Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 16
Текст из файла (страница 16)
(14) 71 2.б. Термоуиругостл В (14) через и обозначен коэффициент Пуассона: и = Л/(2(Л+ р)) < 1/2. Принимая во внимание простейшее стационарное уравнение теплопро- водности (7), получим для функции напряжений однородное бигармони- ческое уравнение: гаагу = О. В теории упругости бигармоническое уравнение широко представлено и его можно рассматривать в качестве базовой математической модели теории упругости (уравнение (14)). Отметим, что в рассматриваемом плоском случае 2.6.4, товвве пластины В теории упругости большое внимание уделяется моделям деформирования тонких пластин и оболочек, мембран. Сформулируем соответствующие уравнения, описывающие термоупругое состояние тонкой пластины.
Рассматривается напряженное состояние упругою тела в форме цилиндра малой высоты Ь. Выберем декартову систему координат так, чтобы плоскость х = О была серединной. Рассматриваются малые прогибы пластинки под действием нормальных нагрузок и теплового воздействия. В качестве основного уравнения лля стационарных прогибов пластины постоянной толщины выступает уравнение Софи Жермен: 27слЬго = 9 — ЬМт, (15) где Ю вЂ” цилиндрпческая жесткость, 9 = 9(х, у) — нагрузка, а Мт— изгибающий момент, обусловленный температурными воздействиями.
Для Мт имеем представление: лы Мт — — 21ла / Т(х, у,х)х 4х. (16) -лд При этом температурное поле определяется из решения соответствующего уравнения теплопроводности (стационарное уравнение теплопроводности (9)). В простейшем частном случае постоянной температуры имеем Мт — — О, т.е. такие, тепловые воздействия не приводят к смещениям вдаль нормали к пласвхиие. Влияние инерционных сил приводит к следующему уточнению уравцу~ия (15): дг ээ/л/лги+ ргл — = 9 — глМт. йз (17) д'ф д" ф длф слслф = — + 2 +— дхл дхг дуг дул В качестве других 'базовых моделей теории упрутости следует отметить гиперболическое уравнение второго порядка (уравнение колебаний (12), (13)), системы гиперболических уравнений (уравнения Ламе (3)).
72 122ава 2. Математические модели теплофизики Уравнение (17) дополняется нестационариым уравнением теплопровод- ности (7). 2.6.6. Задачи Задача 1. Лолучите выражение для деформации неограниченной упругой среды с заданным распределением температуры Т = Т(х,у, х) ~ Ть = сопзг, (х, у, х) б й, причем Т(х,у,х) = Ть, (х,у, х) к й. Решение. Стационарное термоупругое состояние описывается урав- нением (см. (11)): (Л+ 2р) Угад д1ча — ргоГ го1 а =78гадТ. Это уравнение имеет частное решение пяа =О, д1тв = (Т(х, у, х) — Те). 7 Л+ 2р Для а, определяемого по (18), (19), имеет место общее представление: 1 р д1та(х',У',х') 2 и — — — йгаг1 дх бу "х 42г (( 2)2+(у — у')'+(х — х')')~7 . Принимая во внимание(19), получим а = — 82ад — (Т(х, у, х ) — То) дх' ду дх, 42г(Л + 2р),/ так вне области й температура постоянна.
Задача 2. Получите стационарное уравнение напряженного состояния тонкой пластины в случае неравномерного по толщине нагрева, когда теплообменом в продольном навравлении моэсно пренебречь. Решение. В рассматриваемых идеализированных условиях уравнение теплопроводности (9) упрощается и имеет вид: д2Т вЂ” = О. дх2 (2О) Интегрирование (20) и подстановка в (16) дает: Мт — — ра — Т ху,— — Т ху,—— Это выражение используется в уравнении (15). Тем самым температурные градиенты в поперечном направлении приводят к изгибу тонкой пвастннь2 73 2.7. Библиография и комментарий 2.7. Библиография и комментарий 2.7.1. Общие замечания 2.1. Математические модели теплопроводности рассматриваются в классических руководствах [5 — 7, 11, 12].
2.2, Постановки краевых задач для уравнений теплопроводности обсуждаются в курсах уравнений математической физики (см., например, [16]). Обратные задачи теплообмена наиболее полно представлены в [1, 2]. 2.3. Задачи с фазовыми превращениями затрагиваются в учебной литературе [б, 11]. Более подробны библиография приведена ниже в главе 7. 2.4. Общие модели тепло- и массопереноса обсуждаются в книгах [3, 8, 10, 17] (см.
также главу 9). 2.5. Модели излучения в значительно более общем контексте (не только поверхностное излучение твердых тел) рассматриваются в работах [4, 5, 14]. 2.6. Среди общих руководств по теории упругости отметим [9, 13, 15], работы, посвященные собственно задачам термоупругости, отмечены в главе 8. 2.7.2.
Литература 1, Алифанов О.М. Обратные задачи тсплообмсна. Мл Машиностроение, 1988. 2. Бгк Днс., Блакуагл Б„Сгнт-Клэр гГ., лы. Некорректные обратные задачи теплопроводности. М.: Мир, 1989. 3. Длсалурил гТ. Естественная конвскпия. Тепло- и мнссообмен. Мл Мир, 1983. 4. Зиггль Р., Хауэлл Длс. Тсплообмсн излучением.
Мл Мир, 1975. 5. Исаченко В. П., Огинова В.А., Сукомвл А. С. Теплопсрсдача. Мл Энергоизязт, 1981. 6. Карслоу Х, Егер Д. Теплопроводносгь твердых тел. Мл Наука, 1964. 7. Кушатвладзв С. С. Основы теории тсплообмсна. Мл Атомизаат, 1979. 8. Ландау ЛД., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. Мл Наука, 1986. 9. Ландау Л: Д., Лифшиц Е М. Теория упругости. Мл Наука, 1965.
10. Лойцннский Л Г. Механика жидкости и газа. Мл Наука, 1973. 11. Ликов А. В. Теория теплопроводности. Мл Высшая школа, 1967. 12. Ликов А. В. Тспломассообмсн. Справочник. Мл Энсрпш, 1972. 13. Новацкий В. Теория упругости. Мл Мир, 1975. !4. Снэроу Э.М., Сесе РД. Теплообмен излучением. Лл Энергия, 1971. 15. Тимошенко С. П., Гудьгр Дж Теория упругости. Мл Наука, 1975. !6.
ТшшновА. Н., СамаргкийА.А. Уравнения математической физики. Мл Наука, 1977. 17. Шлихшинг Г. Теория пограничного слоя. Мл Наука, 1969. Глава 3 А налитические методы теплопроводности Проблемы теплопередачи в простейших случаях исследуются на основе классических аналитических методов прикладной математики. Для более сложных задач привлекаются вычислительные средства (ЭВМ и численные методы). Аналитические методы используются также при численном решении для предварительного изучения математической модели, для тестирования самих вычислительных алгоритмов. Исследование прикладных математических моделей начинается с перехода к безразмерным переменным.
Такой переход позволяет провести анализ задачи (выделить малые (большие) параметры). В безразмерных переменных сокращается число параметров задачи, что особенно важно при многопараметрическом исследовании прикладной модели. Например, в задачах оптимизации речь может идти о фактическом понижении размерности задачи минимизации. Выделение критериев подобия позволяет провести сопоставление результатов по разным экспериментам„ выявить подобие процессов. Наиболее продвинуты аналитические методы теплопроводности для решения линейных задач. Такие методы с многочисленными примерами до сих пор составляют основное содержание многих руководств по теории теплопроводности. Среди методов решения краевых задач теплопроводности можно выделить метод разделения переменных, методы интегральных преобразований.
Значительное внимание заслуживают точные решения нелинейных задач. Такие частные решения позволяют проанализировать специфику задачи, связанную с нелннейностью. Некоторые точные решения нелинейных задач теплопроводности могут быть получены на основе введения автомодельных переменных. В более общей ситуации может привлекаться групповой анализ. Отметим и некоторые функциональные преобразования, которые позволяют от некоторых нелинейных задач перейти к линейным задачам, для которых можно уже строить общие решения. Среди приближенных методов прикладной математики следует отметить методы возмущения. Выделение малого параметра позволяет а ряле сатчаса постпоить поиближенное аналитическое решение. Среди 75 3.1.
Безразиерный анализ важнейших результатов в этом направлении следует отметить теорию гомогенизации. На ее основе в случае композитных сред с включениями малых размеров можно вычислять эффективные характеристики сред. Аснмптотические методы широко используются в теории теплопроводности. В качестве примера отметим исследование регулярного теплового режима, который соответствует развитой стадии процесса. 3.1.
Безразмерный анализ 3.1.1. Общие еообразвения и модельная задача В практической деятельности понятно желание использовать единую систему единиц. При математическом моделировании, в вычислительной практике такой единой системой является безразмерная система единиц. И такое ограничение в применении других систем единиц имеет гораздо более глубокое содержание, чем просто удобство унификации. При приближенном решении задачи на компьютере, конкретной аппаратной реализации вычислительного алгоритма есть проблема ошибок округления. Для того, чтобы снизить влияние ошибок округления на точность приближенного решения проводится масштабирование. Искомое решение не должно быть слишком большим по модулю.
Это достигается тем, что искомые величины домножаются на соответствующие масштабные множители (преобразуется сама задача). При обезразмеривании достигаются цели масштабирования, причем безразмерные величины изменяются примерно от -1 до 1. Второе соображение в пользу необходимости использования безразмерных переменных касается выделения малых (больших) параметров задачи. Именно в безразмерных переменных можно сравнивать одни члены уравнения с другими. Малые (большие) безразмерные параметры позволяют строить упрощенные математические модели, проводить асимптотический анализ задачи (находить приближенное решение).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
