Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Расход тепла на нагревание пластины находится по соотношению (26) 4 1. / Т (х, 0) = Г (х). ! (26) Граничные условия можно написать так: Л д +У «)=О, дт (И, т) (27) дТ(0, ) 0 дх (28) Воспользуемся интегральным косинус-преобразованием Фурье: Т, (и, г)= ) Т (х,т) соз г(х, о (29) где и = 0,1, 2,3,...; Т, (п, т) — изображение функции Т (х,с), удовлетворяющей условиям Дирихле.
Переход от изображения функции к оригиналу осуществляется по формуле ч Т (х, т) = — Т, (О, т) + — ~~'„Т, (и, е) соз л=! (30) Умножим обе части дифференциального уравнения теплопроводности пвх на соз — и проинтегрируем в пределах от 0 до )т: д 1! дТ(х, ) пих Г д'Т(х, ) них дт И " 3 дх о Выражение для частной производной второго порядка будет о-Т(х, е) пих ( )„дТЯ, г) дТ(0, т) я~в~ дх дх е Решение задачи методом интегрального преобразования Фурье.
Рассмотрим более оби(ий случай, когда поток тепла г)с является функцией вРемени дс = Г" (т). Для общности задачи берем неравномерное начальное распределение температуры Гаава пятая 166 Используя граничные условия (27), (28), получим аао — — +, Т, (п,т) =( — 1)" — д(т). (33) Решение этого простого уравнения таково: Т, (п, т) = екр ( — " ", ' ) ~С (п) + + ( — 1)" — ) д(Ь) ехр ~,~,' )Ю ~. о (34) Для определения постоянной С(и) воспользуемся начальным условием (26): и и Т, (и, 0) = С (п)=) Т(х, 0) соз — т(х = — ) Г" (х)соз т(х. (36) о о Следовательно, решение для изображения будет иметь вид т Т, (п,т) =( — 1)" — ~ д (Ь) ехр[ —, (т — Ь)1 Ю+ о '1 Г па» + ехр ( — , ) ~ Г (х) соз — т(х.
о (36) Т, (и, т) = Т (О, т) + Т„(и, т) где во втором слагаемом и = 1, 2, 3,... Тогда имеем Т, (и, о) = ) Г (х) т(х+ — ) д (Ь) о( Ь + о о +ехр ~ —, ) ) Г(х) соз — дх+ о т +( — 1)" — ) т)(Ь) ехр ~ —, (т — Ь) 1 т(Ь, (38) о Перейдем от изображения функции к ее оригиналу в соответствии с формулой (30) Для удобства перехода к оригиналу по формуле (30) решение (36) перепишем так: (37) ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ВТОРОГО РОДА я к Т (х, к) = — ( ) Г" (х)е(х+ — ) о(Ь)е(Ь ) + о о зз 2 кк лкк алака с + — ~, соз —.'," ехр ( —, ) х л=! и ) Г (х) соз йх+ о + —,~~ ( — 1)лсоз "'" !) д(Ь)ехр ( —, (к — Ь)~дЬ. (39) л=! о ~1(х) = Т,= сопз1, ! то из решения (39) получим (л Т(х, к) — Т, =- — ~ д(Ь)а(Ь+ —,),'з ( — 1)лсозрл х ~ д(Ь) и а л=! е х ехр [ — — „," (т — Ь) ~ е(Ь, (40) где р,„= кп.
При выводе было учтено, что для п+О я Т, соз 1ал — дх = О, о т. е. первый ряд в решении (39) обращается в нуль в силу ограниченности членов л !зла 2 х ехр ( — — ", и соз1 Нз л Еспи тепловой поток у поверхности пластины постоянный, т. е. Ч (т) =-. д, == сопз1, ~ то из решения (40) получим зз Т (х, к) — Та= — ~ — + 2й ~( — 1)л — соз1а„— + ~аз ч' 1 х 3 л л=-! !ал + 2К ~( — 1)'" —, соз1а„— ехр ( — 1з„ро) ~. (41) 6 заказ нз аае Решение (39) является более общим по сравнению с (14) и (20). Из него можно получить и решение (14) или (20). Если распределение температуры в начальный момент времени равномерное, т.
е. 162 Глава лягая Из теории рядов Фурье известно, что 2Я л'з ( — 1)л — соз[х„— =— 1 х йв — Зхв 11 зй л 1 Рл (42) Тогда окончательно получим в [а й — Зх' Т (х, х) — Т, =- — ' [ — — + в=- ~)д л + Я ~( — 1)"" —, сов рл — ехр ( — 1х~ Ро) ~, л=! Рл (43) что тождественно выражениям (14) и (20). $3. шАР [симметРичнАя зАдАчА] Постановка задачи. Эта задача аналогична предыдущей, только вместо неограниченной пластинь! имеем шар.
Нагревание шара происходит равномерно по всей поверхности (симмегпричная задача) при постоянной плотности теплового потока дл =д, = сопз1. Требуется найти радиальное распределение температурь! в любой момент времени и удельный расход тепла. Дифференциальное уравнение приведено в 2 4 гл. 1Ч. Начальное условие следующее: ! Т (г,о)=Т,. Так как решение будет найдено операционным методом, то граничные условия напишем для оригинала и изображения: зт(й, л) + е ах +х — Тс(1с, з)+ Д=О, (2) — О, Тс(0, з) — О, (3) (4) Т (О, т) + , Т! (О, з) + вЬ ~/Г х Т (, ,) 7 В Постоянную В определяем из граничного условия (2), т. е.
В ф сЬ )/ 1!1+, з[! )/ )т+ О, Решение задачи. Решение дифференциального уравнения теплопроводности для изображения при симметричном расположении изотерм относительно центра шара, т. е. при учете условий (3) и (4), имеет вид [см. решение (22) 3 4 гл. 1Ч] ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ВТОРОГО РОДА 163 откуда (6) '(У:: '" У:: '-" ~'::') Следовательно, решение для изображения будет иметь вид д, и (2(с У з г ) Ф (з) т (7) 7'г (г, з) с.[~)г — '« — ' .«)/' «~ У'и Оно представляет собой отношение двух обобщенных полиномов где 3«(з) — выражение в квадратных скобках, которое является обобщенным полиномом относительно з.
Таким образом, условия теоремы разложения соблюдены. Найдем корни выражения ф(з), для чего его необходимо приравнять нулю. Отсюда получаем: 1) з = О (двукратный корень), 2) з„ а — ~" — бесчисленное множество простых корней, определяемых из )«2 характеристического уравнения (КР=-Р, (8) которое выводится следующим образом: ° ~ 3 1 с)1 1гг — Й вЂ” з)! 1г — Я = соз( 1г — зс— 1 21п з' ~à — «2' = О; ° з ;У ° . 2 Ь.
1 если обозначить з ~~ — )т = р,, то соз(« — — з(п(с = О, т. е. имеем а и характеристическое уравнение (8). Для корня з = О применим теорему разложения (случай кратных корней): Ф (О) . ( Ы ( зс Ф (з) ) 1 , ( з Ф (з) зс Ф' (з) ф' (О) .-а ( с(з ( (т ( ) ) ) ,„ ( т ( ) т (з) Ф (з) т' (з) 1 с)с И ( За с гз 3 Л (т (з)]2 [ Л ( Из 2И« 10! ' Чс с« 2)2 'р (з)— а («(з) =- з [с)! Чс «« 1 г2 1 гз 2 Л с 1 ( з ) з2 ( ) -'( 31 а 51 аз У." л — ' зй У вЂ”.' г) = +... )-( —,', '— :+ —,' ' —.', .+...)~-" (.), Глава пягая 164 так как гл ()= х ~() = — „, )г'Ф() — —,— „~()=- —,, —.. Затем используем теорему разложения для простых корней вл Предварительно найдем: — — — вь ~/ в гт + — у — тг й у — гт' — — с)т 1г — гг' +— а 2 У а У а 2 У а 2' ~/ — й а ф'(в )= — 1 —.
~~à — '- ггз(п( ~~г — "гг ) =- — — р з)п1 а,) 2 л л 1 — — соз а нл л. Последнее равенство было написано с учетом характеристического уравнения (8). Величина Ф (зл ) равна Мп1 1/ —" 1 (зл ) лг и в1п Ил г Гт' 1" нл Следовательно, решение нашей задачи будет иметь вид 7, ( ) Т ЧЯ ( Зал Зй~ — Зг [ гг' 10гл (9) ОЭ г — ехр( — р —,) ~ гл 1 (10) СО г Нл ав1лл где К1 — критерий Кирпичева.
Корни характеристического уравнения (8) являются рядом чисел, не зависящих от критерия К1, а именно: а, =4,4934, р, = 7,7253, р я-- =. 10,9041, 1лв =- 17,2208 и т. д. (см. табл. 6.5 для В1= О). Анализ решения и определение удельного расхода тепла. Напишем решение в обобщенных переменных: ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ВТОРОГО РОДА 1,50 1,25 ОЛ О, О, 0,7 ОА О,б 0,8 — 1,0 г й Рис, 5.4. Температурное воле шара при сс.—. сопз1(симметричная задача) 517 1Гà — г' а ~ ~/ Й сп $гг Я вЂ” з1г $гг Тс (г, з) — — = Та сам а Хг При малых значениях го величина аагг — ' 1с велика.
Известно, что прн г а больших начениях 1гг — И (больше б,О) будем иметь с точностью до г а Ряд в решении (10) быстро сходится и поэтому, начиная с некоторого значения Го) го» им можно пренебречь по сравнению с двумя первыми членами выражения в квадратных скобках. Начиная с этого значения, температура в любой точке шара будет линейной функцией времени, а распределение температуры — параболическим.
Найдем приближенное решение для малых значений го. Вернемся к решению (7), которое можно переписать так: Глава пятая 166 й 2,0 !,2 0,8 0,4 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ,0 ро Рис. 5.5. Зависимости между —. и Ро аля поверхности (!) К! и центра (2) шара ( — '! ег1с ), 9= (' ) "=К1 — ~ех (Го тс — т — 3/Ро — ег1с третьего десятичного знака зй и= с)ти=- — е", 1)!и =- с%и = 1. Тогда 2 для значений г, близких к 14, можно и з)! 1/ — ' г заменить через 1 а фехр(У вЂ” 'г), т .
Ть (г, з) — — = ' ехр ~ — 1г — (1с — г)~ (12) те Ч оа ага Лга ( $/ — с — ! ) Пользуясь таблицей изображений (см. приложение И, формула (56)), находим ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ВТОРОГО РОДА 167 Для центра шара (г = 0) решение (11) можно написать так: (14) Тогда согласно формуле (57) таблицы изображений (см. приложение 1»1) находим 9 = 2К1 ([ ехр (Го — 1)[ ег[с/ . — ['г" о)) . (2 )г го (15) Из точного решения (10) и приближенных решений (13) и (15) следует, что относительная избыточная температура прямо пропорциональна критерию Кирпичева и зависит от числа Ро и относительной коордннаг ты —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
