Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Из выражения (25) имеем ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА 1,0 в 0,8 0,6 0.4 0.2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 (1-г/И) Рис. 4.16. Кривые распределения относительной избыточной температуры 6 в шаре по относительному радиусу г/й. Тогда, применяя соотношение ' — ехр( 4 ) находим Т(0, т) — Тс 1 2 .1 / 1 ~ч~~ ~ (2а — 1) а=1 (35) Уравнения (34) и (35) показывают, что решения для неограниченной пластины и шара можно представить в одних и тех же функциях. На рис. 4.15 приведены кривые распределения температуры по безг размерной координате — для различных значений Ро от 0,005 до 0,4. Н Из рис. 4.15 видно, что при Ро = 0,005 температура на глубине — ~(0,6 В мало отличается ст начальной; только, начиная с критерия ро>0,04 заметно изменение температуры в центре шара. Процесс охлаждения почти заканчивается и ри Ро ) 0,4.
Расчетные графики изменения относительной температуры (1 — й) в зависимости от числа Фурье Ро приведены на рис. 4.16 для различных относительных координат. о а. \' о о Р о й Ц ! Е о о с> о $ н о И о и и и Р) о о о о о 3 о ч» 1 Глава четвертая С> о ( 3 и й~ о, о о М о И~ В о 3 о. 3 И Ю ч а о и о ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА 113 = ~~В„ехр( — р„'Ео), Т вЂ” Т, и=! (37) 6 6 где В„= — = — .
рз пз„з ' л Можно получить решение для 0 в иной форме. Найдем Т„(з), пользуясь решением (25) для изображения, а именно Т (з) = — ~гзТд(г, з)д(г = о Т, 3(Т,— Т))га 11 1~ з )ч+ 3(Т,— Т)а з у — П У а зз оз Разложим с1Ь 1 — 'Й в ряд: а с(Ь )/ — )с = 1 + 2 ехр ( — 2 1г' — )с) + 2 ехр ( — 4 ~ )т) +... = 0 = 1 + 2 ~~ ех р ( — 2п 1/ — Я~) . (39) ч=! После перехода от изображения к оригиналу получим решение в виде Г 1 Ъ-(.
0 = 1 + ЗЕо — 6 )ГЕо ~: + 2 Д' 1ег(с )Гк )Гро ~ л=! Для иллюстрации приведем численный пример. Определить температуру шара в г процессе охлаждения в точке — = 0,4, а также среднюю температуру его для безразмерного времени 0,2 (Ро = 0,2), если шар был нагрет до температуры 473' К (200' С) н в начальный момент времени был помещен в тающий лед Т, = 273' К (О' С). г Найдем температуру в точке — = 0,4 по решению (32): 2 Г з(по,4п 1 з!п0,4 2и 6! —.
— ~ ' ехр ( — 0,2п') — — ехр ( — 0,2 4пз)) = 0,4 2 0,4 = 1,591 0,951.0,139 — 0,796 0,588 0,0004 ж 0,21 Такой же результат получим из решения (34)! 1 ! 1 — 0,4 1+0,4! О, = 1 — — (ег(с — ег!с 0,4 (, 2)/0,2 2)Г0,2 7 = 1 — 2,5 (0,3427 — 0,0270) = 1 — 0,79 = 0,21. Определение потерь 'тепла. Для определения теплопотерь в процессе охлаждения найдем среднюю температуру по объему шара; она определяется формулой (см. гл.
1, 9 7) 3 г* Т (т) =, ) г ' Т (г, с) д(г. оз ) о Если подставить в зто соотношение вместо Т (г, т) соответствующее решение (32), то после интегрирования получим Глава четвертая 0,20 1,09 ,6 0,05 О,!5 О,! 0,05 0,9 0 !!4 0,8 0,7 0.03 2 0,02 0,6 0,5 О,О! '0 04 0.25 Рис. 4.17. Зависимость между средней относительной избыточной температурой 6 и числом Фурье Ро в случае шара г Это значение можно получить и по графику рис. 4.15: для — =0,4 и Го=0,2 от- )7 носительная температура равна 6 = 0,21. Температура шара в этой точке будет равна Тс = Тс + (Тс — Тс) Ос = 273 + 200.О. 21 = 315' К (42' С) .
Средние температуры 0 находим по формуле (37) 2 Зс =В! ехр ( — !с!Ро) + Всехр ( — !схро) =- —, ехр ( — 0,2к ) + ехр ( — О 8к ) = 2 6 6 с кс 4ссс ехр ( — 0,2к') = 0,6070 О, 1389 = 0,084, 6 с Можно также 0 определить по графику рис. 4.17, иа котором дана зависимость 4 = / (Ро)! из графика находим, что для Ео = 0,2 0 = 0,085. Следовательно, средняя температура шара Т (с) = 273 + (Тс Тс) В = 290' К (17' С).
Если известны радиус шара и его теплофизические коэффициенты, то можно определить время охлаждения и потери тепла за это время по элементарным формулам. Для удобства расчетов в табл. 4.5 приведены значения Оц (9„= О (О, с) — температура в центре шара) и 6 для разных значений Фурье. 81 1,00 Ь~ 0.30 0,35 0,40 0,45 0 Ро ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА в 15 Таблица 45 Значении функций 03 б Оц — — 2~ ( — 1)"+'ехр( — авквро) и 0 = — е ~~', ехр( — нвнвро) и=! л=! Иго в„ в„ Е 5. НЕОГРАНИЧЕННЫЙ ЦИЛИНДР Если длина! цилиндра значительно больше его диаметра 2)с ( — >) 1), 1 2)7 то его можно уподобить неограниченному цилиндру, у которого длина бесконечно велика по сравнению с диаметром.
0,00 0,02 ОЯ4 0,03 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 О,!8 0,20 0,22 0,24 0,26 0,28 0.30 0,32 0,34 0,36 0,38 0,40 0,42 0,44 0,46 0,48 0,50 0,52 0,54 0,56 0,58 0,60 0,62 0,64 0,66. 0,68 0,70 0,72 0,74 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 1, 0000 1,0000 1,0000 1.0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1.0000 1,ОООО 0.9999 0,9998 0,9995 0,9990 0,9983 0,99?2 0,9957 0,9938 0,9913 0,9883 0,9846 0,9804 0,9755 0,9700 0.9639 0,9573 0,9500 0,9422 0,9339 0,9251 0,9158 0,9062 0,8962 0,8858 0.8752 0,8643 0,8531 0,8418 0,8303 0,8186 0,8068 0,7950 0,7831 0,7711 0,759! 0,7471 0,7351 1, 0000 0,8537 0,7967 0,7543 0,7195 0.6897 0,6632 0,6394 0,6176 0,5976 0,5789 0,56!5 0,5451 0,5296 0 35149 0,5010 0,4877 0,4750 0,4629 0,4513 0,4401 0,4294 0,4190 0,4090 0,3994 0,3901 0,3810 0,3723 0,3639 0,3557 0,3477 0,3400 0,3325 0,3252 0,3181 0,3113 0.3045 0,2980 0,2916 0,2854 0,2794 0,2735 0,2678 0,2622 0,2567 0,2513 0,2461 0,24!О 0,96 0,98 1,00 1.05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 2,90 3,00 3,20 3,40 3,60 3,80 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7ЯО 7,50 8,00 8,50 0,7232 0,7112 0,6994 0,6700 0,6413 0,6!32 0,5860 0,5596 0,5340 0,5095 0,4858 0,4631 0,4413 0,4204 0,4005 0,3814 0,3631 0,3457 0,3291 0,3!33 0,2981 0.2837 0,2700 0,2445 0,2213 0,2003 0,1813 0,1641 0,1485 0,1344 О,!216 0,1!00 0,0996 0,08!5 0,0667 0,0546 0,0447 0,0366 0 Я222 0,0135 0,0082 0,0050 0,0030 0,0018 0,0011 0,0007 0,0004 0,2360 0,2312 0,2264 0,2150 0,2042 0,1940 0,1844 О,!752 0,1665 О,!583 0,1505 0,1431 0,1360 0,1293 0,1230 0,1170 0,11!2 О,!058 О,!006 0,0957 0,0910 0,0866 0,0823 0,0745 0,0674 0,0610 0,0552 0,0499 0,0452 0,0409 0,0370 0,0335 0,0303 0,0248 0,0203 0,0166 0.0136 0,01!1 0,0068 .0,0041 0 0025 0,00!5 0,0009 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001 116 Глава четвертая Рис 4.18.
Кривые распределения темпера- туры в неограниченном цилиндре (симмет- ричная задача) Если теплообмен между поверхностью цилиндра и окружающими телами происходит одинаково по всей поверхности, то температура его будет зависеть только от времени и радиуса (симметричная задача) Постановка задачи. Дан неограниченна)й цилиндр при некотором заданном радиальном распределении температуры, т е. в виде функции Т(г). В начальный момент времени поверхность цилиндра мгновенно охлаждается до некоторой температуры Т„которая поддерживается постоянной на протяжении всего процесса охлаждения. Необходимо найти распределение температуры внутри цилиндра в любой момент времени и удельный расход тепла. Дифференциальное уравнение теплопроводности в нашем случае напишется так (см.
приложение 111): дТ(г, т) (д'Т(г, т) 1 дТ(г, т)~ ( О 0( ~Д) (1) дт 1 дга г дг Краевые условия следующие (рис. 4.18): Т(г, 0) = Г(г), Т ()т, т) = Т, = сопз1, дТ(0, т) О Т(1) т) ~ (2) (3) (4) ло показано, что частное решение уравнения теплопроводности по методу разделения имеет вид (5) где Ь есть решение дифференциального уравнения т)аЬ + язЬ = О.
В нашем случае Ь(г) должно быть решением уравнения Бесселя Ь" (г) + — Ь' (г) + йа Ь (г) = О, (6) Последнее условие означает, что температура на осн цилиндра на протяжении всего процесса теплообмена должна быть конечной. Решение задачи методом разделения переменных. В гл.
111, Ь 2 бы- 117 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА которое можно написать еще так: гЬ" (г) + Ь'(г) + изгЬ().) = О. Будем искать решение уравнения Бесселя хи" + и'+ хи = 0 (а) в виде степенного ряда гм )х) )х) и =аз+а х+а х'+ + азхз + (б) ) Дифференцируем почленно ряд (б) и подставляем в левую часть выражения (а) значения и, и', и", тогда получим и = аз+ а,х + а,х'+ а,х'+ +авх + и' =- а, + 2азх + За,х' + + 4авх' + баххх + ..
иа = 2 1 а, + 3 2азх + + 4.3авх' + .... )х) Умножая первый ряд на х, второй — на 1, третий — на х, складывая и собирая члены с одинаковой степенью х, получим Ряс. 4.12. Графяяв фуяяаяй Бесселя: а) первого рода; б) второго рода а, + (а, + 2'а,) х+(а, + 3'аа) х' + + (а, + 4'а,) х'+.... (в) Для того чтобы выражение (в) обращалось в нуль при переменном х, необходимо, чтобы все коэффициенты при х равнялись бы нулю, т.
е. а,=О, ао+2'а,=О, а, + 3'а, = О, а, + 4'а = О, ..., ах в + л'а„ = О. Из этих равенств находим, что все коэффициенты с нечетными индексами равны нулю (так как а, = 0), а все коэффициенты с четными индексами выражаются через а,: 1 1 1 ав о„ а,= — — а„ав= — — а,= а,, а,= — — =— 2х 4х 2х 4х бх х" 4х бх Подставляя полученные значения коэффициентов в (б), находим хх х' хв и = а, /1 2х 2х 4' 2х.4х 6х ) Если положить а, = 1, то частный интеграл уравнения (а) будет равен функции 118 Глава четвертая Эта функция называется функцией Бесселя первого рода нулевого порядка.
Для нахождения второго частного решения уравнения (а) можно воспользоваться формулой (см. гл. Ш 2 2, решение (14)) (' 1 — — вл по=и,) и — ое "' Нх, (д) где и,(х) = е" (х) — первое частное решение, ио(х) — второе частное решение, линейное, независимое от и,(х). Аналогичным путем находим, что второе частное решение равно я' кл / 1 1 яв т ио(х) =7о(х) 1пх+ — — ~1+ — ) + 111+ — + — ) †....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
