Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(20) дт, а норма ~~у11 = (у, у) '~'. Задачи теплопроводности рассматриваются при однородных граничных условиях, т.е. в (6), (7), (9) функция д(х) = О, х Е дй. На таком множестве функций определяется соответствующий дифференциальный оператор задачи. Пусть, например, дифференциальный оператор А задан выражением 4,1. Краевые задачи длн эллиптических уравнений второео порлдка 107 Полагая в равенстве (20) ди у»(х) = -й. (х) — уз( ) = е(х), дхр получим ! д»' ди г (Аи,е) = — / ~~» — ~й р(х) — )пах = / дха (» дхр / ар=! дй =-Р ди Р ди де — — е(х) 4д+ / ~ й,р(х) — — 4х. (21) ди дхд дха а»д=! Оператор А рассматривается (см.
(17)) на множестве функций, обрашающихся в нуль на границе. Поэтому из (21) непосредственно следует: ди де (А, ) = ~,' й. ( ) — — 4 . (22) -/ . дх, дх. а„д=! Принимая во внимание й,р = йр, отсюда и получим условие самосопряженности (18). Для оператора А, заданного на множестве функций, удовлетворяюших словию У вЂ” =О, хЕдй, ди ди также получим равенство (22). Аналогичные выкладки для тьего рода (23) условий тре- ди — +д'(х)и=О, х Е дй д (24) дают '»*»»*а а» т'( — )»*~.,1 '! »а, !»»» )'' - 1 (..)' г /ди~ а=! дха о ди до (Аи» в) = / ~~» й,р(х) — — »гх+ / а(х)ие»(д.
(25) дхд дх, а,д=! до Тем самым и оператор третьей краевой задачи самосопряжен. Установим теперь положительную определенность оператора А на множестве функций (17), т.е. покажем выполнение оценки (19). Из (22) и условия эллиптичности (2) непосредственно следует неравенство: ди ди г /ди~ (Аи,и) = / ~~» йар(х) — — 4х ) н! / ~ ~''( — ) дх. (26) ./ д дх. 1 (,д .У' ар=! а=! Для функций и(х), определенных в ограниченной области П, справедливо неравенство Фридрихса: 4Л.
краевые задачи для зллиптических уравнений впюрого порядка 109 Аналогично рассматриваются и более сложные задачи стационарной теплопроводности. В частности, можно отметить задачи со смешанными граничными условиями, когда на различных частях границы задаются условия разных типов. Выделим случай уравнения теплопроводности, когда источниковый член содержит слагаемое пропорциональное температуре, т. е. вместо уравнения (1) рассмотрим следующее уравнение: д / ди1 — ~'п,р(х) — ) + с(х)и = у(х), х б й.
, дх. 1, дхр,Г' Соответствующий оператор А' будет самосопряжен. Знакоопределенность при с(х) > сс будет определяться неравенством (Аии, и) = (Аи, и) + (си, в) > (б+ са)ЦвЦ~, В простейшем случае се > 0 оператор А' равно как и оператор А является положительно определенным. 4.1.4. Апрнорные оценки в гнльбертовых пространствах Приведем простейшие оценки решений задач стационарной теплопроводности для уравнения (1) с условиями (6), (7), (9). Для гильбергового пространства И'з (й) норма определяется выражением: Фч 2 ~~ ьл'.„,=Д ч)+~(,— '") ] и а=! Для решения краевых задач (1), (6) и (1), (9) имеет место оценка: Цв(хЩ1п1 < сз(Ц~(х)Цьйо1+ Цр(х)Ць 1вп1). (34) Оценка (34) выполнена н для решения задачи Неймана (1), (7) при выполнении условия нормировки (32).
Отметим также аналогичную оценку в случае, когда исходное уравнение имеет дивергентное слагаемое в правой части. Вместо (1) рассмотрим уравнение ~йаа(х) ~ =,У(х) + У ~ х Е й. (35) , дх. (, дх,,у', дх.' Соответствующая априорная оценка для уравнения (35), дополненного условиями (6), (7), (9) имеет вид: » ьи„,,„,<,(»я*я„,„~у:щ,п„,,иьп„, >). о6~ и ! Оценки в других нормах могут быль получены на основе теорем вложения из оценок решения в ггзь(й). Например, из оценок (36), (35) в одномерном случае (ш = 1) следуют оценки в равномерной норме.
Втава 4. Стационарные задачи тенлопроводности 4.1.б, Задачи Задача 1. Покажите, что настоянная лг в оценке (12) решения задачи Дирихле (3), (6) может быть выбрана равной Цо(х) Цс1п1, где функция о(х) удовлетворяет условиям; ~оЭ1, хбй, (37) е(х)>0, хбдй. (38) Решение. Рассмотрим функцию в(х) = о(х)ЦУ(х)Цс1п1+ Цй(х)Цс1мт1 ~ и(х). (39) С учетом (38) на границе дй имеем в(х) > О.
Внутри области нз (39) непосредственно следует Ьв = Цу(х)Цс1п1Ьо+ у(х). Принимая во внимание (37), получим Хв > О. В силу принципа максимума получим в(х) > 0 во всей области П. Неотрицательность в(х) позволяет из (39) получить оценку Ци(х)Цстп1 ( Цр(х)Цствп1 + Це(х)Цс<п1ЦУ(х)Цс1п1 т.е. в (12) М = Цо(х) Цс1п1. Тем самым проблема получения априорной оценки свелась к нахождению мажоратной функции э(х), удовлетворяюгцей условиям (37), (38). В частных случаях зто удается очень просто сделать.
ь Задача 2. Показките положательную определенность оператора д г ди 1 ди А'и = — ~~~ — ~ й,р(х) — ~ + ~~), Ь»(х) — (40) , дх. 11, дхр~ , " дх. на множестве функций удовлетворяюигих однородным граничным усло- виям первого рода, если дЬ йчй=7 — =О, ~-, дх, (41) т.
е. ири конвективном переносе тепла в несжимаемой среде. Решение, Представим оператор А' в виде А'=А+~;Ь.( ) —, д дх» (42) где А — оператор, определяемый согласно (16). Свойства оператора А исследованы ранее, в частности, установлена оценка положительной 4.2, мостроеиие разностных схем определенности (19) (см.
(29)). Для второго слагаемого в (42) с учетом условия (41) имеем„ з Ь,(х) — к(х) дх = -- у и (х) 41т Ь дх = О, дх а=1 о Поэтому (А'и, к) = (Ав, к) > (к~/с1)[[в[[з, где к, и с1 постоянные в (2) и (28). ь 4.2. Построение разностных схем 4.2.1. Приближеииое решение краевых задач Рассматривается проблемы нахождения приближенного решения задач теплофизики численными методами. Прежде всего коснемся вопроса о том, каким вообще может быть это приближенное решение, как оно может представаяться. Будем считать, что речь идет о поиске приближенного решения некоторой стационарной задачи теплопроводности. Точное решение обозначим в(х), х Е й. Для простоты, будем считать пока, что речь идет о решении одномерной задачи, т.е. П = (О, 1).
Можно отметить как основные два класса численных методов: сеточные и проекционные. Сеточные (разностные) методы основаны на переходе от функций непрерывною аргумента к функциям дискретного аргумента. В нашем случае на отрезке [О, 1[ вводятся точки (узлы) х; Е (О, 1), 1 = 1, 2,..., 1т — 1, хо — — О, хи = 1, образующие сетку ь>ь = ыь + дыь, где ь>ь — множество внутренних (1 = 1, 2,..., К вЂ” 1), а дыь — граничных (1 = О и з = 1т ) узлов. Пусть Ь вЂ” параметр характеризующий эту сепсу (плотность расположения узлов, расстояние между узлами).
Приближенное решение непрерывной задачи ищется в узлах сетки и обозначается ум = уь(х<), з = О, 1,..., К. Для нахождения этой функции дискретного аргумента формулируется разиостиая задана. Пусть линейная краевая задача записывается в следующем виде Ьв = у(х), х Е Й, (1) 1к = д(х), х Е дй. (2) Поставим в соответствие непрерывной задаче (1), (2) разностную залачу: алуа = >рь(х), х Е ыл> (3) 1лул = Хь(х), х Е ди>л, (4) где Ьь, 1ь — некоторые рззностные операторы, приближающие (аппроксимирующие) операторы Ь и 1 дифференциальной задачи (1), (3).
В нроекииониых методах решения задач математической физики функции непрерывного аргумента приближаются также функциями непрерывного аргумента и в этом нх принципиальное отличие от сеточных методов. Переход к конечномерной задаче осуществляется следующим образом. 112 1лава 4. Стационарные задачи тепеонроеодноети Пусть решение нашей задачи в(х) принадлежит некоторому пространству 74. В этом пространстве выделяется надпространство Нм, которое определяется линейной оболочкой элементов чоь(х), й = 1, 2,..., М.
Тем самым приближенное решение ищется в виде и вм(х) = ~ аьзоь(х). (5) ь=~ Затем из каких-либо соображений формулируется задача для определения коэффициентов аю й = 1, 2,..., М разложения (5). Тем самым проекционный метод характеризуется выбором базиса (функций зою й = 1, 2,..., М) и способом отыскания коэффициентов разложения. Отметим некоторые возможные подходы к определению аь, й = 1, 2,..., М, Будем считать, для простоты изложения, что рассматривается краевая задача (1), (2) с однородными граничными условиями (д(х) = 0) и функции тиь(х), й = 1,2,...,М этим условиям удовлетворяют, т.е.
(зоз = О, х Е дй. Задача сводится к определению коэффициентов аь, й = 1, 2,..., М из условия приближенного выполнения уравнения (1). Определим невязку Вм(х) = Ьвм — з(х), х Е й, (6) с которой выполняется уравнение (1) на приближенных решениях (5). Различные способы выбора коэффициентов разложения (5) определяются теми или иными способами минимизации невязки (6). Пусть рассмотрение ведется в обычном гильбертовом пространстве 71 = Ьз(й). Зададим некоторые весовые функции 7ю й = 1,2,...,М и найдем аю й = 1, 2,..., М из М условий (Им, 7ь) = О, Н = 1, 2,..., М. (7) Укажем некоторые варианты выбора весовых функций ую й = 1,2,..., М.
В методе наименьших квадратов ищется минимум нормы невязки, т.е. (Вм, Вм) — 1п1. Это соответствует тому, что 911м 7ь= —, а=1,2,...,М. даь Метод коллокаций состоит в том, что точно удовлетворяется исходное уравнение лишь в М выбранных точках (точках коллокации хю Й = 1,2,...,М). В общей формулировке (6), (7) метод коллокации соответствует выбору 7ь(х) = 6(х — хь), й = 1,2,..., М, где 6(х)— 6-функция. Класс проекционных методов, носящих название метод уалеркина, связан с выбором 7ь(х) = чоь(х), Й = 1,2, ™ (В) К этому методу близко примыкает (для самосопряженных операторов Ь вЂ” просто совпадает) метод Ритца.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
