Лыков А.В. - Теория теплопроводности (1013608), страница 35

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 35)

6.13. Зависимость между первым корнем рт характеристического уравнения и критерием В1 для неограниченной пластины 1,20 1,!5 1,!0 1,05 0 0,4 0,8 1,2 1,6 — ~- 2,0 81 Рнс. 6.14. Зависимость между коэффициентом А! и критерием В! для неограниченной пластины 1Д А,~ 0,8 !6.0 в Глава ыввгав 208 температуры по закону прямой, то все кривые распределения будут пересекаться в одной точке, и краевая задача сведется к обобщенной внутренней задаче.

Вернемся к решению (29) нашей задачи. Благодаря неравенству и <ре« г' ряд (29) быстро сходится, и, начиная с определенного значения Ро„ все члены ряда становятся исчезающе малыми по сравнению с первым членом, так что ими можно пренебречь (ниже будет показано, что с точностью до 0,25% при — = 0 и В! = 1 всеми членами ряда можно Р пренебречь, начиная с Ро> 0,55). Следовательно, при Ро) Ео, решение (29) значительно упрощается и имеет вид †.ага е = 1 — А,совр, — е и (36) Для удобства расчетов на рис. 6.13 и 6.14 построены графики и, = Г" (В!) и А, = гр(В!) для значений В! от 0 до 20 [при В! )0,1 значение рх можно вычислить по формуле (19) 9 10). Для малых значений В! приходится брать несколько членов ряда, что приводит к известным трудностям в расчетах. Найдем приближенное решение нашей задачи, пригодное для малых значений Ро.

Решение (25) для изображения можно написать в иной форме: Т,(х,з) — = ' .Х ТО /е 5 в ехр (1// х) + ехр ( — 1/ — х) ехр ( )/ в Н)+ ехр( — 1/ в Н) + 1// в ~ехр (ф/Г в я)— — ехр ( — 1/ Н)~ (ехр ~ — ф — (Я вЂ” х)) + ехр ~ — ф — (Я + х)) Х (" — '~' ) -1 ехр ( — 2 1/ — ' Я) (37) Х 1 + Н~в/ а Т, (х, з) — ' ' (ехр ~ — 1/ — ' Я вЂ” х)~ + ( . й/') Если выражение, стоящее в квадратных скобках, разложить в геометрический ряд и ограничиться первым членом ряда, то получим ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТБЕГО РОДА 209 + ехр ~ — 1/ — (тс + х)[) (38) Переход к оригиналу в 91: 0 т(х, ) — т, т,— т, производим по соотношению, примененному Š— х ж ег1с — ехр [Н ()с — к) + 2г'ат ( Š— х гт+ х + аН'т)ег1с ( +Н [/ах )+ ег[с — ехр [Н(тс + х) + 1, 2уот 2)/от ( Е+х +аН'т[ ег(с ( — + Н )/ат ).

1,21 ох (39) Если перенести начало координат из середины пластины на левую поверхность, т. е. сделать замену переменной х+)с =Х и положить 2)с —, то решение (39) превращается в решение (11) 9 1. Перепишем решение (39) в критериальной форме х г х 9 = ег[с — ехр [ В( ~1 — — ) + В)зро [ ег[с + х 1 +— Е х ) + В) ")/Ро + ег[с — ехр !ьВ![1+ — ) + х ! + )~ ~. врг.).~ е Ьве г.). 2 г'Ро (40) Решение (40) является приближенным решением, пригодным для малых значений Ео; оно заменяет несколько членов ряда обычного решения (29). т.

е. ')/ и (,В! )/Ро 2 (В! ')/Ро) (42) )1ля иллюстрации эффективности решения (40) при малых значениях Ро приведем численный пример. При малых числах Фурье температура в центре тела практически не изменяется, и поэтому наибольший интерес представляет изменение температуры иа поверхности пластины (х = Е). В !932 г. Пешль [1121 вычислил температуру на поверхности пластины в процессе охлаждения при малых значениях Ро (от 0,0003 до 0,01) для разных значений В! (от О,! до 2000). Результаты вычислений приведены в табл. 6.3. Вычисления были произведены по решению (29), причем, как отмечает Пешль, прн Ро = 0,0003 пришлось брать 36 члеаов ряда.

Громоздкость вычислений поистине вызывает удивление. Вычислим (! — за) по нашей приближенной формуле (40). Для поверхности пластины можно взять только два первых члена решения (40), т. е. ! — 0„= е ег!с В! )/Ро . (в| !' в )' (4! ) Это приближенное решение (41) удобно для расчетов прн малых значениях критерия В! Р' Ёо; при больших значениях В! )/Ро пользуемся соотношением Глава шестая Вычислим (1 — Оя) для Го= 0,0003 и В! = 1000. Число В! ')У Го равно В! '$У Го = '$/0,0003.1000 =- 17,32. По формуле (42) имеем 1 ( 1 17,32 1 ж 0,033.

2 (17 32)з / Таким образом, получаем значение, совпадающее с табличным, которое было вычислено при использовании большого числа членов ряда. Для Го = 0.,0100 и В! = 1000 число В1 )У Го = 100; тогда 00— 1 яз 0,006. 100 (l я Из табл. 6.3 находим, что при Го = 0,0100 и В! = !000 число (1 — 8„) = 0,006, т. е. получается полное совпадение результатов. Возьмем малые значения критерия Био (В! = 0,5); тогда при Го = 0,0010 будем иметь В! $у Го = 0,5 '$у 0,0010 = 0,0(58.

По формуле (41) находим О,ОООМ 1 — Оо = е ' ег!с (0,0158) = 0,983, что также совпадает с табличными данными. Из приведенных расчетов видно, что приближевное решение (41) дает вполне удовлетворительные результаты и заменяет колоссальный труд вычисления по классическому решению (29). В этом состоит большое преимущество операционного метода перед обычным методом, поскольку он позволяет получать ряд приближенных решений для разных значений Го и В1. Таблица бб Относительная температура на поверхности пластины (! — 0„) = ф (Го, В!) Число Фурье Го в! О,О!Оо о,аюз о,оо!о 0,0025 0,0050 Определение удельного расхода тепла.

Найдем среднюю температуру пластины, которая необходима для определения расхода тепла на нагревание, по формуле 1 Т (т) = — ) Т (х, т) с(х. — т~ (43) 0,1 0,5 1 4 1О 20 50 100 200 500 1000 2000 0,999 0,996 0,980 0,927 0,833 0,705 0,468 0,287 0,157 0,066 0,033 0,017 0,997 0,983 0,965 0,872 0,726 0,555 0,309 0,171 0,088 0,036 0,018 0,009 0,995 0,975 0,947 0,809 0,6!5 0,441 0,211 0,111 0,057 0,023 0,0!1 0,006 0,993 0,963 0,926 0,747 0,522 0,336 0,154 0,079 0,040 0,016 0,008 0,004 0,989 0,948 0,897 0,670 0,428 0,256 О,!!1 0,056 0,028 0,011 0,006 0,003 ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ ТРЕТЬЕГО РОДА 211 Таблица 5.4 2ВВ Значения постоянных В„ = Р~ (В!! + В!+ и~~) В! в, Если подставить вместо Т(х, т) соответствующее выражение по решению (29), то после интегрирования получим (.) — о 1 ~~ В ( ~~Е ) Т,— Т и=! (44) где Ал а!п и„ 2ВВ (45) и„' (вп + в.

+ е'„) Коэффициенты В„все положительные, причем с увеличением (а„они быстро уменьшаются. В табл. 5.4 приведены первые шесть значений В„(с точностью до четвертого знака после запятой) в зависимости от критерия В1. При В1 — коэффициент В„будет равен 2 8 в„= —, р.~~ яе (2и — 1)е Для удобства расчетов на рис.

6.15 построены графики В, = Г'(В1) для значений критерия Био от 0 до 20. 50,0 30,0 !5,0 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,5 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 О,! 0,8106 0,8250 0,8354 0,8565 0,8743 0,8796 0,8859 0,8932 0,9021 0,9130 0,9264 0,9430 0,9635 0,9749 0,9862 0,9882 0,9903 0,9920 0,9939 0,9955 0,9973 0,9982 0,9995 1,0000 0,0901 0,0899 0,0893 0,0885 0,0839 0,0821 0,0797 0,0766 0,0723 0,0664 0,0582 0,0468 0,0313 0,0220 0,0!24 0,0105 0,0088 0,0070 0,0054 0,0040 0,0027 0,00!6 0,0007 0,0002 0,0324 0,0323 0,0315 0,0279 0,0236 0,0222 0,0205 0,0185 0,0162 0,0135 0,0104 0,0070 0,0037 0,0023 0,0011 0,0009 0,0007 0,0006 0,0004 0,0003 0,0002 0,0001 О, 0165 0,016! 0,0152 0,0120 0,0090 0,0081 0,0072 0,0062 0,005! 0,0040 0,0029 0,0019 0,0009 0,0005 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 О, 0100 0,0095 0,0086 0,0060 0,0040 0,0035 0,0030 0,0025 0,0020 0,00!5 0,00!О 0,0006 0,0003 0,0002 0,0001 0,0001 0,0067 0,0061 0,0053 0,0033 0,0020 0,0017 0,00!5 0,0012 0,0009 0,0007 0,0005 0,0003 0,0001 0,0001 Глава шастал 212 0,8 1,2 1,б 0 0,4 ! 0,99 0,95 0,98 0,90 0,97 0,85 0,96 0,95 2,0 6,0 20,0 81 8,0 Рис.

6.15. Зависимость между коэффициентом Вт и критерием В1 дли неограниченной пластины Дополнительно рассмотрим задачу охлаждения пластины в среде с температурой Ь, = О, когда задано начальное распределение темпераха туры по закону параболы: О (х, О) = ΄— (΄— Ь„) —,, где Ь,܄— л 17 а соответственно температуры в центре и на поверхности пластины. Решение такой задачи широко применяется в теории диффузии„ а также в сушильной технике.

Решение задачи будет иметь вид х Рл соа Рл 77 2 Ро Ь(х, с) = ) е "" Х рл + а!и рл соэ рл л=1 2 Г х Х вЂ” ) 11 (Х) СО5 Рл Е(х, о (47) где 7,(х) = О(х,0) — распределение температуры в начальный момент времени. Интеграл в решении (47) может быть взят в явном виде. Воспользуемся формулой и' соз ие(и = 2 и соз и + (и' — 2) 5(п и. удельный расход тепла (в дж~ма) за данное время т находим па формуле ЛЯ, = с7 '(Т(т) — Т,1.

Характеристики

Список файлов книги