Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

Пусть решение нашей задачи (1), 113 4.2, Построение раэностных схем (2) с однородными граничными условиями эквивалентно решению задачи минимизации квадратичного функционала .7(и) = (Ьи, и) — 2(у, и) . Тогда приближенное решение вм(к), имеющее вид (5), естественно искать как минимум такого функционала. Условия (7) позволяют сформулировать соответствующую систему линейных алгебраических уравнений для нахождения аь, й = 1, 2,..., М.

Например, дпя метода 1алеркина (8) имеем (Ьву, щ)а = (г, го;), 1 = 1, 2,..., М. (9) Отметим, что основные проекционные методы (из этого списка выпадает метод коллокацнй) приводят к необходимости использования процедур интегрирования для вычисления элементов системы линейных уравнений для определения неизвестных коэффициентов разложения (см., например, (9)). В вычислительной практике в настоящее время большое распространение получили проекционно-сеточные методы (метод конечных элементое). Этот класс методов определяется специальным выбором элементов (конечных элементов) ген, й = 1,2,...,М. Эти функции имеют локальный носитель, т.

е. лишь в небольшой окрестности функция чеь(х) не равна нулю, и представляется, например, в виде полинома малой степени. В ряде случаев коэффициенты аю 1г = 1, 2,..., М разложения (5) можно непосредственно связать с приближенным решением в некоторых точках области П. Поэтому проекционные методы в некоторых случаях можно рассматривать как способ построения разностных задач. В методе конечных элементов коэффициенты разложения могут находиться на основе отмеченных выше подходов, 4.2.2. Основные поиятия теории рааиостиых схем При численном решении прикладных задач разностными методами необходимо рассмотреть следующий взаимосвязанный крут проблем.

Задача состоит в получении приближенного решения с некоторой заданной точностью за приемлемые вычислительные затраты. Это достигается на пути перехода от непрерывной згдачи к дискретной. При построении дискретных задач (при аппроксимации уравнений н граничных условий) желательно сохранить за разностным решением важнейшие качественные хаРактеристики искомого решения. В качестве примера, отметим свойство консервативности — выполнение законов сохранения и для разностной задачи. Вторым характерным примером может выступать свойство монотонности — выполнение принципа максимума для разностного решения.

Разностное решение должно сходиться к точному решению при измельчении сетки. Желательно иметь оценки уклонения разностного решения от точного в зависимости от параметра Ь. Теория сходимостн 114 Егава 4. Стационарные задачи тепвопроводности разностных схем базируется на изучении погрешностей аппроксимации и устойчивости разностного решения по отношению к малым возмущениям правой части уравнения и граничных условий. Для получения приближенного решения мы должны решить соответствующую систему уравнений. С этой целью развиваются различные методы решения сеточных задач, которые максимально учитывают специфику задачи. Введем некоторые основные понятия теории разностных схем.

Будем снова вести речь о решении некоторой (не обязательно одномерной) задачи (1), (2), которой ставиться в соответствие разностная задача (3), (4). Выбирая различные сетки йь, мы получаем некоторое множество разностных решений (ул), зависящих от параметра Ь. Тем самым рассматривается семейство разностных задач (3), (4), которое будем называть разностной схемой. В зависимости от необходимой точности приближенного решения е и выбирается сетка йь (параметр Ь(е)). Пусть Нл — пространство сеточных функций и вь(х) — значения точного решения и(х) на сетке Ыь. Для погрешности разностного решения будем использовать обозначения: ел= ух — вл, ханш».

Основной проблемой теоретического исследования является получение априорных оценок для погрешности решения. Сформулируем задачу для еь. Подставляя ул = ел + вь в (3), (4), получим: Бьяь = "чзь(х), х б ыь (10) 1ьял = ил(х), х Е дыь (11) Здесь зрь = ьзь — Хьвь — невязка в уравнении для погрешности, которая называется погрешностью аппроксимации уравнения (1) разностным уравнением (3). Соответственно иь = згь — 1лвь — невязка в граничном условии для погрешности, которая называется погрешностью аппроксимации граничного условия (2) разностными граничными условиями (4). Подчеркнем, что зти погрешности аппроксимации рассматриваются на решениях исходной задачи (1), (2).

Решение разностной задачи (3), (4) сходится к решению задачи (1), (2), если в некоторой сеточной норме О |)~» !!яь!1~л = Ьь — влй|ь -" О при Ь вЂ” О. Разностная схема сходится со скоростью 0(Ь ), Ь > О, (имеет Ь-й порядок точности), если при достаточно малых Ь < Ьч выполнено неравенство !!еьй 1ь < МЬл, где положительная постоянная М не зависит от Ь. Разностная схема (3), (4) аппраксимирует задачу (1), (2), если Щлвзь — 0 при Ь -+ О, Ц~рьЦл -+ 0 при Ь вЂ” О, где В Лзь и В !Ьл— некоторые сеточные нормы. Важнейшим свойством разностной задачи является устойчивость решения по отношению к малым возмущениям правой части и граничных условий.

Для линейной задачи (3), (4) устойчивость разностной схемы 115 42. Построение разносшных схем вытекает из оценки: [[ул[!гл = лгг [|ул[[гл+ Мг!!Хл![эл (12) Из оценки (12) для разностной задачи (3), (4) следует аналогичная оценка для погрешности: [[ел![а = ММФл[[гл + 1Иг[[нл[[эл. (13) Поэтому, если схема устойчива и аппраксимирует исходную задачу, то она сходится. Таким образом, проблема сходимости линейных разностных схем сводится к исследованию погрешностей аппроксимации исходного уравнения и граничных условий и получению априорных оценок (13) для погрешности разностного решения, 4.2.3.

Проетейвгве равноетные операторы Рассмотрим проблемы аппроксимации на примере простейших дифференциальных операторов первой и второй производной. Опуская индекс Ь, обозначим через ш равномерную сетку с шагом Ь на интервале й = [0,1! (ш — множество внутренних узлов): Ы = (х ! х = х; = гЬ, г = О, 1,..., 1т, АгЬ = 1). Исследуем различные аппроксимации дифференциального оператора первой производной: Бв = 4и/4х на введенной сетке. Будем рассматривать достаточно гладкие функции и(х) Е С1~1(й), Ь > 2. Поставим в соответствие дифференциальному оператору Б разностный оператор Бл.

Множество узлов сетки, которые используются для построения оператора Х л, называется шаблоном. Определим погрешность аппроксимации оператора Б разностным оператором Бл в г-ом узле выражением фг = Ели; — (г и)г. Разложение по формуле Тейлора в окрестности внутреннего узла х= х; дает: Ьг,(г Ьэ 4э в,гы = в; ~ Ь вЂ” (х;) + — †(х;) ~ — — (хг) + 0(Ь~). 4х 2 4хг ' 6 Ыхэ Поэтому для левой разностной производной (опуская индекс г) имеем и; — и ~ 4в Ьдв Блв = вт гя ' ' = — (хг) — — — (хг) + 0(Ь ).

(14) Ь Ых ' 2 дхг Тем самым оператор Бл аппроксимирует оператор Б с первым порядком (гэ' = 0(Ь) в каждом внутреннем узле) при и(х) Е СОО(й). Аналогично для правой разностной производной следует: Блв = и,: — = — (хг) + — — (х;) + 0(Ь ). (15) игы — и; ав Ь«в г Ь дх ' 2 дхг 116 Пгава 4. Стационарные задачи тенлонроеодностн и, — ив и; ( — 2и;+и;+( ьни=ия,— И Из (17) Этот оператор аппроксимирует вторую производную со вторым порядком при и(х) Е Сйй(й). Погрешность аппроксимации оценивалась в отдельном узле. Для оценки погрешности иа сетке ы необходимо использовать какие-то сеточные нормы.

Например, можно применять норму в С(нз) и в 2з(н()( , (/2 (Ю = М( ((, Ь((= (КФ(*(В) чеч В приведенных примерах (14) — (17) погрешность аппроксимации имеет один и тот же порядок в обоих этих нормах. Конечно, зто не так в обшем случае — порядок может быть разный в различных нормах. Рассмотрим в качестве характерного примера аппроксимацию оператора второй производной на неравномерной сетке йз = (х ! х = х;, 1 = 1,2,...,1ч, хе = О, хн = 1) с шагами Ь; = х; — х; (. Определим на трехточечном шаблоне разностный оператор 1 зги(+( — ьл из и( — ( 2ьи( =— Ь( 1.

И!,( Ь; (18) где 7(( = 0,5(И;+, + Ь;). Непосредственные выкладки дают дяя погрешности аппроксимации: Ич дз (19) Позтому ![(р[[с = О(Ие) и ![Ф!! = О(Ио), где Ие = пзах Ь;, т. е, имеем лишь чем первый порядок аппроксимации. Исследование структуры погрешности позволяет показать, что оператор (18) имеет все же второй порядок при соответствующем выборе нормы. Пусть, например, (20) При использовании трехточечного шаблона (узлы хг (, хы х~+() можно использовать центральную разностную производную: и+( — и ( ди И ди з з Ььи = и ° = = — (х()+ — — (х()+О(И ), (!6) х 2И дх 3 дхз которая аппроксимирует производную со вторым порядком при и(х) Е Сйп(й).

Для оператора второй производной 0и вз 4~и/дх~ подобные выкладки дают: 4.2. Построение разностнмх схем Принимая во внимание ив 43в — (х;) = — (х;+!) + 0(Ь!«.!), Ьз ' 4х3 для главного члена погрешности имеем 13 Ь2 Ь2 13 21хЗ ' Ь ! Ь. АЗ = — 1 Ь;,, — (х;+!) — Ь; — (х!)~ + 0(Ь ). — 2~,.(, «-,~хЗ !+ 34хз исходя из (19), представим погрешность в виде «зз! = «ззо + 2)3,', где 1 аЗ 03 = -Ь,' —, = О(Ь!), 1р,' = О(ЬЗ).

6 'Юхз Имеем в(х) = ~(х — 1) Г(1) й. (Ь вЂ” 1)! / о (21) Тем самым мы может определять Ь-ю производную как решение интегрального уравнения (21) при известной в(х). В качестве примера, построим разностные операторы, аппроксимирующие первую производную (ь = 1 в (21)). на равномерной сетке и« имеем т«! сне! — ш ! = / Я) <Ы.

(22) оьгрь = ~ (31ь«-! гя) = ЗВ+! — 33!. Е -Е о ч ь=! с=! Учитывая (20), получим !Щ ! — — О(ЬЗо). Поэтому !Щ ! < !)«3!;!!! ! + !Щ ! ( МЬЗ~, т. е. оператор (18) аппроксимирует вторую производную со вторым порядком на любой неравномерной сетке. Это обусловлено специальной (дивергентной) формой погрешности и согласованным с таким видом погрешности выбором нормы. Рассмотренные разностные операторы построены выше на основе использования формулы разложения Тейлора (операторы первой производной (14)-(16)) и операции повторного дифференцирования (разностные аппроксимации (17), (18) дня второй производной).

Характеристики

Список файлов книги