Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В г Таким образом, отношение —. есть функция только Ро и —: К1 В (16) (17) Решение задачи для случая о (т), Т, = Г (г). Рассмотрим более общую задачу со следующими граничными условиями: Т(г,О) = Г (г), — 1 — ' +о (з)=0, ат(Р, ) аг (18) (19) ат (О, с) аг (20) Воспользуемся конечным интегральным преобразованием Я Тг (р, т) = ~ гТ (», з) Мп Рг Р (21) 0 ' На рис. 5,4 построены кривые распределения величины †.по относиК1 тельной координате для разных значений числа Фурье (от 0,05 до 0,5).
Начиная с Ро = 0,5, процесс нагревания становится квазистационарным; температура любой точки повышается по линейному закону, а распределение температуры следует закону параболы. На рис. 5.5 поз строены графики изменения величины —. от числа Фурье для повер- К! хности и центра шара. С помощью этих графиков расчет значительно упрощается. Удельный расход тепла находится по формуле 168 Глава пятая где р — корень характеристического уравнения з(п РЯ вЂ” РЯ соз РЯ = О. (22) Обратный переход от изображения Тв (Р, т) к ее оригиналу Т (г,т) осутцествляется по формуле ОЭ Т(», 5) =- —, Тр (0,5)+ —,~~,„,р" ""Р" ' Тп (Р„, 5).
(23) и=1 Применим преобразование (21) к дифференциальному уравнению теплс- проводности и учтем условие (20), тогда (д'Т(г, 5) 2 дТ(г, с) ) 5(п рг 1 дт(г, 5) 5!и рг 1 г )' — Р'Тя (Р, 5). (24) Из условия (19) следует д'Т (г, 5) дго о 2 дТ(г,5) ! Мпрг + )~ т — — о(г =-- дг Р = о') Р"" РР Р Т, (Р,.).
(25) Если теперь умножить все члены дифференциального уравнения тепло- 5!П рг проводности на г и проинтегрировать по г в пределах от 0 до )с, то на основании (25) получим Р ! про Т (р 5) 1;( Р 7(5) (26) Решение уравнения (26) имеет вид — )5' ~ д (Ь)ехр (аР'Ь) аЬ ~. о (29) ТР (р,а) = ехр ( — арот) )С(Р)+ — Я вЂ” Р ) д(Ь)ехр (ар'Ь)т(Ь ~. (27) о Для определения С (р) воспользуемся начальным условием (18): , С (р)= ) »1(г) Р т(г.
(28) о Тогда решение (27) можно написать так: ТР (р,т) = ехр ( — ар'5) ~ ~»7(г) — """ Нг+ Р о ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ВТОРОГО РОДА 169 Для удобства перехода к оригиналу предварительно найдем Тг (О,т)= ) г'Г(г)йг+ — „Я ') д(Ь)аЬ. о о Подставим значения Тг (О, т) и Тг (р, т) в формулу (23), тогда получим решение Т(г,т) = —,) г'Г(г)йг+ — ) д(Ь)йЬ+ о о Рк ехр ( — ар„т) Х 5!и! Рк и о!и р„г Ро Х Р" ехр( — ар„ Г (31) Обозначив р„= р„)с; го = а т/Яо и используя характеристическое уравнение з!п р = р соз р, получим решение в окончательном виде 3 ~ о. + За ~ (Ь) ~Ь+ +Х к ! !Рп ооо ~"о Х ехр( — р.„ро) ( гГ(г) 1п о о!и еп гЯ гя ОЗ п=! Х м" '" '~ ехр ( — р.„'г'о) ~ д (Ь) ехр (!!„' —,) й Ь.
(32) о В частном случае, когда Т (г,0) =- Т = сопя(, о (с) !Т, сопз(, из решения (32) получаем'решение (9). 9 4. неОГРАниченный цилиндР Постановка задачи. Для неограниченного цилиндра с радиусом Я постановка задачи такая же. Нагревание постоянным тепловым потоком происходит равномерно по всей поверхности цилиндра (симметричная задача).
ОО +Х и=! Х вЂ” ~ гГ' о ОР й + о ~~! Ярк з!ар Д Х Рк М!' Рк Й к=! т) — ~ !Т(Ь) ехр (ар~~9)йЬ. о Глава лягал 17О Дифференциальное уравнение теплопроводности для неограниченного цилиндра при условии, когда температура зависит только от г и с, приведено в 3 5 гл. 1Л/.
Начальное и граничное условия тождественны условиям (1) — (4) предыдущей задачи. Решение задачи. Решение дифференциального уравнения при начальном условии (1) и условиях (3) и (4) можно написать так (см. решение (31) 3 5 гл. 1Ъ'): т, (~/ ',,) (1) где !, ( ~/ — г ) — модифицированная функция Бесселя первого ро- да нулевого порядка, А — постоянная 1относительно г. Постоянную А находим из граничного условия — 1/ —; А!.'( ~à — ' Д ) +,' — = О, откуда л.ф ' !,(~/ 'р) так как !о (г) = !, (г) — модифицированная функция Бесселя первого рода первого порядка. Следовательно, решение для изображения можно написать так: '(~:: ) ла ~// ' я!1( ф — ''.Й) Это решение является отношением двух обобщенных полиномов относительно з, причем полипом ф(з) не содержит постоянной, а полипом Ф(з) имеет постоянную, равную д,)г, а именно (2) ( Ф (з) = д й! ( )/ — г ) = дЯ (1 -1- — з +, з' +...
), (3) 1 Я' 1 й~ Ф(з) = лз ФГХг! (1/ г ) = лз ( — — + — — 3+ ) = =лз р(з), (4) где ~р(з) — выражение, стоящее в скобках, которое является полиномом относительно з. Воспользуемся теоремой разложения. Предварительно найдем корни выражения )(з), для чего приравняем его нулю: ( (з) = л з ф — й!1 (1/ — ' й) = л У <р (з)'= О'. ч/ г Отсюда получаем: 1) з = О (двукратный корень), 2) ! (ф — Р) = = — У1 11 — й) =О, т. е. бесчисленное множество корней з„= = — —,", где 1 ~~ К = р — корни функции 1,(1 ) (см.
табл. 5,1). ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ВТОРОГО РОЙА Таблица 5.1 Корни характеристических уравнений Тв (р) = 0 и 7! (р) = 0 Корни рл уравнений У, О.! = о Корни рл урввненвй У. Ы1=а ) .р, (Ю= о г,(в!=о Находим значение Ф (0) так как Ф(0) = !7«7С !р(0) = 2, Ф'(О) = !)«74 —, (р'(О) = Далее найдем р'(з„): ,р ( ) — Л 1руГ ) (~Г )з) + 1 (у' 17) 1)шф'(з„) = "'" Т; (17' ' )р) — ' " у!(9„), л так как 1,'(г) =Г!'(рг). Таким образом, получим «е о« л=! л=! Воспользуемся рекуррентной формулой (и У Ь)=)в Го(р) Гх(р).
Так как согласно характеристическому уравнению а',((в„) = О, то бу,' дем иметь у'(Р.) = уа(р.). Следовательно, решение нашей задачи можно написать так: с) — Тв т,— т в = К1~2Го — 4 (1 — 2 —,) — ~~)~~ й .Го(р„— )ехр( — р,'го)) л=! (5) Анализ решения и определение удельного расхода тепла. Ряд в решении (5) быстро сходится, так как рл — величины большие (см.
табл. 5.1). Поэтому, начиная с определенного значения Ро >Го„этим рядом можно пренебречь; тогда температура в любой точке цилиндра будет линейной функцией времени, а распределение температуры — параболическим (квазистационарный режим). 2,4048 5,5201 8,6537 11,7915 14,9309 3,8317 7,0156 10,!735 13,3237 16,4706 6 7 8 9 10 18,0711 21,2116 24,3525 27,4935 30,6346 19,6159 22,7601 25,9037 29,0468 32,1897 172 Глава пятая 1,75 К~~ 1,5 1,25 !.0 0,7 0,6 0,8 1,0 г й Рис. 5 0 Температурное поле неограниченного цилиндра при Чс = сопи (симметричная задача) На рис. 5.6 даны кривые распределения безразмерной величины 8 — для разных значений Го. Из рис.
5.6 видно, что, начиная с со = К1 8 = 0,6, парабола, характеризующая распределение —. по относительной К! координате, равномерно смещается вверх. Зависимость между —, и числом со для поверхности и на оси цилиндра приведена на рис. 5.7. Найдем приближенное решение для малых значений гго. В решении (2) для изображения разложим функции Го ~1/ ' !~~ и 7,(1/ ' 7р) в асимптотический ряд: 1 „/ 1 9 '(4= !72.„'"~'+8. + 128" +" ) 1 7 3 15 Г(и)= еи ! — —— тГ2пи ~ 8и 128иа — ) ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ВТОРОГО РОДА 173 2,8 2,4 2,0 О, 0,2 0,4 0,6 0,8 — ~ 1,0 Ро Рис.
5.7. Зависимости между —. и Ро дли поверхности (1) К! и оси (2) цилиндра Ограничиваясь двумя первыми членами, решение (2) можно написать так: То 4» Г ) ая (Й+Зг)о 1 — ф — '(и О 7'х(г, з) — — = — + ~ е ' . (б) 5 )г г* 8гвв )г гЯ Пользуясь таблицей изображений, получим приближенное решение г г 1 — — 1+3 — 1Роцв 1 — —— 2 )ггг — г'о(ег(с + (вег(с +... 2 ф'Ро 2г )ГЙг 2)г Ро (7) где 1 ц1 1ег(си = = е — пег(си, 1 (в ег(с и =- — [ег(с и — 2и1ег(с и) . 4 Глава пятая 174 Температура на поверхности цилиндра (г = — )г) будет изменяться с течением времени по следующему соотношению 0 ж 2К)1г' го + ! К)ро.
2 Следовательно, в начале процесса нагревания температура поверхности цилиндра увеличивается по параболическому закону, а затем — по линейному закону (квазнстационарный режим); таким образом, имеется некоторая аналогия с изменением средней температуры Т(п) при нагревании неограниченной пластины (см. 23). В последнем случае средняя температура пластины в начале повышается по параболическому закону, а затем — по экспоненциальному закону. Удельный расход тепла Л!), можно определить по формуле 2 Л!',) = — д,п.
(8) Решение задачи для случая д (и), Т, = Г(г). Рассмотрим более общуго задачу с краевыми условиями (9) (10) Т(г, 0) = Г(г), ), ю~р ') +Ч(,) 0 дТ(о, и) 0 дг Для решения задачи воспользуемся конечным интегральным преобразованием Ханкеля Т (р, ) = ) гТ (г, )(о (гр) с(г, (12) о где Хо(г) — функция Бесселя первого рода нулевого порядка, а р — ко- рень характеристического уравнения 7; (р, гс) = О. Переход от изобрзження функции Тн(р, и) к ее оригиналу Т(п, г) осуществляется по формуле Т(г, и) = — оТн(О,п) + —, ~~ Тн(рви) о " .
(13) йаГ ТО (Оп% п=1 Применим преобразование (12) к дифференциальному уравнению теплопроводно"ги и учтем условия (11) и (10): — ") (УТ(г, т) 1 дТ(г,п) ) ( ) 1 7 ( ) дТ(й,п) оТ ( ) дго о =)~7,Жр) ",*' — р'Т„(р, ). (14) ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ВТОРОГО РОДА 175 Умножая все члены дифференциального уравнения теплопроводности на гТ (рг) и интегрируя по г от 0 до Я с учетом (14), получим + ар'Т„(р, а) = а)а „,То(рй). (15) Решение этого обыкновенного дифференциального уравнения будет Тн (Р, а) = ехр ( — ар' а) ~С (о) + К вЂ” „,Го (И) ~ а (Ь) ехр (ар' Ь) дЬ ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
