Вычислительная теплопередача Самарский А.А. Вабищевич П.Н. (1013606), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Минимальное число итераций, которое гарантирует точность е (выполнение (4) или (5)), обозначим по(е). При построении итерационного метода мы должны стремиться к минимизации вычислительной работы по нахождению приближенного решения задачи (!) с заданной точностью. Пусть Я» — число арифметических действий для нахождения приближения у» и пусть делается и > по(е) и итераций. Тогда общие затраты оцениваются величиной Я(е) = ~ ф,. »=1 Применительно к двухслойному итерационному методу минимизация Я(е) может достигаться за счет выбора операторов В» и итерационных параметров т»ем Обычно операторы В» задаются из каких-либо соображений, а оптимизация итерационного метода (3) осуществляется за счет выбора итерационных параметров.
В теории итерационных методов для выбора итерационных параметров получили распространение два подхода. Первый из них связан с использованием априорной информации об операторах итерационной схемы (о В» и А в (3)). Во втором подходе (итерационные методы вариационного типа) итерационные параметры находятся на каждой итерации из минимума некоторых функционалов и явно не используется априорная информация об операторах. Вначале мы остановимся на общем описании итерационных методов без указания структуры сеточных операторов В». Конкретизация 175 4.6. Итерационные методы лонгиной алгебры В да м У + Ау„= У, й. = О, 1, (6) ть,.
~ т. е. в отличие от общего случая (3) оператор Вь считается постоянным (не изменяется в процессе итераций). 4.6.2. Метод простой итерации лгвтод простой итерации соответствует использованию в (6) постоянного итерационного параметра ть = т, т.е. рассматривается итерационный процесс В + + Арь =,Г, й = О, 1,..., (7) т в предположениях, что А=А" >О, В=В'>О. (8) Итерационный метод (7) называется стационарным. Пусть априорная информация об операторах В и А задана в виде двухстороннего операторного неравенства (9) 7~В ~ (А ~ (7зВ, 7~ > О, т.е. операторы В и А энергетически эквивалентны.
Теорема 1. Итерационный метод (7), (8), (9) сходится в Нр, Р = А, В при 0 < т ( 2/7ы Оптимальным значением итерационного параметра является т = тс = 2/(7~ + 7з), а для числа итераций и, необходимых длл достижения точности г, справедлива оценка 1пг и > пе(г) = —, 1п рь (10) 1 6 ъ Рс = 1+4 7з Заметим, что в (16) пе(г), вообще говоря, нецелое и и — минимальное целое, при котором выполнено п > пс(е). Теорема 1 указывает путь оптимизации сходимости итерационного процесса (7), (8) за счет выбора оператора В в соответствии с (9), т. е. оператор В должен быть близок оператору А по энергии.
В этом смысле наиболее благоприятная ситуация соответствует, конечно, выбору В = А и тс = 1, и = 1 (прямой метод), результатов для сеточных эллиптических операторов рассматривается в следующем параграфе. Будем рассматривать в качестве основной задачу (1), когда оператор А самосопряжен и положительно определен (А = А' > 0) в конечно- мерном гильбертовом пространстве Н. Рассматривается итерационный процесс 176 Б~ава 4. Стационарные задачи твплаправадности 4.6.3. Чебышевский набор итерационных параметров Оптимальный набор итерационных параметров в (6) связан с корнями полиномов Чебышева, поэтому такой итерационный метод называется чвбышевсхим итерационным методом (метадам Ричардсона).
Определим множество М„следующим образом: М„= — соз х, 1= 1,2,,п . (11) Для итерационных параметров ть используется формула то тн —— , рь б М„, й = 1,2,...,и. (!2) 1+ Роро Теорема 2. Чебышввский итерационный метод (6), (8), (9), (1!), (12) сходитсн в На, Р = А, В и длл числа итераций п, необходимых длн достижения точности е, справедлива оценка 1п2е ' и > по(е) = 1пр, ' Ъ 7з Заметим, что в чебышевском методе (см. (11), (12)) расчет итерационных параметров осуществляется по заданному общему числу итераций и.
Естественно, что вырожденный случай и = 1 соответствует рассмотренному выше методу простой итерации. Практическая реализация чебышевского итерационного метода связана с проблемой вычислительной устойчивости. Это связано с тем, что норма оператора перехода на отдельных итерациях больше единицы и может происходить рост локальной погрешности до аноета. Проблема вычислительной устойчивости решается специальным упорядочиванием итерационных параметров (выбором рь из множества М„). Для вычисления оптимальных последовательностей итерационных параметров т, по заданному числу итераций и предложены различные алгоритмы. 4.6.4.
Метод переменных направлений Среди специальных итерационных методов, которые широко используются в вычислительной практике, отметим метод переменных нааравлений, Это метод применяется, прежде всего, при приближенном решении двумерных сеточных эллиптических задач, с чем и связано его название. Здесь используется операторная формулировка метода переменных направлений.
, 4.6. Итерационные методы линейной алеебры 177 Пусть решается уравнение (1) с оператором А, который представляется в виде суммы двух операторов, каждый из которых самосопряжен: А=А~+Аз А„=Ав, бвЕ~~Ав~Ь Е, б >О, а=1,2. (14) Переход с итерации й на следующую й + 1 осуществляется в два этапа. На первом из них находится промежуточное значение уз+па из уравнения у~~~и- ув + Ауьчл/з+ Азуь = У и (15) На втором этапе решается задача уе+! ухч.
~/2 + А~уьчлд+ Азуьчл = г. (16) Ш В (15), (16) ы — итерационный параметр, подлежащий определению. В более об1ЦЕМ СЛучав используются отдельные итерационные параметры в(15) и(16).Дляпересгвновочныхоператоров А, а = 1,2 (А~Аз = АзА~) метод переменных направлений используется в варианте с переменными итерационными параметрами.
Систему уравнений (15), (16) запишем в виде (Е+ ыА~)уьч~1г = (Š— ыАз)уз + ыу (Е+ ЫА1)уг~, = (Š— ыА~)уз+~уз + ыУ. В = (Е+иА~)(Е+ыАз) и ° =2 . Теорема 3. В методе переменных направлений (14)-( 16) ври 6~ — — бз — — б, Ь| = Ьз = Ь оптимальное значение итерационного парометра равно ы = (6Ь) ', а для погрешности справедлива оценка !)(Е+ ыАз)с„11 < р" 1!(Е+ ыАз)ео!1, где р определено согласно Тем самым перехол к новому итерационному приближению связан с абращением операторов Е+ ыА~ и Е + ыАз. Поэтому метод переменных направлений целесообразно применять, когда обратить операторы Е+ ыА„ а = 1, 2 существенно проще, чем исходный оператор А. Итерационный процесс (15), (16) записывается в каноническом виде стационарного итерационного процесса (7) с факторизованным опера- тором 178 Б»ава 4.
Стацианарныг задачи теплаараваднасти 4.6.б. Двухслойные методы вариационного типа Выше рассматривались итерационные методы решения задачи (!) в условиях, когда задана априорная информация об операторах В и А в виде констант (см. (9)) энергетической эквивалентности Ъ и уы Через эти постоянные определяются оптимальные значения итерационных параметров. Получение этих постоянных может оказаться сложной задачей, поэтому есть смысл пытаться строить итерационные методы, Лля которых итерационные параметры вычисляются без такой априорной информации. Этот класс методов известен как итерацианныемвтады вариацианнага тина.
Начнем с рассмотрения двухслойного итерационного метода (б) в предположениях (8). Обозначая невязку 㻠—— Ау» — 7 и поправку ш» = В 'г», расчетную формулу для итерационных параметров можно представить в виде: (Рш», х») т»ь, = (Рт», т») (17) Итерационный процесс (6) запишется следуюшим образом й=0,1, у»ч ~ — — у» — т», ти», (гв» г») (Ага», гв») (18) Среди других возможностей выбора Р отметим: Р = АВ 'А — метод минимальных поправок.
Двухслойный итерационный метод вариационного типа сходится не медленнее метода простой итерации. Сформулируем соответствующий результат применительно к методу скорейшего спуска. Теорема 4. Итерационный метод (7) — (9), (18) сходится в Ил и для числа итераций п, необходимых для дастизкения точности г, справед- лива оценка (1О), В вычислительной практике наибольшее распространение получили трехслойные итерационные методы варнационного типа.
По скорости сходимости онн не хуже итерационного метода с чебышевским набором итерационных параметров. Конкретизация итерационного метода достигается за счет выбора Р = Р' > О. Этот выбор должен быть подчинен, в частности, условию возможности вычисления итерационных параметров. В формулу (17) входит невычисляемая величина х», и поэтому выбор Р = В (см. теорему 1) здесь не проходит. Вторая отмеченная выше возможность Р = А приводит нас к методу скорейшего спуска, когда г 4.6. Итерационные методы линейной алгебры 179 4.6.6. Метод сопряяоеииьгх градиентов В трехслойном (двухшаговом) итерационном методе новое прибли- жение находится по двум предыдущим. Для реализации метода требуются два начальных приближения уо, уы Обычно уо задается произвольно, а у~ находится по двухслойному итерационному методу.
Трехслойный метод записывается в следующей канонической форме трехслойного ите- рационного метода: Ву»» = а»»( — т«»,А)у, + + (! — а»»)ВУ» 1+ а»»т«+,~, й = 1, 2,, (19) В У1 — — ( — т1 А) уо + т, ~, где а»» и т«» — итерационные параметры. Вычисления по (19) основаны на представлении у»» вЂ”вЂ” а»»у» + (1 — а»«~)у», — а», 1т»»ш«, (20) где ш» = В г». Реализация трехслойного итерационного метода часто связана с использованием представления: у»» = у» + Л»Р» к=0,1,..., (21) Ро = шо Р« = в»+!««Р»» Сопоставляя (20) и (21), устанавливаем связь параметров Л» и 1«» с пара- метрами а«н т«. й=0,1,,.., а~- — 1 (23)') а»»= ! —— т», (в»,г«) ! 1 т«(в» ог» 1) а»/ а~ — — 1. й = 1,2,..., а»т» Л» = -а»,т«нн 1«» = (а»» — 1) и» ~т«» Используя введенные обозначения, расчетные формулы итерационного метода сопрллсенных направлений дают (Вв», г«) (.Рв», ш») ' (22) т»» (Вв», «) 1 1 а»» = 1 — — ' — ), й=1,2,..., т«(Рв» „г« ~) а») Основное свойство итерационных приближений по методу сопряженных направлений состоит в том, что (Се.,ьц) =О, 7'=0,1,...,4 — 1, 1=1,2, Отсюда следует, например, что метод сопряженных направлений сходится за конечное число итераций, не превышающее размерность конечномер- ' ного пространства Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
