Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Наконец, и при прикладном численном моделировании это наиболее важно, использование безразмерных параметров позволяет сократить общее число параметров математической модели. Поэтому влияние группы параметров на решение можно проследить, если рассмотреть влияние меньшего числа параметров. Рассмотрим простейшую модель назревания цилиндрического стержня с теплоизолированной боковой поверхностью и длиной 1. Для простоты ограничимся случаем, когда теплофизические характеристики стержня (а также и другие параметры задачи) постоянны.
Процесс теплопередачи описывается одномерным уравнением теплопроводностн, которое имеет следующий вид бт бзт ср — =я —,+У, 0<х<1, 1>0, Пгава 3. Аналитические методы тенлонроиодности где использованы обычные (см. главу 2) обозначения. Будем считать, что на одном основании стержня поддерживается теплообмен с окружающей средой с температурой Т,: — й — +а(Т вЂ” Т,) = О, дТ (2) дх Пусть на другом конце стержня задан тепловой поток: дТ х — =д, х=!.
(3) дх Кроме того, считаем, что начальная температура стержня не совпадает с температурой окружающей среды, например, Т(х, 0) = О. Зтим исчерпываются необходимые начальные и граничные условия для уравнения (1). х=О (4) 3.1.2. Обеараамериваиие аадачи Поставленная задача (1) — (4) характеризуется следующим набором прраметров: 1, с, р, !г, у, а, Т„д. Даже для такой простой задачи решение задачи зависит от восьми параметров: Т = Т(х, 1; 1, с, р, й,,г, а, Т„с). Поэтому исследование влияния каждого из них уже не всегда представляется возможным. Обычно в вычислительной практике параметрическое исследование ведется в некоторой небольшой области изменения параметров, части параметров вблизи некоторого выбранного состояния.
Поэтому часто можно ограничиться влиянием одного параметра при фиксированных других. Обезразмеривание начинается с выбора характерных значений (величин), на которые мы будем обезразмеривать, на которые мы будем масштабировать. Этот выбор не всегда прозрачен и зависит от специфики моделируемой проблемы. Для исключения субъективного фактора необходимо ориентироваться на сложившиеся традиции обезразмеривания в конкретной области исследования. В рассматриваемой задаче в качестве масштаба обезразмеривания пространственной переменной х можно взять длину стрежня ! — линейный масштаб.
Используя для безразмерных переменных те же обозначения, что и для размерных но со штрихом, имеем х = !х', где х' — безразмерная переменная. В качестве масштаба температуры, если стержень не очень сильно нагревается, можно взять температуру среды: Т = Т,Т', где Т' — безразмерная температура. Аналогично пусть ! = !е!', где характерный масштаб времени !а пока не определен. Подстановка в уравнение теплопроводности (!) приводит нас к слелующему уравнению в безразмерных переменных ср! дТ' 8~Т' — — = — +Оз, 0<х <1, !')О, (5) !г!е дг' (дх')з 3.1.
Безразмерный анализ 77 В уравнении (5) присутствует безразмерный комплекс (безразмерный па- раметр) Ов = 1~//(кТ,) — число Остроградского. Определим теперь масштаб времени следующим образом: Гв = сргз/й, Тогда уравнение теплопроводности еще более упростится: дТ> д2Т~ — = — +Ов, 0<х'<1, 1'>О, дд (дх/)2 (6) и будет содержать лишь один параметр (число Остроградского).
Обезразмернм теперь граничные и начальные условия. Имеем из гра- ничного условия (2) дт' — — +В1(Т вЂ” 1) =О, х'=О, (7) дх' где В1 = а1/к — число Биа. Аналогично, условие (3) принимает вид (8) 3.1.3. Параметричесиий аиалиа задачи Запись задачи в безразмерных переменных позволяет выделить малые (большие) параметры и на основе этого упростить задачу.
В нашем простейшем примере (1) — (4), например, при х = 0 реализуются граничные условия третьего рода. Встает вопрос, при каких режимах охлаждения от этих условий можно перейти к граничным условиям первого (второго) рода. В безразмерных переменных граничный режим определяется одним безразмерным числом Био. Если В1 Ъ 1 в (7), то можно положить Т' = 1, х' = 0 (граничное условие первого рода). Если наоборот, В1 « 1, то имеем граничное условие второго рода: дТ'/дх' = О, х' = О. Более дТ' — =Кг, х =1, дх' где Кг = ф/(ГсТ,) — число Кирничева. Для начального условия имеем Т'(х', 0) = О.
(9) Задача в безразмерных переменных (5) — (9) характеризуется следую- щими безразмерными параметрами: Ов, В1, Кг. Отметим, что вместо вось- ми параметров задачи мы пришли лишь к трем: Т' = Т'(х', 1~; Ов, В1, Кг). Понятное дело, что задача в безразмерных параметрах значительно проще двя исследования. Переход к размерным величинам представляет собой простой пе- ресчет безразмерных решений умножением на размерные множители. Именно на уровне звдач в безразмерных переменных проявляется подобие различных задач. В самом деле, пусть мы имеем две задачи с различными линейными размерами, теплофизическими параметрами. Предположим, что в безразмерных переменных они записываются одинаково.
Тогда эти две задачи подобны, они отличаются лишь масштабными множителями. Поэтому и переход от одной задачи к другой не составляет труда. Б~ава 3. Аналитические методы тенлонроводности точный ответ на поставленный вопрос о граничном режиме решается практикой моделирования. Например, при В1 < 0,01 с точностью до процентов обычно реализуется отмеченное упрощенное граничное условие. Второй пример параметрического анализа задачи (1)-(ч) может заключаться в ответе на вопрос, когда от нестационарного уравнения (1) можно перейти к стационарному уравнению. Предположим, что рассматривается тепловой процесс на временном промежутке от 0 до 1 Тогда достаточно сравнить характерное время распространения тепла ге = сргз/й и 1„т.
Если 1,„> 1д, то можно вместо (1) использовать стационарное уравнение. В этом случае обезразмеривание времени можно провести на 1 и вместо уравнения (6) получим 1 И" д Т' — — — +Оз, 0<х'<1, 1'>О, (10) 1 дд (дх')з т. е. присутствует малый параметр е = ге/1 . Конечно, при малых временах влияние нестационарности проявляется — малый параметр при производной по времени (уравнение (10) является сингулярно возмущенным). Аналогичный анализ может быть проведен и по исследованию влияния источника в уравнении (1).
Если параметр Оз « 1, то им можно пренебречь. В противоположном случае Оз ~ 1 приходим к сингулярно возмущенной'задаче, и, если нас не интересуют приграничные эффекты, мы можем пренебречь теплопроводностью в исходном уравнении (1). Тем самым параметрический анализ задачи в безразмерных переменных позволяет проводить упрощения исходной математической задачи, исследовать качественное поведение решения. Подчеркнем, что при таком анализе мы обходимся минимальными математическими средствами. 3.1.4. Задачи ! Задача 1. Выделите безразмерный нораметр, учитывоюигий конвективный нервное тема.
Решение. В качестве модельного выступает уравнение /дТ дт'1 дзт ср( — +и — ) =й — +/, 0<х<1, 1>0, ( дг дх,/ дхз где и — скорость среды. Обезразмеривание (см. (6)) приводит к уравне- нию дТ' дТ' дзТ' — +Ре — = — +Оз, 0<х'<1, 1'>О.
дд дх' (дх') Здесь искомый безразмерный параметр Ре = и1ср/й есть число Пекле. 32. Аналитические решения линейных задач В качестве характерного времени можно взять гв = 1/а. Тогда уравнение в безразмерных переменных приобретает несколько другой вид: /д2 Ре~ — + — ) = — +Ов, 0<х'<1, 1'>О. 1 д~' дх') (дх~)з ! Задача 2. Укажите условия, нри которых можно не учитыватыпенло- ту фазового перехода при моделировании процессов теплопроводности. Решение. Проведем обезразмеривание соответствующей одномерной однофазной задачи Стефана.
Будем считать, что мы имеем дело с однофазной задачей. Теплота фазового перехода Ь учитывается в условии (см. п.2.3): 1с — = — Ь вЂ”, дТ д0 (11) дх дг' где х = п(1) — граница фазового перехода Обезразмеривание (11) позволяет выделить характерное безразмерное число зге = Ь/(ср), которое называют числом Стефана. При бге « 1 можно пренебречь выделением тепла при фазовом переходе, ь 3.2.
Аналитические решения линейных задач 3.2.1. Метод разделении переменных В дальнейшем в качестве основной математической модели будет выступать линейное уравнение теплопроводности в форме: ди с(х) — = 01ч ()с(х) агм1и) + /(х, 1), х Е й, Г > О. (1) Будем рассматривать как общие трехмерные задачи, так и задачи меньшей размерности, поэтому в (1) х = (хи хм..., х ), пг = 1, 2, 3.
Уравнение (1) описывает (см. п. 2. 1) процесс переноса тепла теплопроводностью в неоднородной изотропной среде. Уравнение (1) дополняется начапьным условием (2) в(х,б) = ав(х), хай и однородным граничным условием, например, первого рода: (3) а(х, 1) = О, х Е дй. То, что граничное условие однородное, является принципиальным при использовании метода разделения переменных. Поэтому в задаче с общими граничными условиями необходимо сначала перейти к задаче с однородными условиями.
Бгава 3. Аналитические методы те~лонроводности Метод разделения переменных (метод Фурье) основан на построении частных решений уравнения (1) в виде произведения и(х, 8) = И(1)о(х), (4) причем каждый сомножитель зависит от своих переменных. Рассмотрим вначале случай однородного уравнения (в (1) 7(х, $) = 0). Подстановка (4) в (1) в этом случае дает для д(1) и о(х) следующие уравнения: бдч (й(х) бгад о) + Лс(х)о = О, х Е Й, (5) дб — +Лб=О, 1>О.
(6) д1 Как следует из (3), уравнение (5) дополняется граничным условием о(х)=0, хбдй. (7) Задача (5), (7) имеет нетривиальные решения лишь при некоторых значениях Л и называется спектральной задачей (задачей Штурма— Лиувилля). Соответствующие значения Л называются собственными значениями, а им соответствующие решения о(х) — собственными функциями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
