Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 24
Текст из файла (страница 24)
б)а (г) 1 Следовательно, имеем 1,(Ф(а)1 Э(О) .~ а(,л) ( ('(а) 1 Ф'(0) ~4 Ф'(а,) Ол Та — Т(х, г) = (Т,— Т,) — ~~~~~ ' ' Уа((4„— ~ехр( — рг — ). а=1 Окончательно получим лл 0 = ' ) ' = ~~~~ А„1а ~р,„— ) ехр( — (4~ Ро) а л=1 (Зб) где Ал= 2 рлег(рл) Решение (36) тождественно решению (25).
На рис. 4.20 'приведены кривые распределения температуры по относительной координате — для различных значений Го (от 0,005 до А', 0,8). Из рис. 4.20 видно, что процесс охлаждения практически закан- ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА 125 (37) — — Т (г„з) = Т 1(1) 9 ~ 1 ! 9 + 89)7 1289г)7~ «)~()+ 8 И + 128)~7~~ + "~ Согласно таблице изображений решение для оригинала будет иметь вид Тд — Т(г, с) э гг Й Й вЂ” г (Й вЂ” г) )ГааК 1.г — ег(с + 1 ег(с + Л вЂ” г (9йа — 7гэ — 2Вг) ао .
)7 — г 32)7ма бра (з ег(с г 2 аа +" (38) Напишем:это решение в безразмерном виде 7 (~ а) Тс 1 1/д' 1~/' 1 ег(с 2 )г ро г 1 —— )7 + 1 ( В () ~гГ )7 го1ег(с (39) 2 )/Ро 4- — )г — [9( — ) — 7 — 2( — ))г г ! чивается при Ро) 0,8. Данные кривые могут служить номограммой для г определения 8 при заданных числах Го и —. )7 ' Из анализа решения (36) следует, что ряд быстро сходится, так как Р, <Ра< (га «... (а„и с Увеличением Р„найальиаи амплитУДа А„ уменьшается, а также резко уменьшается экспоненциальная функция ехр( — р~го). Поэтому если исключить из рассмотрения малые значения го, то можно ограничиться одним членом ряда (36), и расчетная формула (36) приобретет простой вид.
Для малых промежутков времени можно получить приближенное решение в ином виде. Вернемся к решению (34) для изображения. Для малых значений времени величина 1гг — 'гх = дй (д = 1/ — '1 велика; тогда можно воспользоваться следующим асимптотическим приближением для функции Бесселя при больших значениях аргумента: )/2 .а ( 8г 128 г' Применяя это разложение для 1о (1I — 'Й1 и !о (1I — 'г), решение 1 а 7 ,(1' для изображения (34) можно написать так: Глава четвертая 126 Данное решение справедливо не только для малых значений Ро, но и при условии г )О. При малых значениях Ро, когда аргумент функций 1ег1с и 1«ег1с велик, а сами функции близки к нулю (см.
приложение), решение (39) становится аналогичным решению для полуограниченного тела. Следовательно, охлаждение цилиндра в первые моменты времени происходит аналогично охлаждению полуограниченного тела. Решение для осевой линии (г = 0) можно получить из решения для изображения, положив в нем Гв(11/ — г) = 1. Тогда будем иметь 0 т а — ' — Тс (г, е) = (Т, — Т,)у2хй, д,, ехр( — )Гà — 'я) х х (1+ +,, + ...) =,'„,; )'2тЖ ехр( — )/ — '1с). Таблица 4.6 ЗначениЯ б« = т„1 хр( т Ра) „' ", и» (Гт( «) ) е„ в„ 4„ О, 005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085 О,О9О 0,095 0,100 0,105 0,110 0,115 0,120 0,125 0,130 О,!35 0,140 0,145 0,150 0,155 0,160 О,!65 0,170 0,175 0,180 0,185 0,190 0,195 0,200 1, ОООО 1, 0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9995 0,9985 0,9963 0,9926 0,9871 0,9798 0,9705 0,9596 0,9470 0.9330 0,9!77 0,90!5 0,8844 0,8666 0,8484 0,8297 0,8109 0,7919 0,7729 0,7540 0,7351 0,7164 0,6980 0,6798 0,6618 0,6442 0,6269 0,6100 0,5934 0,5771 0,5613 0,5458 0,5306 0,5159 0,5015 0,205 0,210 0,215 0,220 0,225 0,230 0,235 0,240 0,2«5 О, 250 0,255 0,260 0,265 0,270 0,275 0,280 0,285 0,290 0,295 0,300 0,305 0,310 0,3!5 0,320 0,325 0,330 0,335 0,340 0,345 0,350 0,355 0,360 0,365 0,370 0,375 0,380 0,385 О,39О 0,395 0,400 0,4875 0,4738 0,4605 0,4475 0,4349 0,4227 0,4107 0,3991 0,3878 0,3768 0,3662 0,3558 0,3457 0,3359 0,3263 0,3170 0,3080 0,2993 0,2908 0,2825 0,2744 0,2666 0 2590 0,2517 0,2445 0,2375 0,2308 0,2242 0,2178 0,2116 0,2056 0,1997 0,1940 0,1885 О,!831 0,1779 0,1728 0,1679 О,!634 0,1585 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,!О 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,50 1,60 1,70 О,!496 0,1412 0,1332 0,1258 0,1187 0,1220 0,1057 0,0998 0,0942 0,0887 0,0792 0,0704 0,0628 0.0560 0,0499 0 л0444 О.
0396 0,0352 0,0314 0,0280 0,0249 0,0222 0,0198 0,0!76 0.0!57 0,0117 0,0688 0,0066 0,0049 0.0037 0,0028 0,0021 0,00!6 0,0012 0.0009 0,0007 0.0005 0.0003 0.0002 0,0001 127 ю о Ю Ю Ю Ю Ю О3" 8 Ю Ю Ю О о 3 и х ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА 3 с 3' х ах оа ос х х Б ф и х о О. О~ и х о » Зх й О и х О3 о а О и с а х О х х Ф 3 х и о х 3 о х О х х о Д О и 3:3 М х 4 и 3 о и и х х л Глава четвертая 128 0,4 ~ 0,5 г'о 0,2 0,3 О,! е1 в1 н! н 0,5 0,25 О, 0,20 О, 0,4 О!5 07 0,7 0$0 06 0,05 0,5 0 0,4 0 0 о,! и гч 0,025 0,050 0,075 0,4 08 И! 12 Го Рис.
4.22. Зависимость между средней относительной избыточной температурой 0 и числом Фурье Ро в случае неограниченного ни- линдра Пользуясь таблицей изображений, получим (46) Т(т) = — ( гТ(г, т) с(г. Яе,! Подставляя вместо Т(г, т) соответствующее выражение из (36) и принимая во внимание равенство (24), после преобразования получим В табл. 4.6 приведены численные значения относительной избыточной температуры на оси цилиндра для разных значений числа Фурье.
Расчет был сделан по формулам (39) и (36). Расчетные графики (҄— Т))(То — Т,) = у" (Ро) для разных относительных координат гЯ приведены на рис. 4.21. Определение потерь тепла. Найдем среднюю температуру цилиндра по формуле ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА оз 0 = ' ' = ~~~' В„ехр ( — (»~РО), и=) (41) 4 где Вп = —, т. е. получим решение, аналогичное решению для плас)»и тины и шара. Разница состоит в том, что в решении для пластины к 2 р„= (2п — 1) —, Вп = 2, для шара соответственно (4„= пя, В„= )»и 6 = —,. Таким образом, уменьшение средней температуры во всех слу)»и чаях описывается простым зкспоненциальным законом.
Зависимость между 0 и критерием Ро приведена на рис. 4.22, который может служить в качестве расчетного графика. Решим конкретную задачу. Стеклянный длинный стержень, нагретый до температуры 393'К (120'С), помещен в тающий лед Т, = 273' К (О'С). Определить температуру внутри стержня через 1 мил охлаждения, а также количество отданного тепла единицей поверхности его, если диаметр стержня равен 2 см. Считаем стержень за неограниченный цилиндр, термические коэффициенты стекла следующие: Л = 0,743 вт7м ° грод, с = 0,668 ° 10з дж)кг град и ! = 2500 кг(ма; тогда и= 4,45 1О т мз!сгк. Находим число Фурье 4 45 10 т 60 Ро = = 0,266 цм 0,27, 1 10» так как г = 60 сгк, )7 =- 1 см = 0,01 м.
Определим относительную температуру по формуле (36) для г = О. Так как Ро = = 0,27, то можно ограничиться первым членом ряда (36), т, е. — из но 2 2 — (2,4)* ° 0,27 Вц —— Азе е = 1,60 0,211 = 0,34; )»47»(рз) (2,4) 7»(2,4) — (2,4)з ° 0,27 здесь учтено, что 74(2,4) = 0,52; е ' ' = 0,211. Можно было бы величину Аз определить непосредственно по табл. 6.10 для В1=оо (см. гл. )71). Полученное значение Вц — — 0,34 можно проверить по табл. 4.6, из которой видно, что для Ро = 0,27 В =0,34. Температура на осн цилиндра при Т, = 0 будет равна Т (О, 'з) = Тз + (То — Тг) Вц = 273+ 0 34 120 = 314' К (41'С) . Для подсчета расхода тепла определим среднюю относительную температуру по формуле (41) — — и~)го 4 — 054Н . олт В=В,е ' = е ' ' =0,147=0,15.
(2,4)з Проверяем по графику рис. 4.22. Из графика находим при Ро =0,27 В = 0,15, т. е. расчет верен. Средняя температура равна Т(с) = То+ (То — Тд В = 273+ О,!5 . 120 = 291*К (18'С), Удельный расход тепла равен Ь(2 = с! (То — Т) = 0,668. 10з 2500(393 — 291) = 17 102 дж/ма, й б. НЕОГРАНИЧЕННЫЙ ПОЛЫЙ ЦИЛИНДР Постановка задачи.
Дан неограниченный полый цилиндр (цилиндрическая труба). В начальнагй момент времени температура внешней и внутренней поверхностей цилиндра поддерживается постоянной на В Заказ № О4О Глава четвертая )зй оп 51 т,ссоио ТО с) Рис. 4.23. Иоотермы Т (г, с) в полом цилиндре ()со < г М й) протяжении всего процесса охлаждения. Найти распределение температуры в любой момент времени. Следовательно.
краевые условия следующие (см. рис. 4.23): Т (О, г) = ~ (г), ТЯ, с) = Т, = сопз(, Т ()эо с) Тс = сопи( ()) (2) (3) где )с — радиус внешней поверхности, тсо — радиус внутренней поверхности. Решение задачи методом разделения переменных. Вначале для упрощения задачи положим Т, = Т, = О. В 5 5 было показано, что решение уравнения Бесселя имеет вид О(г) = С1,(йг) + РУ„Ф). Однако здесь нельзя полагать Р = О, так как функция )г (йг) в промежутке )со <г < Я, в котором нет особой точки г = О, будет величиной конечной. Следовательно, решение уравнения теплопроводности будет иметь вид Т (г, с) = (СУ (йг) + Р)г (йг)) е (4) Для нахождения постоянных С и Р воспользуемся граничными условиями (2) и (3), при этом считаем Т, = Т, = О, тогда С (о Мо) + Р Ко (йА о) = Ог С~,(И~)+ РУ,(ИЦ) = О.
Коэффициенты С и Р не могут быть одновременно равны нулю, так как в этом случае температура была бы равна нулю (тривиальное ре- ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ЛЕРВОГО РОДА шение). Система двух линейных однородных уравнений (5) и (б) относительно неизвестных С и ь! будет иметь отличное от нуля решение в том случае, когда определитель системы равен нулю: "го(ь)зо) 1 о((гс'о) Уо Ф~) 1'о Ф~) или Т(г, о) = ~' (С»Уо(й„г) + О»)го(й„г)) е л» ' (8) »=! Решение (8) можно написать так: из уравнения (5) следует ,Го (Мо) С г о(адо) тогда Т(г т) =,')'„у,"и ) е ~ ° »(Уо(л»г) 1'о(е„)со) — ео(л»)со) Уо(а„г)1. (9) »=! Введем обозначения: А, = С»Л'о (й„Л,), (4 ф„г) = 3, (й г) )', (й„й,) — у, (й„й,) К, (й„г), (10) Тогда решение (9) примет вид Т(г, с) = ~~~~ А„е о» ')го((г»г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
