Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для спектральной задачи (5), (7) упорядочим собственные функции по их возрастанию: Л~ < Лз < ... Л„ < ..., 1пп Л„ — оо. Причем все они положительны, т.е. Л, > О. Обозначим соответствующие собственные функции через о„(х), и = 1, 2,....
Отметим основные свойства собственных функций задачи (5), (7). Рассмотрим гильбертово пространство Н = Ьз(й), скалярное произведение в котором определяется выражением (р, о) = у(х)о(х) дх, а норма Ор~! = (р, р)'~з. Аналогично для положительных с(х) определим весовое гильбертово пространство Н, такое, что ЦрЦ,' = (р, у),, (р, о), = (ср, о) = с(х)р(х)и(х) дх. Собственные функции задачи (5), (7) ортонормированы в Н„а именно, имеет место (о„, о,), = б„„где 11, п=е, не — гимнов Коонекеоя йгава 3. Аналитические методы теплапраааднасти 82 Соответствующая задача на собственные значения и собственные функции (см.
(5), (7)) имеет вид: дз — +Ло= О, дх2 о(0) = О, о(1) = О. 0<х<1, Спектральная задача (12), (13) имеет следующее решение: Л„= яп~, п„(х) = ~Г2а1п(кпх), и = 1,2,.... (14) В соответствии с ( 10) и (14) н представляется решение уравнения (11) с условиями (2), (3). о ч*, ~~ = / ~ и! си, ед о~ Ге ~ / / дь', ине~ —, а.' е' ~ и о оп с ~//л*',Ось,ч*',Ои'е. оо о и Первое слагаемое в правой части (17) учитывает неоднородность в началь- ной температуре, второе — неоднородность граничного условия и тре- тье — неоднородность самого чравнения (! 1. 3.2.2. Метод функций Грина При построении решений краевых задач математической физики получил распространение метод функций Грина. Будем рассматривать задачу (1), (2), когда граничные условия первого рода неоднородные: я(х, 1) к р(х,1), х б дй. (15) Функиин Грина С(х,о;х,1) (функция источника) для этой задачи определяется как решение уравнения с(х) — = 01ч (й(х) ягаб С) + б(х — х', 1 — 1'), (16) д1 с однородными начальными и граничными (условия (3)) условиями.
Здесь б(х, 1) — б — функция (см. п. 2.3). Тем самым функция Грина С(х, х'; 1, Г) представляет собой поле температур от мгновенного (в момент времени Г) теплового источника, помещенного в точку х'. Решение общей задачи (1), (2), (15) однозначно представляется через функцию Грина. Тем самым проблема сводится к нахождению такой функции.
В некоторых простейших задачах теплопроводности (в частности, при аналогичном рассмотрении стационарных задач) такое построение удается провести. Для а(х,1) имеем 32. Аналитические решения линейных задач Выделим важный случай, когда рассматривается процесс теплопереноса в неограниченной изотроцной среде. В этом случае область й совпадает со всем пространством В и ограниченное Решение определяется из уравнения (1) и начального условия (2) (задача Коши).
При таких условиях 6(х, х; 1, Р) есть фундаментальное решение и соответствующее интегральное представление решения имеет вид: и(х, Е) = ве(х')6(х, х'; 1, О) ах'. Для однородной среды имеем С(х, х';1,0) = (2(яа1) ) ехр ~— !/2 -3 ( г (х х)1 4а1 где гз(х,х ) = 2 '(х! — х';)з, <=! Отметим возможность построения функции Грина методом разделения переменных. Для этого достаточно взять в (10) правую часть Дх, 1) в виде б-функции, что дает С(х, х; Е, С') = ~~! с(х )о„(х )еь(х) ехр (-Л„(8 — 1)), Из этого уравнения можно сделать, в частности, вывод о симметрии функции фина по пространственным аргументам при с(х) = сопя!. 3.2.3. Интегральные преобрааоваииа Для некоторой функции (оригинала) Я) интегральным нреабразаеанием (образом) называется функция е(р) = К(р,1),((1) д1, а причем К(р, 1) есть ядро преобразования.
В аналитической теории теплопроводности интегральным преобразованиям уделяется повышенное внимание. Рассматриваются как стандартные преобразования в бесконечных пределах, так и преобразования с конечными пределами интегрирования а и Ь. Наиболее известны косинус- и синус-преобразования Фурье, преобразование Меллина, преобразования Ханкеля и т.д.
В качестве наиболее характерного примера практическою использочич интегральных преобразований при Решении задач теплопередачи 84 Вава 3. Аналингические методы аенлонроводности отметим применение интегрального преобразования Лапласа. Для непрерывной Функции ~(1) действительного аргумента 1 при 1Я)) ( сопзг. ег", существует интеграл Р(р) = е ~Я) дз, р= ~+19 о при С > Со. По известному образу Р(р) определяется обратное преобра- зование Лапласа: Я) = — l ей+'" Р(с+1г1) дг1. 4я,/ Существует обширный табличный материал по преобразованию Лапласа и некоторым другим.интегральным преобразованиям. Не останавливаясь на деталях, отметим принципиальную возможность использования интегрального преобразования Лапласа для нахождения точного решения задач теплопроводности.
Рассмотрим задачу (1) — (3). Домножим уравнение (1) на ядро преобразования Лапласа е и и проинтегрируем по 1 от О до оо. Пусть и(х, р) = е и(х, 1) д1 о — образ решения. Непосредственные выкладки дают с(х)(ро — иа) = д1т (й(х) 8гад о) + Р(х, Р), х б й, (18) где Р(х, р) — образ источникового члена в правой части уравнения (1). Уравнение (18) дополняется граничными условиями (19) о(х, р) = О, х б дй, вытекающими из (3).
Таким образом пришли к решению задачи Дирихле (18), (19) для эллиптического уравнения второго порядка, в которой присутствует параметр Р. Если такая задача может быть решена, то далее ищется обратное преобразование Лапласа. В рассматриваемом случае преобразование Лапласа проведено по времени. Естественно, что в ряде задач более удобно использовать преобразование Лапласа по некоторым пространственным переменным.
Например, это можно сделать в случае рассмотрения стационарных и нестационарных процессов теплопроводности в полупространстве. Примеров такого типа может быть множеств 3.2. Аналитические решения линейных задач 3.2.4. Задачи Задача 1. На границе изотропного тела с постоянной начальной тем- пературой осуществляется теплообмен со средой, температура ко- торой изменяется во времени. Выразите рещрние этой задачи через решение задачи с поснюянными граничными условиями. (22) до с(х) — = бйч (й(х) бгаб о), х Е Й, 1 > О, о(х,О) = О, хай, до к(х) — + а(о — 1) = О, х к дй. Тем самым приходим к задаче, которая характеризуется постоянными граничными условиями. ь Задача 2.
Пренебрегая внутренними источниками тепла, методом разделения переменных получите общее решение гиперболического урав- нения теплопроводности. Решение. В этом случае уравнение переноса тепла имеет вид (см. п. 2.1): /ди дои~ с(х) ~ — + т, †) = 01ч (к(х) агасси), х б й, 1 > О. '1, д1 " д1 ) Помимо условий (2), (3) задается дополиительиое начальное условие: ди — (х, 0) = и|(х), х Б Й.
Решение. Необходимо найти решение уравнения ди с(х) — = гйч (й(х) йгаби), х Е Й, 1 > О, (20) удовлетворяющее условиям и(х, 0) = ио = сопМ, х Е й, (21) ди й(х) — + а(и — р(1)) = О, х Б дй, где б(1) — температура среды. Будем искать решение (метод Дюамеля) в виде и(х, 1) = ио + ~ д(1') —,о(х, 1 — 1') 41'. (23) о Подстановка (23) в (20)-(22) дает следующую задачу для нахождения функции о(х, 1): 86 Пгава 3. Аналитические методы теплопроеодиости При применении метода разделения переменных вместо (6) появится уравнение второго порядка: ВВ й~ — +г,— +ЛВ=О, С>О ОСС ВСО Решение эпно уравнения с учетом начальных условий (2), (24) позволяет записать искомое решение поставленной задачи гиперболической теплопроводности в виде и(х,С) = ~~' ((но~си)сс1г(7С)+ «=! + ((ан е„), + (но, ц„),/(2т„)) ОЬ х(7С)) е Спо„(х), где у = (1 — 4л„т„)1(2т,).
Представляет несомненный интерес сравнение этого решения с решением обычной задачи теплопроводностн (представление (9)), когда время релаксации т, — О. ь 3.3. Точные решения нелинейных задач 3.3.1. Функциональные преобразования иелннейнык задач Многие математические модели теплопереноса нелинейны. Прежде всего, можно отметить задачи описания процессов распространения тепла в средах, теплофизические характеристики которых непостоянны, а зависят от температуры.
По-существу нелинейными являются процессы с фазовыми превращениями, сопряженные задачи тепло- и массопереноса. Не имея возможности построить общие аналитические решения нелинейных проблем теплопереноса, мы вынуждены ограничиться некоторыми частными точными решениями. Решения нелинейных задач позволяют установить новые эффекты, свойства математических моделей, которых нет у линейных моделей. Поэтому точные решения нелинейных уравнений имеют важное значение в теоретических исследованиях. При проведении численного исследования частные решения нелинейных уравнений используются и для проверки точности вычислительных алгоритмов, для их тестирования.
В качестве характерного примера рассмотрим квазилинейное уравнение теплопроводности следующего вида: 8а с(а) — = 81ч (СО(н) йгаб н). 8С (1) При построении аналитических решений этого уравнения нет большого смысла формулировать какие-либо граничные и начальные условия, выделять какую-то расчетную область. По полученному частному решению нелинейного уравнения замыкающие условия по необходимости формулируются исходя из самого частного решения. Вз 1Ъава 3. Аналитические.методы теплопроводноети которое имеет характерную квадратичную нелинейность, а коэффициент и моделирует влияние вязкости.
Будем рассматривать задачу Коши для уравнения (7), т.е. дополним его начальными условиями и(х, О) = иа(х), -оо < х < со. (8) Для того, чтобы получить общее решение задачи (7), (8) используется преобразование Коула — Хопфа: 1 де п(х,1) = — 2и (9) е(х,1) дх' Подстановка (9) в (7) позволяет получить линейное уравнение теплопро- водности: (10) Ж дхз Начальное условие для уравнения (10) с учетом (8), (9) имеет вид Х(*)1 е(х,0) = ееехр — — ), 2и где еа — произвольная поетоянноя, а Х(х) = ва(в) Нв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
