Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Лист вырезается по форме, тождественной оригиналу. Электроды приклеиваются или наносятся хорошо проводящей краской. Соответствующим подбором последних достигается задание граничных потенциалов. Источники задаются с помощью электродов из фольги, приклеиваемой проводящим клеем в соответствии с чертежом на обратной стороне листа. Площади с разными коэффициентами теплопроводности или массопроводности воспроизводятся путем перфорирования листа квадратными отверстиями или склеиванием отдельных участков из нескольких слоев бумаги. При моделировании объемных задач прибегают к твердым сплошным средам. Применяются дисперсные среды разной проводимости, например графитовый порошок в смеси с кварцевым песком, или коллоидные массы (желатин) [47). Возможность использования электрических сеток для целей моделирования впервые была обоснована в 1926 г.
русским математиком С. А. Гершгориным. Одним из достоинств сеток является то, что координаты их точек являются электрическими, а не геометрическими. Это обстоятельство позволяет решать на прямоугольных сетках задачи в любой системе координат. Гибкость схемы создает большие удобства при изготовлении модели и обеспечивает ее надежность в эксплуатации. Для получения модели исследуемое тело разбивается на ряд элементарных объемов, как в методе конечных разностей. Значение потенциала находим для конечного числа выбранных точек, т. е. непрерывное поле потенциалов в теле заменяется их «эквивалентными» сосредоточенными значениями. Электрическая сетка, нли, как ее еще называют, модели- ОСНОВНЫЕ МЕТОДБ! РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ рующая цепь, составляется из параллельно включенных электрических емкостей, сосредоточенных в узловых точках сетки.
Источники тока и вещества воспроизводятся включением источников питания в одну или несколько узловых точек сетки для случая сосредоточенных источников или во все узловые точки для равномерно распределенных источников. Для моделирования стационарных и нестационарных полей температуры были разработаны и построены различные типы универсальных электрических сеточных моделей — электроинтеграторов; например, для исследования плоских стационарных полей потенциалов при граничных условиях первого, второго и третьего родов — электроинтеграторы ЭИ-11 и ЭИ-12 системы Л. И.
Гутенмахера, для исследования нестационарных полей с коэффициентами, зависящими от координат, — электроинтеграторы ЭИ-22, ЭИ-21, ЭИ-31. Эти модели позволили решить многие важные задачи из различных отраслей науки и техники [8]. Эффективные моделирующие устройства были созданы за границей. Из них следует отметить установки Бойкена в Голландии, Пашкиса, Мак-Канна и Либмана в США, Лаусона и Джексона в Англии, Фишера и Мюллера в Германии и др.
Особый интерес представляет модель Либмана [105] для решения нестационарных задач с помощью сеток сопротивления. В модели создавались возможности прерывать решения, т. е. счет в этой модели осуществляется использованием явной конечно-разностной пространственной и временной аппроксимации. Последнее, подобно гидростатическому интегратору Д. В. Будрина, позволяло определять температурные поля с учетом анизотропии и изменения теплофизических характеристик вещества в зависимости от температуры. Недостатком модели Либмана является ее сравнительно малая универсальность: для каждой новой задачи необходимо менять величину всех сопротивлений. Этот недостаток устранен в новых статических [емкостных и омических) интеграторах, созданных в проблемной тепло- физической лаборатории Казахского государственного университета им.
С. М. Кирова [9]. Подробный обзор применения различных электрических моделей для решения теплофизических задач можно найти в работах [32, 34]. Для исследования и расчета процессов тепло- и массопереноса используются и другие виды аналогий. В частности, за границей достаточно широкое распространение для решения задач по определению объемно-напряженного состояния тела и задач стационарной теплопроводности с источниками тепла получила мембранная аналогия [83]. Методы численного решения и аналогий применяются в тех случаях, когда решить задачу в замкнутой форме не представляется возможным или когда полученные решения настолько сложны, что не могут быть использованы для практического расчета.
Выбор между методами численного решения и аналогий зависит от конкретной задачи, требований, предъявленных к расчетным данным, и оценки затраты времени для решения поставленной задачи с заданной степенью точности. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ПЕРВОГО РОДА ! Из большого количества задач, которые могут быть рассмотрены в данной главе, остановимся только на основных классических задачах. В граничных условиях первого рода задаетсл температура поверхности тела как функция времени. Рассмотрим простейшие случаи, когда температура поверхности тела остается неизменной на протявкении всего процесса теплообмена. Это достигается прн помощи специальных приборов, поддерживающих постоянную температуру на поверхности тела, или путем теплообмена между телом с окружающей средой, происходящего с постоянной температурой по закону Ньютона (граничное условие третьего рода), но с бесконечно большим коэффициентом теплообмена а, точнее, когда В1-+ ° .
В этом случае граничное условие третьего рода превращается в граничное условие первого рода в простейшем его виде. Задачи, в которых температура поверхности тела есть заданная функция времени, будут рассмотрены в гл. Ъ'(! как частный случай решений более общих задач. Все решения задач, которые будут рассмотрены в этой главе, могут быть получены из соответству|ощих решений задач гл. Ъ"!, если положить в последних критерий Био равным бесконечности. Такое выделение данных задач в специальную главу методически целесообразно, так как показывает читателю постепенное усложнение техники расчета.
Применяя методику расчета вначале к более простым задачам, читателю легче усвоить технику расчета н установить преимущества и недостатки того или иного метода, а частности преимущества операционного метода решения задач по сравнению с классическим. Прежде чем перейти к решению первой основной задачи (нахождение температурного поля в полуограниченном теле), рассмотрим вспомогательную задачу. 5 1.
НЕОГРАНИЧЕННОЕ ТЕЛО Если имеется твердое тело, размеры которого очень велики по сравнению с интересующими нас участками его, то тело можно считать неограниченным. При этом необходимо, чтобы заметное изменение температурного поля происходило только на данном участке тела. 71 Вначале рассмотрим задачу, когда температура изменяется только в одном направлении х; в двух других направлениях д и г температура l дТ дТ, не изменяется ( — = — = О) .
Следовательно, изотермические поверх(,ду дг ности будут представлять плоскости, параллельные плоскости уг. В начальный момент времени задано распределение температуры по направлению х в ниде некоторой. функции Т(х, О) =1(х). Требуется найти распределение температуры в любой момент времени в направлении х. Наша задача связана с решением дифференциального уравнения теплопроводности дТ(х, с) дсТ(х, с) ( 0 ( ( ) ( ) дс дхс при заданном распределении температуры в начальный момент времени: Т (х, О) = Т (х). (2) Граничные условия отсутствуют, но их можно заменить условием, учитывающим неограниченность размеров тела дТ (+со, 'с) дТ ( — со, с) дх дх Решение задачи можно получить по методу Фурье, но при этом на функцию Т" (х) накладываются определенные ограничения, связанные с возможностями представления функции ('(х) в виде интеграла Фурье.
Для этого достаточно потребовать, чтобы существовал интеграл )" (~(х))'с(х. Поэтому здесь приводится решение по методу источников, который не требует этих ограничений для функции ("(х). Решение по методу Фурье будет дано в конце настоящего параграфа.
В ~ 2 гл. Ш было показано, что частное решение уравнения (1) имеет вид (4) Рассмотрим это решение. Из анализа выражения (4) видно, что при заданном времени х кривая распределения температуры в направлении х имеет максимум, который приходится на расстояние х = 1 (рис. 4.1). Площадь Я под кривой, т. е. площадь, образованная кривой и осью абсцисс, есть величина конечная и равная интегралу от выражения (4) в пределах — до + (начало координат переносим в точку 1): +са +Ос Я = С~ ехр ~ — - ~с((х — 1)= ~ е ' с(а =С.
— Π— сс Здесь произведена замена переменной х — .' 3 = 1' 4а. Глава четвертая 72 так как известно, что +сч е с(г = )т' сс ° Таким образом, площадь под кривой равна постоянной С. Ордината С кривой в точке максимума равна . Следовательно, с увеличением )т 4кас времени т ордината уменьшается и кривая становится более пологой (см. рис. 4.1) и, наоборот, с уменьшением времени ч орднната увеличивается. При уменьшении времени (с -ь О) получается бесконечно узкая полоска, но площадь ее сохраняется; она равна постоянной С. Пользуясь этим свойством выражения (4), можно заданное начальное распределение температуры Т(к,0) = Г(х) в неограниченном теле пред- Рис.
4лы Распределениетемпературы в неограниченной среде в случае действия мгновенного теплового импульса Рис. 4.2. Представление начального распределения температуры как суммы частных решений ставить как сумму отдельных частных решений вида (4), т. е. кривую т (х) заменить суммой бесконечного множества кривых вида С (к — с)с 1пп ехр 1— сч )таиат Полное начальное распределение температуры в неограниченном теле будет равно +СО 1!ш Т(к, т) = 1пп ~ т (с) ехр ~ — ~сгс, (5) о о )т4а сс Это соотношение будет справедливо не только для начального мо- При этом необходимо отметить, что, несмотря на бесконечно малую ширину отдельной полоски Ж (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
