Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 30
Текст из файла (страница 30)
= (11!|, 21гз), 3=011~ .~М!) я=0,1,...,Фзз Агава = 1а~ о — 1~ 2)1 и пусть ы — множество внутренних, а ды — множество граничных узлов. Пусть теперь г!(х) = й|(х!)йз(хз), где средние шаги 1!!(х!) и у!з(хз) по отдельным направлениям введены выше. В соответствии с ранее принятыми обозначениями, например, (р, е)н = > р(х)ю(х)1!!(х!)1гз(хз) = ~~> Ь.!(х!) ~~! Р(х)е(х)У!з(хз). юеа~ Аналогично определяются скалярные произведения и на других про- странствах сеточных функций, 4.4.3. Априорные оценки н еходнмоеть рааноетной задачи Днрнхле Рассмотрим вопросы построения априорных оценок в энергетическом пространстве на примере задачи стационарной теплопроводности в неоднородной среде с простейшими однородными условиями первого Рода. В прямоугольнике й рассматривается эллиптическое уравнение (17) (1б) Ьи = У(х), а(х) = О, хбй, х Е дй, где 2 '~на~ бац — — й(х)— Соответствующую разностную задачу (см.
п.4.2) запишем в виде: (20) (21) Ау = р(х), р(х) =О, х Е !о, х е д!а, Для сеточных функций р(х), е(х), обращающихся в куль при х = 0 и х = 1, формулы (13), (! 4) упрощаются и имеют вид: ((аут)„е) = -(арв, ех) .. (15) ((аут)„е), — (у, (ае;),), = О. (16) 4.4. Сходимосн!и розностных схем в энергеп!нивском просгпрансглве 153 где 2 лу = ~, л.у, л.у = -(а.уе.).„.
(22) «=! Принимая во внимание однородное условие (21), введем пространство сеточных функций Н, зеданных на Р и равных нулю на ды. Скалярное произведение в Н зедадим соотношением (у, о) = (у, е)и = (у, е).. Обозначим Ау = Лу = ~~!, Л,у, (23) уЕН Лемма 1. Операгпор А, определяемый согласно (23), самосопрязкен и полохсиглелен в Н. Оператор А запишем в виде (24) А=А!+Аз, где А у=Л у, уЕН, а=1,2.
Покажем, что каждый из операторов А, а = 1, 2 обладает необходимыми свойствами: А, = А', > О, а = 1, 2. (25) Имеем, например, для оператора Аз (Азу, е) = ~ Ь! ~З Азу(х)о(х)лв (26) нею юев! Принимая во внимание формулу Цзина (16), получим Азр(х)е(х)лз = — ~~У (агре,)юе(х)Ьз = л2ея2 я!ею — у(х)(а!ее!)л!Ь! =',! у(х)Азе(х)Ьв шею Тем самым (26) принимает вид (Азу, о) = (у, А!о), т. е, оператор Аз самосопряжен.
Аналогично рассматривается и оператор А!, и поэтому„ в силу представления (24), А = А'. и запишем разностную задачу (20)-(22) в виде операторного уравнения первого рода (1). Основные свойства сеточного оператора А устанавливают следующие леммы. 154 Глава 4, Стационарные задачи теплопроводности Для доказательства положительности оператора Аз привлекается первая формула Грина (15). Получим (Азу, р) = ~~1, Ь! ~~~, Азу(х)у(х)1ьз = ~~) 7ь1 ~~1 аз(ух2)~1ьь (27) х,вт х,ен, х~ет хрен1 Отсюда и следует положительность оператора Аз. Свойства А, исследуются аналогично.
На основании (24), (25) заключаем, что положительным является и оператор А. При ах = 1, сх = 1,2, оператор А является сеточным оператором Лапласа, который будем обозначать А. Принимая во внимание (27), получим х2йИ х~ех+, хаен~ х2ен( Лемма 2, Оператор А, определяемый согласно (23), при 0 < к1 < ах(х) < кз, х б ы, энергетически эквивалентен сеточному операпюру Лапласа А, причем п,А < А < кзА (29) Двухстороннее неравенство устанавливается на основе равенства (27) и предположений о коэффициентах разностной схемы, сформулированных в условиях леммы. Априорные оценки решения разностной задачи (20)-(22) получим в сеточном пространстве, являющемся аналогом соболевского пространства Игз'(П).
Некоторые априорные оценки для непрерывной задачи (17)-(19) приведены в п. 4.1. По аналогии с функциями непрерывного аргумента определим гильбертово пространство сеточных функций, заданных на Ы и обращающихся в нуль на ды, с нормой и хз х17 хз 1 !) !)з (30) Клк и в непрерывном случае, априорная оценка для решения разностной задачи (20)-(22) базируется на сеточном аналоге неравенства Фридрихса. Лемма 3. Для сеточной функции р(х), заданной на сетке Р и обращающейся в нуль на ды, справедливо неравенство; ~~~гй > МЬ!! М =1з+ 1з. (31) Заметим, что оценка (31) устанавливается для любой прямоугольной сетки в П с более точной постоянной М = 8(1, з+ 1, з). Доказательство неравенств с такой постоянной М для равномерной сетки может быть основано на исследовании спектральной задачи для сеточного оператора яхпххсх! Л Й 4.4. Сходомосп2ь разносп2ных схем в знерсеп2ическам просп2рансп2ве 155 Рассмотрим одномерную сеточную функцию о(х!) = У(х2, хз).
С учетом однородных граничных условий для о(х!) имеем о! = ~~' очоьЬ|~ ь=! (32) и о! = — ~~~ овоьЬ!, . (33) В=ы! Для оценки правых частей (32) и (33) используется неравенство Коши— Буняковского в форме ~ ~~! аььь~ < ~~» (аь) ~~2 (ьь) . Полагая аь = ое, ЕЬ,~, Ьь = Ь,~, из (32), (33) получим о; < х!2,р (еж!,) Л!, 2 Т~ 2 ь=! о; <(2! — хц) ~2 (ое,ь) Ь!.
(34) (35) Умножая неравенство (34) на Е! — хп, неравенство (35) на хн и складывая их, получим ч, Еч+, (36) Умножение (36) на Ь; и суммирование по всем 2 (квадратурная формула трапеций для участка параболы) позволяет из (36) получить оценку: ~2 2; о3Л! < — ' ~~; ( .-,)'Ь,. х,Ею ч~еч+, Подставляя вместо о(х!) функцию у(х!, х2), умножая на Ь2 и суммируя по х2 6 ь22, получим ~2 6 ч! Еч> Ч2ЕЧ2 Аналогичное соотношение имеет место и прн оценке нормь! разкостной производной по переменной хз.
Зто и позволяет с учетом (28) ) : с!х!вс!!ст~ о гцг вчричс, !22! 156 Бзава 4. Опационарные задачи меляопроводносми На основе неравенства Фридрихса (31) из (30) получим !!р!!3 < М,67р!!з М, = (1+ М-'). Принимая во внимание (28), (29), для оператора А следует оценка: (Ау, р) > — !!у!!~. ! (37) Свяжем с нормой (30) соответствующую негативную норму |! !! и определяя ее соотношением !!1о!!-~ = вир — ' !(р, у)! вев !!р!!, Аналогично (6), (9) установим априорную оценку разностной задачи (20)-(22), записанной в виде операторного уравнения (!), (23). Теорема 1. Двя разноемной задачи (20) — (22) справедлива априорная оценка !!рй < —,!!р!!-ь (38) к~ Доказательство основано на использовании тождества (4) и использовании оценки (37). Используя для правой части неравенство (зо,у) < !! р!! Др!! м прилем к доказываемой оценке (38).
Из оценки (38) следует, в частности, однозначная разрешимость разностной задачи (20) — (22). Обычным образом устанавливается сходимость разностных схем при гладких коэффициентах. Для погрешности г разностного решения задачи (17)-(19) будем иметь операторное уравнение (39) Ая = зр, гле зр — погрешность аппроксимации уравнения. Для нее (см. п.4.2) справедлива оценка !!и!! 'ч Мз|зз! > !'г! 7з1+'зз. (40) Имеем с учетом (30) ( Й < !!ч'!! !! !! < !!ч'!! !! !! (41) 4.4.4. Неравномерные сетки и разрывные коэффициенты Не проводя каких-либо подробных рассмотрений, отметим особенности исследования точности разностных схем в более общем гччм Принимая во внимание оценки (37) и (40), для решения задачи (39) получим !!з!!~ < Мз!Ь!, Мз = п, 'МьМз.
Таким образом, разностная схема (20) — (22) сходится со вторым порядком в энергетическом пространстве. 4.4. Сходимость разностных схем в энергетическом пространстве 157 неравномерных прямоугольных сеток. Как мы видели в п. 4.2, при аппроксимации второй производной на обычном трехточечном шаблоне неравномерной сетки погрешность аппроксимации имеет второй порядок лишь в специальной негативной норме, а в С(ы) и в Ьг(ы)— только первый. В рассматриваемом энергетическом пространстве второй порядок сходимости сохраняется и на неравномерной сетке.
Специфика неравномерных сеток проявляется в представлении погрешности аппроксимации уравнения в виде (42) хр(к) = хр (х) + хр'(к), где хр~(я) имеет специальный дивергентный вид. Применительно к двумерной разностной задаче (20)-(22) использование неравномерных сеток соответствует структуре погрешности в виде (42) с хр*(х) = 0()Л!'), (43) г хР (к) = ~~~ г1„., г1«(я) = 0(~Л!~).
(44) «ш! Получим оценку погрешности из уравнения (39) в случае, когда структура погрешности определяется соотношениями (42), (43). Имеем где второе слагаемое оценивается согласно (41), а для первого с учетом (44) получим (х, р ) хх~> (х,п.*.). (45) «ш! На основании сеточных тождеств (12) для функций, обращаюшихся в нуль на ды, получим (х, г~„) = ~' Л! ~~' гупи(а)х(х)Лг = — ~~' Л| ~ г!г(зх,) Лг. хаен~ хрен~ х~еш~ хгешг1 Аналогичное соотношение справедливо и при а = 1.
Подставляя в (45), применяя неравенство Коши — Буняковского и учитывая (28), (44), получим (х, хгг~) < М,~Щ~ЦхухЦ < Мх~|Ц'~~хЦн Таким образом снова приходим к оценке 0Щ < МЕ~Л|г, которая получена при представлении погрешности в виде (43), (44). Напомним, что такая структура погрешности имеет место в случае использования неравномерных сеток для нахождения гладкого решения. Погрешность представляется в желаемом виде (42)-(44) и в случае решения задач стационарной теплопроводности (!7) — (19) с разрывным 158 Бгава 4.
Стационарные задачи теллонроводногти коэффициентом теплопроводности. Это достигается использованием интегро-интерполяционного метода. В соответствии с п. 4.2 в разностной схеме (20)-(22) для задачи (! 7) — (19) имеем а!(х) = $г($! (Ф (х))) аг(х) = $!($г (/г '(х))) уг(х) = $!$г,у(х), где усредняющие операторы определяются выражениями: х, !и,/г х2чн2/г 1 $ги(х) = — / и(х!, 6г) Ы(г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
