Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Очевидно, что точное решение задачи (15), (16) имеет вид 9б Бава 3. Акалшпические мелтодм телчилриеодиости расчетной области. Поэтому, для задачи (19), (20) получим ао(х) = 1 (22) Конечно, такое представление следует и из (21). Решение сингулярно возмущенной задачи (19), (20) характеризуется тем, что прн уменьшении параметра возмущения все равно есть часть области (окрестность точки х = 0), вблизи которой решение возмущенной задачи не близко к решению вырожденной задачи. Это обусловлено тем, что для возмушенной задачи ставятся дополнительные граничные условия, И зто типично для задач с малыми параметрами прн старших производных.
Наличие пограничного слоя требует специальных способов построения асимптотических приближений. Помимо регулярных членов асимптотики присутствуют и сингулярные члены (пограничные функции), которые учитывают поведение решения внутри пограничных слоев. Рассмотренная ситуация типична и для более общих задач тепло- обмена: нестационарных, многомерных, нелинейных, Методы малого параметра позволяют построить приближенное решение нелинейных задач теплообмена.
В этом случае каждый член асимптотического ряда является решением более простой линейной задачи. 3.4.3. Раецроетраиеиие тепла в тоииик телах Асимптотические методы цшроко используются для построения приближенных моделей, в качестве которых выступают первые члены асимптотического разложения. В качестве хорошо известного примера отметим модели распространения тепла в тонких цилиндрических телах. Рассмотрим распространение тепла в тонком однородном цилиндре постоянного сечения Ю.
Пусть 1 — длина этого цилиндра, 4 — его диаметр, а ось совпадает с осью хт. Рассматривается случай, когда 4/1 « 1. Внутри стержня стационарный процесс описывается уравнением дта дта дта — + — + — = О, (хн хт) Е 2т) 0 < хз < 1. (23) дхт дхт дхт Считаем, что на боковой границе цилиндра поддерживается теплообмен с окружающей средой по закону: да й — + аа(х) = О, (х), хт) Е 322. (24) да Кроме этого заданы некоторые граничные условия на торцах, например, а(х|) хт) 0) — )т)(хт хт) (25) а(х„хт, 1) = )/)(хн хт).
(26) Влияние граничных условий (25), (2б) при построении асимптотикн по малому параметру е = 4/1 проявится в появлении пограничных слоев вблизи торцов. Мы на этот элемент не будем здесь обращать внимание. 3,4, лсямятотачесхае методы теллолрооодности дзи дза дзи — + — +е — =О, дхз дхз дхзз 1)заничное условие (24) дает ди — + В1 а(х) = О, да (хн хз) Е Р, 0 < хз < 1. (27) (хмхз) Е дР. (28) Будем считать, что число Био достаточно мало, а именно, В1 = бе~, Ка- залось бы, что для получения приближенного решения задачи (23)-(26) достаточно положить в (27) и (28) е = 0 и прийти к обыкновенному диф- ференциальному уравнению вдоль оси цилиндра. Однако укороченное уравнение немного сложнее.
Ищем асимптотическое решение в виде У(х, е) = ~~~, а~аз(х, е). (29) ь=е Для первого члена асимптотического разложения (29) имеем задачу: дз дз — + — =0> '(хпхз) Е Р, О < хз < 1, (30) да,з — = О, (хпаз) Е дР. (31) Аналогично для второю члена: дзи дзи дза — з+ — з — — — — з, (хпхз) Е Р, 0 < хз < 1, (32) ди1 — +х ае =О, да (33) Решением задачи (30), (31) является произвольная функция продоль- ной координаты, т.е. ае — — ао(хз). Задача (32), (33) есть задача Неймана, которая разрешима при выполнении равенства .о оо С учетом (32), (33) это тождество дает искомое уравнение для распро- странения температуры в тонких стержнях: д'иа — — ыХае = О~ дхз (хихз) Е дР 0 < хз < 1, Параметр е появляется при обезразмеривании уравнения.
Выбирая в качестве характерного линейного размера длину стержня и сохраняя обозначения, уравнение (23) перепишется в следующем безразмерном виде: П~ава 3. Аналитические методы теплопроеодности где вп х=~„, „, и есть отношение периметра к площади сечения. Аналогично рассматриваются нестационарные задачи, задачи для слабоискривленных стержней, цилиндров переменного сечения и т.д. 3.4.4. Теплопроводноеть композиционных материалов Асимптотические методы нашли широкое применение прн рассмотрении процессов теплопередачи для композиционных материалов, Рассматриваются неоднородные среды с периодической структурой, которые характеризуются включениями малых размеров. Для описания процессов теплопереноса применяются различные процедуры усреднения. На основе аснмптотическою разложения по малому параметру, характеризующему размер включения, ставится задача для осредненных характеристик процесса.
Приведем характерный результат теории гомогенизацни. Будем рассматривать композиционный материал, который занимает область й. Он представляет собой периодическую структуру размера е, т.е. состоит из кубиков Р'. Свойства материала неоднородны по вьшеленному кубику, но для кюкдой ячейки композиционной среды являются одинаковыми. В простейшем случае композиционный материал представляет из себя периодическую среду, которая характеризуется включениями другого материала.
В области й рассматривается уравнение теплопроводности дас с'(х/е) — = 41ч (7с'(х/е)раба'), х Е й> $ ) О (34) с граничным и начальным условиями: а'(х,О) =не(х), х Ей, (35) а'(а, г) = О, х Е дй, (36) Теплоемкость и теплопроводность материала периодичны с периодом е по каждому направлению, что отражено в выбранной зависимости с'(х/е) и й'(х/е). Асимптотическое решение задачи (34)-(36) строится при условии, что размер включений мал по сравнению с размерами области й.
Пусть у = х/е н для решения а'(х) строится двухмасштабное разложение: а'(х) = а (х) + еа'(х, у) + е а (х, у) +..., (37) где функции й(х, у) перноднчны по переменной у. Для практики представляет интерес прежде всею нулевой член разложения (37), который интерпретируется как простая среда с эффективными теплофизическнмн чаоантеоистичамн Г оответгтвчюп ее з озвненне 99 ЗА. Асимптотические методы теплопроводности теплопроводности имеет вид: где ) с'(х/е) дх с = се(р) = о, — средняя по элементарной ячейке теплоемкость. Коэффициенты теплопроводности определяются осреднением решений специальных задач в ячейках.
Пусть чо'(у) — периодическое решение задачи: дйе Йч (й (у) асад чо ) = —— да такое, что и'(у) = О. Тогда для и; имеем Таким образом, вычисление эффективных характеристик композиционного материала связано с предварительным решением задач на отдельной ячейке. Второй подобный пример использования асимптотических разложений для построения эффективных характеристик связан с рассмотрением процессов теплообмена при мелкозернистой границе. Пусть й' имеет мелкозернистую (волннстую) границу дй' с характерным размером волны е.
Пусп на границе осуществляется теплообмен со средой по закону и — + а'й(х) = О, х Е дй'. (39) дп Прн усреднении границы рассматривается эффективное условие третьего рода, но с другим коэффициентом теплообмена: ди и — +оа(х) =О, х Е дй.
дп Для эффективного коэффициента теплообмена асимптотический анализ дает формулу а = а'д, где д есть локальное отношение длины границы дй' к длине усредненной границы дй. 3.4.5. Задачи Задача 1. Получите вырахсение для темпа охламсденил Л1 однородного тела как меру неравномерности температуры по поверхности тела и его обеему. 100 Взааа 3.
Аналитические методы тенлонроводности (41) (' о(х,з) дв Л,ш " вй с ( о(х,$) дх Приведенное соотношение известно как теорема Кондратьева. ! Задача 2. На основе нроцедуры осредненив нолучите уравнение тенлонроводности в тонких однородных телах. Решение. Для тонкого однородного тела с сечением Р возьмем уравнение теплопроводности в виде дв г'дзи д'и дзя'з — =а~ — + — + — ), (хыхз)ЕР, 0<хз(1, 1)0. (42) де= ~дхз дхз .дхз) и пусть дв й — + а(я(х) — яс(хз 1)) = О, (хн хз) Е дР. (43) дп Проинтегрируем уравнение (42) по сечению Р.
Пусть ) я(х,1) дхз дхз о(хз11) г 3" дхз дхз й — средняя по сечению температура. Тогда будем иметь: (44) В Последнее слагаемое преобразуется с учетом граничного условия (43): !де а -а/ — дв = — з~ (в(х,й) — я,(хз й))дв. (45) /дп с/ во Й, Решение. с учетом (12) необходимо получить соответствующее выражение для первого собственного значения задачи (10), (! 1). Имеем из уравнения ( 1О) для темпа охлаждения (первого собственного значения) ('д!ч(йяшйе,) дх й!ч (й(х) азад о~) о л —— с(х)оз(х) с ( о1(х) дх (40) Для первого интеграла получим, используя (1!), йч (й дгаг! ез) дх = — а оз(х) дв.
Позтому (40) и (41) дает 3.5. Библиография и каитентарий Для тонких тел можно принять допущение о постоянстве температуры по сечению. Поэтому подстановка (45) в (44) позволяет написать окончательное уравнение теплопроводности: Ав де д'е а вп — =с — —— (е — и,). дг д 2 с ] ди1 аяз и В стационарном случае зто уравнение зто уравнение обсуждалось с позиций асимптотического анализа. З.б.
Библиография и комментарий З.б.1. Общие замечания 3.1. Вопросы обезразмеривания задач теплопроводности обсуждаются в [2]. Основы теории подобия лля задач теплообмена более подробно изложены в [4]. 3.2. Классические методы решения краевых задач математической физики изложены в [10]. Их применению к задачам теплопроводности посвящены книги [2, б]. 3.3. Общие методы поиска точных решений нелинейных уравнений изложены в работах [5, 8]. 3.4.
Исследованию регулярного режима теплопроводности посвящена книга [11]. В работах [3, 7] изложены методы малою параметра применительно к широкому классу задач прикладной математики. Теория юмогенизации наиболее полно представлена в [1, 9]. З.б.2. Литература 1. Бахвалав Н. С., Панагвнка Г.
П. Осреднеиие процессов в периодических средах. Мл Наука, 1984. 2. Беляев Ы М., Рядно А. А. Меюаы теории теплолроводности. В 2-х частях. Мл Высшая школа, 1982. 3. Васильева А. Б., Бутузов В, Ф. Асин игогические методы в теории сингулярных возмущений. Мл Высшая шкала, 1990. 4. ГухианА.А. Введение в теорию подобия. Мл Высшая школа, 1973. 5. Нбрааьиав Н.Х. 1)ьулпы преобразований в математической физике. Мл Наука, 1983. б. Карташев Э. М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
