Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 23
Текст из файла (страница 23)
2' 2'4о ~ 2) 2'4обе . 2 3) (е) Обычно вместо функции ио(х) берут )то(х), связанную с ио(х) следующим образом: 'т'о (х) = — ио (х) + — Го (х) (С вЂ” 1п 2), 2 2 где С = 0,5772... — постоянная Эйлера, 1'о(х) — функция Бесселя второго рода нулевого порядка. Такой вид функции )' (х) взят для того, чтобы получить простые приближения при больших значениях х. Частные решения и,(х) = е'о(х) и ио(х) или )'о(х) линейно независимы, так как — "+сопз1; общий интеграл уравнения Бесселя (а) равен т' (я) lо (х) и (х) = СУо (х) + В)'о (х), где С и 0 — произвольные постоянные.
Уравнение (6) приводится к уравнению(а), если положить г= —, доказательство предоставляем читателю. Тогда общий интеграл уравнения (6) будет равен (7) Ь (г) = Се'о (аг) + 1л 3 о (аг). Так как температура на оси цилиндра (г = 0) должна быть конечной, то решение (7) не может содержать бесселеву функцию второго рода, которая стремится к бесконечности при г-ч.О (рис. 4.19) Следовательно, из физических условий задачи постоянная должна быть равна нулю (О=О).
Тогда частное решение уравнения теплопроводности (1) будет иметь вид (8) Т = Суо(лагг) е Функция е'о(йг) является четной функцией, а именно 7 (яг)2 (я )4 (аг)е 2' 2о.4о 2'.4о 6е Она удовлетворяет условию (4), так как Уо(йг) = — й~ ~— — + —...~ = — И,(Ь), Г яг (ег)о (яг)о 2 2о 4 2о4'6 и при г -о 0 е'о(Ь) -о О.
Найдем постоянные а и С из граничного и начального условий. Для упрощения расчетов положим Т, = 0; это означает, что отсчет темпе- ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА 119 ратуры производится от Т,. Тогда, удовлетворяя решение (8) граничному условию (3), будем иметь Т, = С.Г, (Ы) е ' = О. Отсюда следует, что в процессе охлаждения (0«( ) должно иметь место равенство ~.(~ж) = о. (9) Это равенство называется характеристическим уравнением; из него определяются характеристические числа й„. Функция е', (М) аналогична тригонометрической функции соз л)с (рис.
4.19); она имеет бесчисленное множество корней е„)ч = Р„, а именио: Р!=2,4048, Р,=5,5201, Р,=-8,6537 и т. д. Следует отметить, что при достаточно большом и разность Р„„— Р„близка к гс Таким образом, из характеристического уравнения следует Значит, имеем бесчисленное множество частных решений: Т С,Г (й»)е — лл и любое из них будет удовлетворять не только дифференциальному уравнению (1), но и граничному условию (3). Такие функции (11) называются фундаментальными функциями; ряд, составленный из них, будет общим решением Т(», т) = )' С„,Гл(й„»)е (12) Для определения постоянных С„воспользуемся начальным условием (2), т.
е. СО Т (», 0) = Г (») =,~' С„.Г (й„»). (13) л=! Соотношение (13) представляет собой разложение функции в ряд по функциям Бесселя. Для определения постоянных С„воспользуемся тем же приемом, что и в предыдущей задаче, но предварительно докажем, что система функций )» х Г,(ах), 1/х Г,(Ьх) является ортогональной. Введем обозначения у, = 7,(ах), уз =.Г,(Ьх). (14) Функции Г,(ах) и 7,(Ьх) удовлетворяют соответствующим дифференциальным уравнениям, и потому у, есть интеграл уравнения ху" + у' + а'ху = О, з у, — интеграл уравнения хул + у'+ Ь'ух = О.
Эти уравнения можно написать так: (ху')' = — а'ху, (ху')' = — Ь'ху. 12Р Глава четвертая Следовательно, имеем (ху',)' = — а'ху„ (! 5) (ху,')' = — Ь хуе. (16) Умножим равенство (!5) на у„а равенство (!б) на у, и вычтем из первого второе, тогда получим Ьеху,уо — а хУ,У, = Уо (хУ',)" — У„(хУ')' = У' (хУ,')' — У, (хУ')' + + Уо (хУ,) — У, (хУт) = (УохУ,) — (У,ХУо) = (Уеху| — УххУо) Перепишем это равенство так: (Ь вЂ” а ) хутуо = (уоху1 — утху ) .
Интегрируем обе части равенства от О до х: (Ь' — а') ) ху,уое(х = ху,у', — ху,у,'. 'о Переходя к прежним обозначениям, находим (17а) к (Ь ) 1 Ьх)о (вх) ут (Ьх) — вяло (Ьх) лт (ех) Ьг вч о у', = ае'о (ах) = — ае, (ах), (18) так как у' = Ы' (Ьх) = — Ыт(Ьх). Если Ь = а, то правая часть (18) обращается в неопределенность О типа —, которую можно раскрыть по правилу Лопиталя (дифференцируя числитель и знаменатель дроби по Ь, считая а постоянным): хХо (вх) Л (Ьх) + Ьх'Яо (вх)3(Ьх — ах',Го (Ьх) Гт (вх) хлоо(ах) бх = !пп Ь е 2Ь о = — ((хл'о(ах) У,(ах) + ахо,(о(ах) ~,7о(х) — ' „~ + ахов'о1(ах)), так как (20) о у' (ах) = — е', (ах), е', (ах) = е"о(ах) — — Г, (ах).
1 Окончательно получим к хч ( хл'от(ах) е(х = — (Р(ах) + е1(ах)). (19) о Эта формула справедлива при любых значениях а и Ь и будет нами использована в дальнейшем. Умножим обе части равенства (13) на гео(А„»), где я г — корни функции /о(й г), и интегрируем в пределах от О до )с: я я ю г1 (г) Уо (Ь г) д» = ) ~~" С„»3 о ( й„г) Уо (й г) е(г = о а я = ~~)' С„~ ге"о()г„г)е'о(й г)е(г. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА 121 Согласно (18), все интегралы в правой части равенства (20) равны ну лю за исключением одного, когда и = и.
Действительно, а ( ) ( ) / кй ! «ой ! о[ тэ Ьт)~ )о Р) «~ ЙтП) ал)а ЯтЮ )! ФпЮ " о(,«) о! «) 2 2 о а2 Таким образом, и до ) «[(«),«о(Ь.«) «. о у! (апд) Окончательно решение нашей задачи получим в виде (21) Т («, т) = ° — ) «Г(«) Го ()о„— ) ехр( — )о„—,) о[«. л=! о (22) ч то Г(«) = Т = сопз1, Тогда необходимо вы- Предположим, числить интеграл и —, ~ То«у, (р„— ) о(«, о Предварительно покажем, что х,Го (ах) а!х = — хо'! (ах) + сопз1. 1 (23) Функция у, = о'о (ах) есть интеграл уравнения ху" + у' + аоху = О, которое можно написать так: (ху')' + аоху = О. Следовательно, имеем (ху,') ' = — аохуп у, '= а)'(ах) = — ау!(ах), [ — ах,)! (ах))' = — аохУо (ах).
Интегрируя последнее равенство, получим формулу (23). Итак, имеем — ~ т;.Г,() — ) 4 = —,Г,(р). ) ~ о ~;) Е о'. о (24) так как о'о(й„Я) = Го(а,)ч) = О. Для случая и = и согласно формуле (19) имеем «,1о ~(йо«)««1 = —,Го (lг )(). Глава четвертая 122 Тогда решение нашей задачи при условии Т, ~ 0 будет иметь вид сч Т(г,с) — Тс ~~ 1 ( г) ( тас) ч=! (25) где Ая= рч1с(ря) ' Таким образом, распределение температуры внутри цилиндра зависит от критерия Ео и относительной координаты гЯ: О = Ф'(Ео, — ).
Решение задачи операционным методом. Применим преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению теплопроводности. Тогда получим обыкновенное дифференциальное уравнение Бесселя для изображения Т (г, з): Т,(г, з)+ — Т„(г, з) — е Т (г,з)+ — '=О. Перепишем это уравнение так: е г гТс (г, з)+ Ть(г, з) — — г ~)сТ, (г, з) — — е1 = О. (27) Функция 1 (г) по сравнению с 1 (г) играет такую же роль, как гиперболический косинус с)т г по сравнению с тригонометрическим соз г.
Второе частное решение отображается функцией Бесселя второго рода нулевого порядка от чисто мнимого аргумента К (г) = — [!ой ( — г ) + С~ 1, (г) + ( — г ) + (29) где С = 0,5772 ... — постоянная Эйлера. Таким образом, общее решение уравнения (27) можно написать так: Т, (г, з) — — ' = А1в ('~l — г) + ВКв ( )I — г) (30) Если сравнить уравнение (27) с уравнением (6), то видно, что последнее отличается от уравнения (27) знаком перед последним членом.
В нашем случае й = — —, следовательно, й=( ~)т— е .т/ е а ' а Решение уравнения типа (27), называемого модифицированным уравнением Бесселя, состоит из суммы двух частных решений. Первое решение отображается модифицированной функцией Бесселя первого рода нулевого порядка или 'функцией первого рода от чисто мнимого аргумента нулевого порядка (28) ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА 123 где 1,(1I — 'г1 = У (1 1à — 'г), А и  — постоянные, не зависящие от г и определяемые из граничных условий. Так как по условию (4) температура на оси цилиндра (г= О) не может быть равна бесконечности, то постоянная В равна нулю, поскольку при г-~О К,(~à — „г) -~ — . Следовательно, имеем Т, (г, з) — — ' = А1 ()/ — г).
Функция 1 ()/ — 'г) четная [см. разложение (28)); она удовлетворяет условию симметрии. Граничное условие (3) для изображения напишем так: Т, (К, з)= — '. (32) Тогда, удовлетворив решение (31) условию (32), получим Ть Я, з) = —,' = — ' + А1а ()/ — 1() откуда А (70 — Тс) (33) аго ( 1/г — И) Решение для изображения в окончательной форме будет иметь вид (7. — 7.)!. (1I -' ° ) т и Т ( ) а е (а) (34) ~У. Полученное решение (34) представляет собой отношение двух степенных рядов с натуральными показателями относительно з причем ряд знаменателя ие содержит постоянной (первый член ряда равен з). Таким образом, все условия теоремы разложения соблюдены и ее иожно применить для перехода от изображения к оригиналу. Найдем корни полинома ф(з), для чего приравняем его нулю: ф ( ) = 1, ( )Гà — Л ) = 1, (1 ) — 'Я) = О.
(35) 2 ае„ За= И' Найдем ф'(з): Ф(,)=1,(~Я11)+ ' 1,()/ Л)= =1,( )ЯЛ)+ —,',. ~гГ:.' Ю,( ~гГ:;Л) Отсюда получим: 1) з = О (нулевой корень), 2) 1)/ — Д=р„р,, ..., )"„— корни функции Бесселя 1,(р). Таким образом, имеем бесчисленное мно- жество корней для з; они равны Глава четвертая 124 0,2 0,2 0,4 О,В 0,0 (1-гЯ) Рнс. 4.20. Кривые распределения относительной избыточной температуры 0 в неограниченном цилиндре по относительно- му радиусу г/Й так как 11(2) =; 11(2) = —.11(12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
