Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 26
Текст из файла (страница 26)
4.4): и(3(х) = О, 1 — (х(/Ь, — 2), 1 — (Х2/Ь2 7)~ 1 + (х(/Ь! — 2) — (х2/Ь2 — Я)~ 1 + (х(/Ь( — 2), ! + (х2/Ь2 2) 1 — (Х(/Ь( — 2) -1- (х2/Ь2 — 2)~ х Е й,', Х Е Й;зз х Е й(зн х Е й~зз х 6 Й,', х Е й(2, ь хи 0Й5. !31 42. Лосароенне разносвнмх схем В таком варианте метода конечных элементов разностная схема имеет вид (36), (38) при а~ — — аз — — 1 и 1 Г уеду= — „„~ Г(х)~лг(х) 4 . Л,йз пн Другие более содержательные проекционно-сеточные схемы можно найти в обширной литературе по методу конечных элементов.
4.2.8. Рааиостиые схемы повышенного порядка аппроксимации Если коэффициенты и решение исходной дифференциальной задачи имеет повышенную гладкость, то можно строить разностные схемы повышенного порядка аппроксимации. Выше мы рассмотрели примеры для уравнений второго порядка, когда погрешность аппроксимации имеет второй порядок. Получение разностных схем с более высоким порядком аппроксимации может достигаться различнгями путями. Поясним имеющиеся возможности на примере построения разностных схем повышенного порядка аппроксимации для уравнения 42 Ьи гв — — = Г(х). дх' (65) Первая возможность связана с использованием аппроксимаций дифференциальных операторов разностными на расширенных шаблонах, Например, вместо обычного трехточечного шаблона можно использовать пятиточечный и тогда — иг з+ 16и; ~ — Зби, + 1би;+1 — и;+з Ли —— 12Ьз На основе разложения Тейлора легко убедиться, что оператор Л аппраксимирует оператор Ь с четвертым порядком при и(х) 6 С1е1.
В соответствии с этим уравнению (65) поставим в соответствие разностное уравнение: Лу = 1е, (66) где в простейшем случае 1е(х) = Г(х). Повышенный порядок аппроксимации уравнения (65) может достигаться и без формального расширения шаблона с использованием компактных аппроксимаций. На основе интегрального определения производной (21) при й = 2 и применения квадратурной формулы Симпсона можно получить разностное уравнение (бб) при Лу = — уе„1е(х) = — (Г(х — Л) + 1ОГ(х) + Г(х+ Ь)) (67) 1 12 Для одномерных задач разностные схемы повышенного порядка точности могут быть построены на основе гночных разностньи схем, для котоРых сеточное решение совпадает с точным решением дифференциальной 132 Е2ава 4.
Стационарные задачи тепяопроводности задачи в узлах. Для уравнения (57) точная схема строится применением к исходному уравнению усредняюшего оператора Т (см. (49)). В силу (см. задачу 1) дв Т вЂ” = и- 2 х точная разностная схема записывается в виде -ив* = Т1(х). (68) Используя те или иные квздратурные формулы, из (68) можно получить схемы необходимой точности, В частности, приведенная выше схема (67) принадлежит этому классу. Весьма эффективен способ повышения порядка аппроксимации на решениях аппроксимируемых уравнений.
С этим эффектом мы уже сталкивались, когда "строилась аппроксимация (32) граничного условия третьего рода. Рассмотрим аппроксимацию уравнения на решениях для уравнения (65). Будем использовать обычную трехточечную схему, а повышенный порялок будем достигать за счет подправления правой части, т. е. в схеме (66) оператор Л определен согласно (67), а и2(х) = у(х) + т(х). (69) Рассмотрим погрешность аппроксимации 2Р = у — Ли. Имеем 2 Ли = Хи — — Ь я+ 0(Л ).
2 Ч 12 н поэтому, принимая во внимание, что (аппроксимация на решениях) Ь~н = ЬУ, получим Ь 2 2Р = ~ + т — Еи + — Ь~ + 0(Ь ). ч 12 Для того, чтобы получить четвертый порядок аппроксимации, достаточно положить в (69), например, Л2 42У Л2 т(х) = — —, или т(х) = — 1в*.
12 дхз' 12 (70) Второй вариант полностью совпадает с приведенной выше схемой (67). Таким образом повышение порядка аппроксимации достигается различными способами. Аналогичные подходы в той или иной мере могут использоваться н в многомерных задачах. В качестве характерного примера рассмотрим схему повышенного порядка аппроксимации на решениях для уравнения Пуассона (33), (35) (1с(х) = 1) на равномерной прямоугольной сетке, 4.2. Построение разностных схем 133 ~1 2 Л2 2 2 4 Ли = Ьи — — й, и — — Ьзи + 0(1й1 ). 12 12 (71) Из уравнения (33) получим Х,',и = 2|У вЂ” 2,,7,2и, 2 2и = 222 2'12'2и. 2 Подстановка в (71) дает Л2 Л2 Л2+82 Ли = Ьи — — 'А~У вЂ” — Ь2У+ ЙА2и+ О(1М ) 12 12 !2 Заменяя Ь1Ь2и разностным выражением Л Л и = и-„„-„„, придем к разностному уравнению Л2+ 82 Л~у+ Лзу — Л~Л2у = 1р(х), 12 (72) где, например Л2 Л2 (х) = е(х)+ — 'гз„, + — 2ев., (73) Разностное уравнение (72), (73) аппроксимирует уравнение Пуассона на решениях с четвертым порядком при и(х) Е С91(О), и 7(х) Е Срд(й).
4.2.9. Задачи Задача 1. По«охвате длн операторов усреднения (48), (49) справедли- вость следующих соотношений: ди Ии Я вЂ” (х) = ив(х), Т вЂ” (х) = иав(х). (74) дх дх2 иди В+ — (х) = и,(х), дх Решение. Согласно определения оператора Я+ (см. (56)) имеем *тл + ди 1 Г Ии и(х + Ь) — и(х) З вЂ (х) = - /' (О 4( = Л/ дР Л = и,(х). Аналогично рассматривается и оператор Я .
Для оператора Т будем яс«опять ит его опречепения «я««яялрятя оператора я Непосрслстяеннгяе Рассмотрим оператор Л, который определен согласно (38) при а, = 1„ а = 1,2. Для погрешности аппроксимации аналогично одномерному случаю имеем 134 !3(ава 4. Стационарные задачи теплопроводности выкладки дают хх а/2 йзи (1~и 1 Г (1~и Т вЂ” (х) = З' — (х) = — / З вЂ” (с) йс = ы ж /,ц х-Л/2 хХЬ/2 1 Г !Г(!и Фи — ~ — ((+ 0,5й) — — (à — 0,5й) ь / ь~<~ х — Ь/2 и(х — /2) — 2и(х) + и(х + /2) /(2 2 из,(х). Тем самым доказано последнее соотношение (74).
! Задача 2. Постройте точное трехточечное ризностное уравнение для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (23). Решение. Проинтегрируем уравнение (23) от х; до х и разделим на /с(х): йи 1 ни 1 — (х) = — и(х() — (х;) + — / Г(ч) (!ч. Ы~ /х(*) ' (2х /г( ),/ (75) Повторное интегрирование (75) по х от х, ( до х; дает: и(-и( (= й(х() — (*;) / — + / — / Г(б) йбйх.
' йх ' / й(),Г' й()/ х, ) х 1 х Аналогично интегрированием от х( до ххе( получим: х йи Г а!х Г 1 и(х ( — и; = /х(х() — (х;) / — + / — / Д~) (К йх. * й* ' / й(*) / й(*) / Из двух последних соотношений следует разностное уравнение (27) при условии, что коэффициент а определяется в соответствии с (52), а правая часть х,~( х х, х, х = —, (х / — / (((( П х*!-, / — / (((( Ч х*) .
(76( т ~ х На основе использования тех илн иных квадратурных формул для вычисления интегралов в (52) и (76) получим разностное уравнение с необхо- "ПМОП (1 хРСШНОС-С Е П! П' Х(((~(знн(* 135 4,3. Равномерная сходимость разностных схем 4.3. Равномерная сходимость разностных схем д лг до»» — ( Ь(х) †) = з(х), дх. (, д*.) а=! (2) хбй, о(х) = у(х), х б дй.
(3) с достаточно гладкими коэффициентами и решением. Краевой задаче (2), (3) обычным способом (см. п.4.2) ставится в соответствие разностная задача на равномерной прямоугольной сетке йл: ! —,~ (а,у;„),, = 1з(х), х б й, (4) а=! у(х) = у(х), х Е дй, (5) где, например, а»(х) = Ь(х! — 0,5Ь», х!), аз(х) = Ь(х»л хз — 0,5Ьз). Разностное уравнение (4) запишем в канонической форме (!).
Для коэффициентов А(х), В(х) и правой части Р(х) получим а»(х!»лд) + а»(х) аз(хл;л.!) + аг(х) А(х) — в + ! 2 ал(хь»лд) а»(х) В(хб х;.,л„) =,, В(х;„х; л,) = —, (6) Ь, Ь, аз(х,дч!) аз(х) В(х;,, х;„.+!) =,, В(хсн хьу !) =— Ь, е (х) = лр»зэ х = х;, Е и» нчч внчтл»еллн»лч чзеов сетки 4.3.1.
Каноническая форма равяостного уравнения Для исследования устойчивости и сходимости разностных схем в равномерной норме используется принцип максимума. Он применяется для общих разностных уравнений, записанных в канонической форме. Пусть й» вЂ” мне»кество узлов (сетка) в некоторой ограниченной области й. Разностная схема записывается на некотором шаблоне Щх), связанном с узлом х. Все точки шаблона 031(х) за исключением узла х, образующие окрестность узла х, обозначим Ил(х). Будем считать, что разностное решение у(х) определяется как решение разностного уравнения, которое запишем в виде А(х)у(х) = ~~» В(х, Ду(~) + Р(х), х б ьл. (1) 1еая' такая запись называется канонической формой разностного уравнения.
В качестве примера рассмотрим первую краевую зада»у в прямоугольнике для стационарного уравнения теплопроводности в изотропной среде: Бгава 4. Стациояаряые задачи теяяолроводлости Для граничных узлов можно считать 9Л'(х) пустым множеством, и граничное условие (5) записывается в канонической форме (1) с А(х) = 1, Р(х) = у(х), х Е ды. (7) Тем самым разностная задача (4), (5) записывается в канонической форме (6), (7), и А(х) > О, х Е (й), В(х,0 > О, А(х) = ~~) В(х, (), х Е ы.
(8) ?еах'(*) Такие свойства коэффициентов канонической формы являются наиболее важными при формулировании принципа максимума для разностных уравнений. 4.3.2. Принцип максимума Для разностных уравнений подобно эллиптическим уравнениям (см. п.4.1) имеет место принцип максимума. Это является отражением того, что разностное уравнение передает такие свойства решений непрерывных задач. Принцип максимума формулируется для разностных уравнений, записанных в канонической форме (1).
Определим через И) (И) Е ау) некоторое множество узлов разностной схемы, записанной в канонической форме (1), и пусть Й~= 0 9Л(х). яе)ч В случае задачи Дирихле (4), (5), например, И' — множество внутренних узлов. Множество узлов Й) называется связяой сеткой, если для любых х' Е И> и хя Е К можно указать такую последовательность узлов хм хм..., Хя, что х, Е 9Л'(х'), хз Е 9Л'(х~), ..., хь Е 9Л'(хя ~), х" Е 9Л'(хя), т.е. каждый последуюший узел принаалежит окрестности предыдущего. Определим сеточный оператор Лу(х) = А(х)у(х) — ~~~ В(х, ()у(с), (9) ?еалчя) н пусть Р(х) = А(х) — ~~~, В(х, ~). (10) ?еаяц*) Для коэффициентов сеточного оператора Л выполнены условия А(х) > О, В(х,~) > О, Р(х) > О, х Е И).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
