Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 19
Текст из файла (страница 19)
е. яп р„= ( — 1)""'. Найдем величину Ф(з„): Ф(0) = Т,— Т„ Рис. 4Л. Распределение тем- пературы в неограниченной пластине (внутреннни симмет- ричнаи задача) Глава четвертая 90 1,О 0,8 о, о, , Ро , Ро 4 ..х 4 Злх 4 2ЯЯ ! 5ях 0 = — е " соя — Ях — е соя — '+ — е соя — '. Я 2й Зт. 2й Бл 2й' Из рис. 4.8 видно, что сложение трех косинусоид с различными амплитудами и частотами дает кривую распределения температуры в данный момент времени, определяемый равенством Го = 0,05.
При малых значениях Го необходимо брать несколько членов ряда, поскольку амплитуды затухают медленно; прн больших значениях Го все члены ряда пренебрежимо малы по сравнению с первым, так как 91 < !Да < ра« ' Рл = (2п — 1) 2 Экспоненциальная функция ехр( — ряГо) быстро уменьшается с увели- 1 чением р„; например, при Го = 0,5 ехр ( — р', Го) = ехр ~ — —, 2) -1 0,5 о 0,5 „ ! и Рис. 4.8. Распределение температуры и неограниченной пластине при числе Фурье Ро = 0,05.
Косинусоиды построены по формуле Ал едр ( — И2 Ро): 1 — Д ЯЯ л = 1! !1 — ДПЯ л = 2, 111 — ДПЯ и = 3 скорость протекания которого определяется коэффициентом температуропроводности. 7'акой процесс теплвобмена называется внутренним процессом, а сама задача — внутренней задачей. Распределение температуры в неограниченной пластине в различное время приведено на рнс. 4.7. Из анализа решения (25) видно, что оно представляет сходящийся ряд, т. е. алгебраическую сумму косинусонд с постепенно затухающими амплитудами, определяемыми выражением 2 А„Š— !"Пио т.
Е. ТЕПЛОВЫЕ аМ- плитуды убывают как с увеличением рл, так и с течением времени. Циклическая частота таких косинусоид увеличивается с увеличением и, так как она равна (2п — 1)74. На рис. 4.8 дано распределение температуры по толщине пластины для числа Го = 0,05, построенное по решению (25). Кривая распределения температуры с достаточной степенью точности может быть представлена как сумма трех косинусоид: ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА 91 х~ = 0,291, а ехр( — (хххро) = ехр~ — 9 а ) < 0,00004.
Поэтому, начиная с определенного значения Ро, можно ограничиться одним первым членом ряда (25). Такое решение будет удобным для практических расчетов. Для малых значений Ро решение (25) мало удобно. Операционный метод позволяет получить решение задачи в другой форме, наиболее пригодной для малых значений Ро. Вернемся к решению (20) для изображения. 1 Разложим в ряд (см. приложение) сЬ ~/Г 11 а 1 (-~à — 'я -з~/Л вЂ” ~Г л ) сЬ ~/ К = 2 ~~'., ( — 1)"" ехр [ — (2п — 1) ~ — 'Я~ .
и=! Тогда решение (20) можно написать так: Т, ГТ, Т,1, ~ )/Хх )/Хх') 00 х 2 ~ ( — 1)""ехр [ — (2п — 1) ~/ — Й~ = и=! СО ~~'., ( — 1)"" (ехр[ — ((2и — 1)Я вЂ” х) )/ — ~ + л=! + ехр [ — ((2п — 1))т +. х) ф (26) Для перехода от изображения к оригиналу воспользуемся табличной формулой ь '[ — с '~ = (с=. Тогда решение нашей задачи получим в виде Т,— Т (х, х) 'г~ ( Г(2п — 1) К вЂ” х 1 Г(2п — 1)И+хИ Т. Т, ~ ( 2~ а! 2Уах Я' и=! Это решение можно переписать так: (2п — !) = Т(х, х) — Т, 1 ~ „х 1 Д + 1 (2п — 1)+х/И Т вЂ” Т, 2 р'Ро 2)ГРо а= ! (28) Решение (27) удовлетворяет дифференциальному уравнению, начальному и граничному условиям„При х-х О, т.
е. прн малых значениях го, аргументы функций велики, а сама функция близка к нулю, так что Т(х,О) = Т;, прн х = )с сумма равна 1, т. е. Т(!с,х) = Т,. 92 Глава четвертая При малых значениях Ро все члены ряда исчезающе малы, за исключением первого; так функция ег1с и быстро уменьшается с увеличением аргумента: например, при и = 2,7 ег1си = 0,0001, т. е. практически равна нулю. Функция ег!с и = 1 — ег! и табулирована, и использование решения (28) для практических расчетов не представляет трудностей.
Для иллюстрации сделаем небольшой расчет. Вычислим относительную температуру 0 как функцию числа Фурье для центральной плоскости пластины (я=0) по следующим приближенным формулам (с точностью до четвертого знака после запятой), взятым из решений (25) и (28): 0„= — (ехр ( — — Ро ) — — ехр ( — 4 Ро ) + + 5 ехр( — 4 Ро) — 7 ехр( — 4 Ро))' 0„ = ! — 2 ( ег1с — ег1с + ег1с 1 3 5 2)ГРо 2)т Ро 2~/ Ро и по точной формуле (25), которую можно написать так: ОЭ 4 %5 ( — 1)л+! Г ке 0 = — ~ ехр <ь — (2п — 1)' — Ро ~ . т.
(2я — 1) 4 я =! (29) (30) Результаты расчета приведены в табл. 4.!. Таблица 4.7 Температура неограниченной пластины а точке я=О (середина пластины) Е„<еа) е„<зо) Е,(25) Е,(25) Е„<за) е„<зо) Из рассмотрения табл. 4.1 видно, что расчет по приближенной формуле (30) даст полное совпадение с расчетом по точной формуле от малых значений Ро до Ро <0,4. Начиная с Ро > 0,4, наблюдается расхождение только в четвертом знаке до Ро~(1,8. Для Ро > 2 получаем ошибочный результат. Необходимо заметить, что в пределах Ро от 0,001 до 0,1 приходится пользоваться только одним членом фигурной скобки формулы (30).
Расчет по приближенной формуле (29) дает явно неверные результаты при малых значениях Ро от 0,001 до 0,08; начиная с последнего значения, формула (29) дает правильные результаты. При этом, начиная с Ро > 0,4, можно ограничиться одним первым членом формулы (29). Неверные значения, полученные по формуле (29) для малых значений Ро, объясняются недостаточным количеством взятых членов ряда (25). 0,001 0,004 0,010 0,020 0,040 0,050 0,060 0,080 0,100 0,2 1, 0000 1, 0000 1, 0000 1,0000 0,9992 0,9969 0,9922 0,9752 0,9493 0,7723 0,9332 0,9591 0,9850 0,9978 0,9991 0,9971 0,9923 0,9752 0,9493 0,7723 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9992 0,9969 0,9922 0,9752 0,9493 0,7723 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,5 0,4745 0,2897 0,1769 0,1080 0,0659 0,0402 0,0246 0,0150 0,0092 0,0026 0,4745 0,2897 0,1769 0,1080 0,0659 0,0402 0,0246 0,0150 0,0092 0,0026 0,4744 0,2896 О,!768 0,1079 0,0660 0,0402 0,0244 0,0146 0,0082 — 0,0007 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА 9З Таким образом, для малых значений Ро необходимо пользоваться решением (27).
На этом конкретном примере видно большое преимущество операционного метода, который позволяет получить решение задачи в двух видах: одно удобное для расчетов при малых значениях Ро, другое — для больших значений Ро. На рис. 4.9 приведены кривые распределения относительной температуры по толщине пластины для различных значений критерия Ро (от 0,005 до 1,5). Из рис. 4,9 видно, что температура в середине плас- 1,0 й 0,6 0,4 0 0Д 0,4 0,6 0,8 11-анм Рис. 4.9, Криаые распределения относительной избыточной температуры 8 и неограниченной пластине по относительной коор- динате хЯ тины заметно уменьшается, начиная с Ро >0,05.
Процесс охлаждения заканчивается примерно, когда Ро > 1,5. На рис. 4.10 приведены графики изменения относительно1 темпера- Т вЂ” Т туры = (1 — 0) в зависимости от числа Фурье для разных зна- Т,— Те чений (1 — хЯ) от 0 до 1. Приведенные графики могут служить в качестве номограммы для практических расчетов. В табл. 4.2 даны значения относительной избыточной температуры в середине пластины для различных значений числа Фурье Определение удельного расхода тепла. Количество тепла (в дж), теряемого пластиной, равно Ь Я = СМ(Т вЂ” Т) = с7 У(Т вЂ” Т).
где Т вЂ” средняя по объему температура пластины. Удельный расход тепла (расход тепла на единицу объема; дж!ма) равен 11 (Ь. = ст (То — Т). Глава четвертая 94 о Р $ б о, Ю о о 8 о" о от С 6 ! ! $ $ 'я о о л о о о о А о о о 1 со ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА Таблица температура в середине неограниченной пластины Относительная 1 ( гд (2п — !) ( — 1)""' ехр — (2п — 1)в — Ро ~ 4 в„= в„ в в„ 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998 0,9996 0,9992 0,9985 0,9975 0,9961 0,9944 0,9922 0,9896 0,9866 0,9832 0,9794 0,9752 0,9706 0,9657 0,9606 0,9550 0,9493 0,9433 0,9372 0,9308 0,9242 0,9175 0,9107 0,9038 0,8967 О,'3896 0,8824 0,8752 0,8679 0,8605 0,8532 0,8458 0,8384 0,8310 0,8236 0,8162 0,8088 0,8015 0,7941 0,7868 0,7796 0,7723 0,765! 0,7579 0,7508 0,7437 0,7367 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,016 0,017 0,018 0,019 0,020 0,021 0,022 0,023 ОЯ24 0,025 0,026 0,027 0,028 0,029 0,030 0,031 0,032 0,033 0,034 0,035 0,036 0,037 0,038 0,039 0,040 0,041 0,042 0,043 0,044 0,045 0,046 0,047 0,048 0,049 0,050 0,051 0,052 0,053 0,054 0,055 0,056 0,057 О, 058 0,059 0,060 0,061 0,062 0,063 О Я64 0,065 0,066 0,067 0,068 0,069 0,070 0,071 0,072 0,073 0,074 0,075 0,076 0,077 0,078 0,079 0,080 0,081 0,082 0,083 0,084 0,085 0,086 0,087 0,088 0,089 0,090 0,091 0 Я92 О, 093 0,094 0,095 0,096 0,097 0,098 0,099 0,100 0,102 О,!04 0,106 0,108 0,110 О,!12 0,114 0,116 0,118 О,!20 0,7297 0,7227 0,7!58 0,7090 0,7022 0,6955 0,6888 0,6821 0,6756 0,6690 0,6626 0,6561 0,6498 0,6435 0,63?2 0,6310 0,6249 0,6188 0,6128 0,6088 0,6009 0,5950 0,5892 0,5835 0,5778 0,5721 0,5665 0,5610 0,5555 0,5500 0,5447 0,5393 0,5340 0,5288 0,5236 0,5185 0,5134 0,5084 0,5034 0,4985 0,4936 0,4887 0,4839 0,4792 0,4745 0,4652 0,4561 0,4472 0,4385 0,4299 0,4215 0,4133 0,4052 0,3973 0,3895 0,122 0,124 0,126 0,128 0,130 0,132 0,134 0,136 0,138 О,!40 0,142 0,144 0,146 0,148 0,150 0,152 0,154 0,156 0,158 0,160 0,162 0,164 0,166 0,168 0,170 0,172 0,174 0,176 0,178 0,180 0,182 0,184 0,186 0,188 0,190 0,192 0,194 0,196 0.198 0,200 0,205 0,210 0,215 0,220 0,225 0,230 0,235 0,240 0,245 0,250 0,255 0,260 0,265 0,270 0,275 0,3819 0,3745 0,3671 0,3600 0,3529 0,3460 0,3393 0,3326 0,3261 0,3198 0,3135 0,3074 0,3014 0,2955 0,2897 0,2840 0,2785 0,2731 0,2677 0,2625 0,2574 0,2523 0,2474 0,2426 0,2378 0,2332 0,2286 0,2241 0,2198 0,2155 0,2113 0,2071 0,203! 0,1991 0,1952 0,1914 0,1877 0,1840 О,!804 0,1769 О,!684 0,1602 0,1525 О,!452 0,1382 0,1315 0,1252 0,1192 0,1134 0,1080 0,1028 0,0978 0,0931 0,0886 0,0844 96 Глава четвертая Продолжение табл.