Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Альтернативой может выступать подход на основе определения производной как решения соответствующего интегрального уравнения и применения некоторых квадратурных формул. Пусть а~в/ах = 3 (х), тогда имеет место соотношение 118 Е~ава 4. Стационарные задачи тенлонроводности Применяя для вычисления интеграла в (22) квадратурную формулу пря- моугольников, получим центральную разностную производную = Д+ 0(Ь ). Использование квадратур с многими внутренними узлами приводит нас к так называемым компактным розностным операторам. Например, применение квадратурной формулы Симпсона лля (22) дает: = -(Д ~ + 4Д+ у<ч.~)+0(Ь ).
2Ь В этом случае без формального расширения шаблона достигается более высокий порядок аппроксимации. Но при этом вычисление производной связано с обращением трехднагональной матрицы. 4.2.4. Метод пепосредствеяпой аппроксимации Построение разностных схем в случае задач с гладкими коэффициентами в регулярных областях можно осуществить на основе непосредственного перехода от дифференциальных операторов к разностным.
Проиллюстрируем этот подход на модельной одномерной краевой задаче стационарной теплопроводности. Рассматривается уравнение 4 / 4пз — — ~Ь(х) — ~ = у(х), 0 < х < 1, (23) Ых ~, 4х~— при Ь(х) > к~ > О, дополненное смешанными граничными условиями: 4п -Ь(0) — (0) + оп(0) = ды 4х (24) п(1) = дь (25) Построим разностную схему для задачи (23)-(25) на равномерной сетке йз с шагом Ь. Рассмотрим разностное выражение а;.„а; (ап — ) = — и — — и —.
тз — 1 з 1 з. С учетом (14), (15) получим о;~~ — а; 4п а;+~ + а; 4 и 2 (апи), = — (х;) + — (х~) + Ь дх ' 2 4хт а аз (26) Во внутренних узлах сетки ы заменим дифференциальное уравнение (23) разности ым: х Г ы. !771 — (ар;), = х 4.2. Построение разностямк схем 119 где р; = у(х;), 1 = 1, 2,..., К вЂ” 1. Для нахождения а; сравним (26) и д Г дн'~ дй йа а'и — (й(х) — ) = — — + й(х) —. 4х ~, 4х) 4х 4х Ихз При выборе а;, таких, что а;+~ — а; 4й — = — (х)+0(Ь ), Ь 4х (28) 2 ' = й(х )+0(Ь ), будем аппроксимировать исходное дифференциальное уравнение (23) разностным уравнением (27) с точностью 0(Ь~). Условиям (28) удовлетворяют, в частности, следующие формулы для определения а;: ; = й Пз = й(х — 0,5Ь), й;~+й; / 1 1~ а;= —, а;=2( — + — ) (й;, й) Разностное уравнение (27) дополняется условием (см.
(25)) Ул =Уз (30) Больший интерес представляет аппроксимация граничного условия тре- тьего рода (24). Заменим первую производную при х = 0 правой раз- ностной производной и придем к следующей аппроксимации граничного условия (24): (29) -й(0)уяр + оуо = у~ (31) 1)заничное условие аппроксимируется на двухточечном шаблоне с первым порядком. Для повышения порядка рассмотрим разностное выражение а~у,р на решениях задачи (23) — (25). Простейшие выкладки дают -агц,р = -й(хпз)а,д+ 0(Ь ) = з Ь 4й = — й(0)+ - — (0)~ ~ — (О)+ - — (О)~ +0(Ь ) = 24х у 1,ах 2 Их Ыа Ь Рйй Ыв а" а = -й(0) — (0) — — ~ — (0) — (0) + й(0) — (0) + 0(Ь )- 4х 2 1,4х Ых Принимая во внимание уравнение (23) и граничное условие (24), придем к следующей аппроксимации второго порядка: Ь вЂ” а~У я+пуз =У~+ — 1оо 2 (32) Более высокий порядок удается получить за счет аллроксимации краевого условия иа решениях исходной дифференциальной задачи.
Такой прием широко используется при построении разностных схем повышенной - ~ нюетн пекоторые примеры обетжлаются ниже. 120 13ава 4. Стационарные задачи тенеонроводноетн Р = (х ~ х = хб = (ъЬы уйз), 4 = О, 1,..., Х„ з'=0,1,...,Км Лг„Ь,„=1, а=1,2), и пусть ы — множество внутренних, а ды — множество граничных узлов (рис. 4.1) . 1 ! Рие. 4.1 Аппроксимация эллиптических уравнений проводиться на основе рассмотренных выше аппроксимаций обыкновенных уравнений.
Пусть, например, рассматривается задача стационарной теплопроводности в неоднородной среде с заданным температурным режимом на границе, т. е. н(х) определяется как решения следующей задачи Дирихле: Би = у(х), и(х) = у(х), (33) (34) гбй, х Е дй, где д Г ди~ Би=~~ Б и, Б и= — — ~Ь(х) — ). дх [, дх ) (35) Краевой задаче (33)-(35) поставим в соответствие разностную зааачу: Лу = ~р(х), и(х) = оГгЪ. (36) х бы, т с Эы Аналогично рассматриваются и краевые задачи для эллиптических уравнений. Мы ограничимся для простоты изложения двумерными задачами. Переход к случаю большего числа измерений чаще всего носит редакционный характер и в книге не рассматривается.
Будем считать расчетную область й прямоугольником: й = (х~ х = (хп хз), 0 < х» < 1„ а = 1, 2). Введем равномерную по каждому направлению сетку ы с шагами Ь| и Ьз. 4.2. Посо!роение разноси!ныл схем !21 где с учетом (27), (35) положим 2 Лу = ~~! Л,у, Л«у = -(а у;.)х,.
(38) «=1 Для коэффициентов разностной схемы (36), (38) в соответствии с (29) положим, например, а,(х„хг) = а(х! — О 561,хг), аг(х„х,) =й(х„хг — О 5Л2). Для достаточно гладких коэффициентов и решений задачи (33)-(35) разностная задача (36)-(38) аппраксимирует дифференциальную задачу со вторым порядком. Отдельного упоминания заслуживают проблемы аппроксимации задач теплопроводности в анизотропных средах, когда уравнение теплопроводности содержит смешанные производные (см. и. 2.1).
Будем рассматривать задачу Дирихле (33), (34), когда д г" да '1 Ьа = ~ Е Оа, Ь рп = — — ( 72«О(х) — !. дх. ~ ' дх,)' при соответствующих ограничениях на коэффициенты й О. Для задачи (33), (34), (39) рассмотрим разностную задачу (36), (37) при условии, что (39) г Лу = ~~1, Л«ду. (40) «22=! Каждый из операторов Ь о аппроксимируем разностным оператором: Ряс, 4.8 1 Л«ду =-2((н Орое)*. +(и. (41) Разностная схема (36), (37) в этом случае рассматривается на девяти- точечном (рис. 4.2) шаблоне (узлы (х, + ай„хг + ДЛ2), о, Д = О, х!). В частности при постоянных коэффициентах уравнения (33), (39) аппроксимация (40), (41) дает: 2 7оо«У«о («!2+ «21)У ' ' Зг(Х)~ -Е х1х! «=1 Представим оператор Л р в виде ЛФ2(Ло+Лд) ! Л.'Фу = -2(й«ду*е)-..
1 Л«ОУ (~«еуЗЕ)«,1 122 Вгава 4. Стационарные задачи темонроводноети Нетрудно убедиться, что операторы Л р и Л"р имеют первый, а Л,р — второй порядок аппроксимации. При а = )У имеем 1 йцу = — -((йцуе,)„+ (йцУ„)з,) = (ацнв,)ац ! Л22У 2 ((Й22уаг)аг + (Й22уаг)хг) = (аззиаг)агг где 1 ац(хг, х2) = -(йц(х, — Ьц хз) + йц(хг, хз)), 1 о22(х!, х2) = — (Й22(х1, х2 — Ь2) + Й22(хг х2)). Принимая во внимание (29), лля погрешности получим Л и — й и = 0(~Ь!~), ~Ь|~ = Ь2+ Ь22, о = 1, 2. Рассмотрим теперь оператор со смешанной производной: 1 2 Формула Тейлора дает (см.
(14), (! 5)): г!и Ьзд и 2 наг = — (Х) — — — 2 (Х) + 0(Ь2), г!Хз 2 г!Х22 2 е„= — (х) + — — (х) + 0(Ь,). г!Х1 2 г(х21 Полагая о = Й12оаг, получим Ь д Ь д 2 Л12У = бгзи+ — — Тгза — — — Т12и+ 0()Ь~ ). 2 дхг 2 дхз Аналогичные выкладки дают 111 д Ьз д 2 й,+,у = з 12и — — — бгзн+ — — Ьгзн+ ОЩ ). 2 да, 2дхз Отсюда и следует вывод о том, что Лцн — ьгзи = О(1Ь1 ).
Аналогично рассматривается разностная схема (Зб), (37), (40), если вместо аппроксимации (41) использовать 1 Лару — ((йафуаа)а, + (йаруаа)в ) ° Краевые условия для рассматриваемых задач в прямоугольнике аппроксимируются аналогично одномерному случаю, Поэтому мы не будем на этом останавливаться более подробно. Задачи в нерегулярных областях обсуждаются отдельно. 4.2. Построение разностных схем 123 4.2.6. Консервативные схемы Вывод основных дифференциальных уравнений основан на записи соответствующих законов сохранения для элементарных объемов (интегральная форма законов сохранения) и стягиванием этих объемов к нулю.
Этот предел и есть дифференциальная форма законов сохранения. Метод конечных разностей означает по сути обратный переход от дифференциальной модели к интегральной. Естественно требовать при таком переходе, чтобы законы сохранения выполнялись. Разностные схемы, выражающие законы сохранения на сетке, называются консервативными разностными схемами. При этом законы сохранения для всей сетки должны быть алгебраическим следствием разностных уравнений. Приведем пример неконсервативной схемы, которая расходится в случае разрывного коэффициента теплопроводности.
Будем рассматривать задачу И г Ии'г — — ~й(х) — ) =О, 0<х<1, (42) ") и(0) = 1, в(1) = О. (43) Левую часть уравнения (42) запишем в раздифференцированном виде и поэтому азв Ий 4в -й(х) — — — — = О, 0 < х < 1. (44) Ихз Ых Их В соответствии с принципом непосредственной аппроксимации задаче (43), (44) поставим в соответствие разностную схему — йуз, — йауа = О, х 6 ы, (45) до=1, рн=О.
(46) Покажем, что схема (45), (46) расходится в классе кусочно-постоян- ных коэффициентов теплопроводности ~ й1, 0<я<6, (йз, 6<х<1. Будем считать, что в точке разрыва х = Р выполнены условия идеального контакта: ~ Ии1 1в) = в(С + 0) — и(6 — 0) = О, й — ~ = О. В этих условиях задача (42), (43) имеет решение в виде кусочно-линейной функции 11 — аох, 0<х<6, (47) 1~ Д(1 — х), Р < х < 1.
Постоянные аО и 13О находятся из условий сопряжения: аΠ— †(Х + (1 Х)0 130 Х1"О Х й1/йз. 124 !Лава 4. Саационарлые задачи юеллолроводносл!и П риведем теперь решение розностной задачи (45), (46). Пусть 6 = х„+ рй, где х„= пй, 0 < р < 1. В силу того, что коэффициент кусочно- постоянный, имеем рв, ! = О при всех 1 ф и и ! ~ и + 1. Поэтому 1 — ах, 0<х=х;<х„, !З(1 — х), х„1 < х < 1. Для определения коэффициентов а и !З запишем разностное уравне- ние (45) при х = х„и х = х„1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
