — '" х = (Т,— Т,) сЫЄ— = (Т,— Т,) созр„— Окончательно (получим (т,— тс)сз1/ ' и г а Ь-! ~ — — Т, (х,а)~=Ь ' з.сЬ 1/ — Е р а 4О Т,— Т(х т) = (Т,— Т,) — (Т,— Тс),~~~ — ( — 1)а'з соз р, — ехр ( — рз —,), !-'л и ! т.
е. решение тождественно решению (16): ОЭ т т ' — г~ А„соз р.„й ехр( — рз го) а= ! (25) 2 ас где А„= — ( — 1)"" — начальная тепловая амплитуда, го = —, — чисрл ло Фурье. Анализ решения. Относительная избыточная температура является функцией относительной координаты и числа Фурье: 8=Ф( —, Го) Следовательно, процесс охлаждения состоит из процесса постепенного выравнивания температуры по толщине пластины (температура на ограничивающих поверхностях все время одинакова и равна Т,), ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА Затем найдем )'(в): зЯ ,) (в) = з)1У вЂ” ')т+ с" У— =2,-„У а У а 1'у ' )з 1 ~/ — ')р-). с)!1/ — Я (24) Величина з(п Р„ равна + 1 или — 1 в зави- симости от значения и, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
