Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 32
Текст из файла (страница 32)
) у'и ( и 2ии 4ив Следовательно, приближенное решение, удобное для больших значений времени, можно написать так: к= тку ак ! 2Ниак + 4Ниааха . ) (13а) Напишем решение в критериальной форме. Число Фурье для данной точки с координатой х обозначим через Ро„= —,, а критерий Био — через В1„(В1„= Нх). Таким образом, решение нашей задачи можно написать так: 0 = ег1с — ехр(В1„+(В1„)'Ро„) Р', 1 2 )ГРох х ег1с ( + В1„)/Ро„) . 1 2Р Ро„ Произведение В1„$'Ро„даетновый обобщенный аргумент, или новое число гомохронностн нестационарного температурного поля полуограниченных тел Л!„в= В1„)/Ром = к' а= — Л дТ(0, к) дх (15) где в — коэффициент тепловой активности тела.
Число У,,„равно отношению количества тепла, передаваемого к единице поверхности тела в единицу времени при разности температур между поверхностью и окружающей средой в один градус, к коэффициенту тепловой активности тела. Для технических расчетов на рис. 6.2 приведены графики зависимости безразмерной температуры от числа В1„)/Ро для различных 1 значений числа— 2 ф' г'ок Вычисление потока тепла. Плотность теплового потока через конец стержня равна 185 о о1 о о о н $ х о 6 о .с н о й х н о с О') о а о со ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА в сс щсо с'4 с ъ с ~~ ю сс сс э о о ~'сс о с сс о" о" о" о о о" о х о Я о~о '1 с о а н х й а с ч о о сд о й н о' х сн сс о о. й й о .й Ю 2 186 Глава шестая Если продифференцировать (11) по х и положить х = О, то получим (,' ') = — Н(Т,— Т,)е ег1сН)тат .
(1б) Это соотношение можно было получить иным путем. Дифференцируем решение для изображения (10) по х и, полагая х = О, имеем Тс(0, 3) —— (17) рае (1+ ~ ) Пользуясь таблицей изображения, из (17) получаем то же соотношение (1б). Следовательно, плотность теплового потока равна (18) с) = а(Т,— Ть) е "'ег1сН)т'ас Из соотношения (18) следует, что скорость потока тепла в первые моменты максимальна, а затем постепенно уменьшается, стремясь к нулю при т-+ . В начальный момент плотность теплового потока максимальна и равна '7шах,= а (Тс Те) ~ что непосредственно следует из граничного условия.
расход тепла на нагревание стержня за данный промежуток * времени можно найти, если проинтегрировать выражение (18) по т от 0 до и умножить на площадь поверхности конца стержня. $2. ЛОлуОГРАниченный стеРжень Без теплОВОЙ изОляции БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ Постановка задачи. Рассмотрим такую же задачу, но при отсутствии тепловой изоляции боковой поверхности, т. е. между боковой поверхностью стержня и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона.
Температура среды, окружающая боковую поверхность стержня, принимается постоянной и равной начальной температуре его. Если высота и ширина стержня малы по сравнению с длиной, а коэффициент теплопроводности значителен, то можно считать, что перепад температуры по высоте и ширине стержня равен нулю, т. е.
дТ дТ вЂ” = О. Таким образом, поставленная задача сводится к одноду де мерной задаче, когда перепад температуры происходит только в одном направлении (рис. 6.3). Теплоотдачу с боковой поверхности стержня в окружающую среду необходимо учесть в самом дифференциальном уравнении в качестве отрицательного источника тепла. Таким образом, дифференциальное уравнение теплопроводности можно написать так: с7- д — ),— д е' — со (т)0; 0(х( еь), дТ(х, с) 'деТ(х, е) где со — количество тепла, отдаваемого единицей объема стержня в единицу времени в окружающую среду.
Если обозначим площадь сечения стержня через Я, периметр сечения через Р, а длину достаточно малого участка стержня через 1, то ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 187 6 т Рис. 6.3. Распределение тем- можно написать тв = [Т(х, т) Те) 'Р1 Я =- а[Т(х, с) — Те) — „ 1 0,5 где а — коэффициент теплообмена в вт1м град, 14 = — — отношение 2, Р площади сечения стержня к периметру сечения (для цилиндрическо- 1 го стержня Н = — )с, для стержня 2 1 квадратного сечения Й = — а,где 4 а — сторона квадрата и т.
д.) в м. Таким образом, имеем дифференциальное уравнение вида т, дТ(х,т) «-Т(х, х) « дт дхн стз = а ' — — [Т(х, ) — Т ) (2) Упростим задачу, положив Н = — = для конца стержня. Это означает, что температура конца стержня сразу становится постоянной и равной температуре Т,. Тогда начальные и граничные условия можно написать так: (3) (4) (5) Т(х 0) Те Т(0, с) = Т„ Тс (х, з) — — '- Тс (х, з) + — — — Т„(х, в) + — = О. в т, « «т а ' а Лй ' Хдв (6) Граничные условия для изображения напишем так: Тс(0, в) = — "., (7) Тс(, в) = О. (8) Уравнение (б) можно переписать в виде Т',(х, в) — ( — '„+ — „'„)~Т, (х, в) — — ~ = О.
Решение уравнения (9) при условии (8) будет иметь вид Тс(х, з) — — ' = Втехр ( — ' „. ' х) (9) Решение задачи при конечном значении Н для ограниченного стержня будет дано в 9 4. Решение задачи. Дифференциальное уравнение для изображения Тс(х, з) имеет вид Глава шестая 188 Постоянную В, определяем из граничного условия (7) Т,— Т, 1= Следовательно, решение для изображения имеет вид Ть(х,з) — ' = ' ' ехр~ — ~Г' Для перехода от изображения Ть(х, з) к оригиналу Т(х,т) воспользуемся таблицей изображений. Известно, что й '~ — е — м" +в ~ = - — ~ е ~~~ ег1с( — г'Ьт ) + + е ~ в ег1с ( + ~'Ьс )~.
Следовательно, решение нашей задачи будет Т(л, с) — Т, Тс — Т й' '"''г" (.';-; — ~'".' )+ +е тв ег(с ( — '=+ ~т аае (12) Анализ решения. Если теплоотдача с боковой поверхности стержня отсутствует, т. е, —.,„= О, то из решения (12) получаем решение (12) 2 1, а именно 0 =ег1с 2 Гтат Это — решение для полуограниченного тела, когда температура ограничивающей поверхности постоянна и равна Т,. Введем число Фурье и критерий Био в следующей форме: аа !=в Х Тогда ваше решение можно переписать так: х (! 4) ~-,(~ Ю вЂ” *~.,а( " ~~'е" ): а ) 2у~, здесь введено обозначение Ео* = В1Ро. Произведение критерия Био на число Фурье дает пам новое число, которое характеризует теплообмен тела с окружающей средой при малом перепаде температуры внутри Глава шестая 190 В состоянии, близком к стационарному (Ро -ь ), первый член в квадратных скобках соотношения (18) стремится к нулю, а второй — к )т В(, так что плотность потока тепла будет равна М Тс — Тд) т (19) Таким образом, удельный поток тепла прямо пропорционален потоку тепла через стержень длиной Ь, когда температуры ограничивающих плоскостей его соответственно равны Т, и Т,.
Чем больше критерий В1, тем больше коэффициент пропорциональности, а следовательно, и расход тепла. Для иллюстрапии сделаем небольшой расчет. Длинный стальной вал диаметром 140 мм нагревается с одного конца в печи с температурой 1073'К(800'С). Температура вала до нагрева равна температуре окружающей среды Т, = 293'К (20'С). Найти температуру на расстоянии 17,5 см от конца стержня через 15 мин нагревания.
Козффициеит теплообмена принимаем равным а = 163 втум'град. Коэффициенты теплопереноса стали равны л = 46,5 вт)и'град, а = 1,25 !О ' мз)сгх. Вначале вычислим необходимые для расчета критерии; характерный размер Ь= Р=3,5 ем=-0,035 м; 1 2 число Фурье ач 1,25 1О '" 15 60 12,25 10 л критерий Био В1= — = ' =0 125' 46,5 модифицированное число Фурье ров = В! Ео = О, 125 9,2 = 1, 15; относительная координата х 17,5 = 5. я 3„5 Определим относительную избыточную температуру по решению (!4): г ! 5 = — ~ехр( — )т0,125 5)ег1с ( — )тТ15 )+ 2 гс9,2 ( 5 + ехр(тт0,125 5) ег!с~ +)т1,15 )~ = ! 2Рс9,2 = — (0,170 1,2744'+ 0,043).'= 0,130.
1 2 Тогда получим Т вЂ” Тв = 9(Т, — )Тв! = О, 130 780 = 101, Т = 101 + 293 = 394'К (121'С) . Итак, температура вала равна 394'К(121'С). Если пренебречь теплоотдачей с боковой поверхности, то температуру вала для х координатыч — = 5 найдем по формуле -" Ь х б = ег!с = ег!с — =! — 0,756 = 0,244, Ь 5 2Рсро 2)т 9,2 откуда температура вала равна Т = 293'К + 0,244 780'К = 483'К (210'С). Таким образом, пренебрегая теплоотдачей, мы получили завышенную температуру примерно на 90'С. ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕ!" О РОДА й 3. НЕОГРАНИЧЕННАЯ ПЛАСТИНА Постановка задачи. Дана неограниченная пластина, толщина которой равна 2Н.
Начальное распределение температуры задается некоторой функцией Т(х, О) = Т(х). В начальный момент времени пластина помещается в среду с постоянной температурой Т, Т(х, О). Между ограничивающими поверхностями пластины и окружающей средой происходит теплообмен по закону Ньютона. Требуется найти распределение температуры по толщине пластины, а также удельньчй тепловой поток. Имеем тп Рис. б.4. Распределение температуры и не- ограниченной пластине (симметричная за- дача) )дТ (х, т) д'Т(х, г) ( ( д* дл' Т(~, О) = 1( ), Лд™,' ' +.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
